4. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

4.1 Potenzen und Wurzeln

4.2 Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus

4.3 Aufgaben

4.1 Potenzen und Wurzeln

4.1.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Definition: Es sei \( x\in\mathbb R. \) Dann setzen wir \[ x^0:=1,\quad x^1:=x. \] Ist ferner \( n\in\mathbb N \) mit \( n\ge 1, \) so setzen wir \[ x^n:=x\cdot\ldots\cdot x \] (\( n \) Faktoren \( x \)) sowie \[ x^{-n}:=\frac{1}{x^n}\,,\quad\mbox{falls}\ x\not=0. \]

So haben wir beispielsweise \[ 2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\,,\quad 2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}\,. \]

Satz: Für alle \( x,y\in\mathbb R \) und alle \( m,n\in\mathbb Z \) gelten \[ x^ny^n=(xy)^n\,,\quad x^mx^n=x^{m+n}\,,\quad (x^m)^n=x^{mn}\,. \] Ist darüberhinaus \( y\not=0, \) so gelten ebenfalls \[ \frac{x^n}{y^n}=\left(\frac{x}{y}\right)^n\,,\quad \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\,. \]

Auch hierzu ein Beispiel (alle Nenner ungleich \( 0 \)) \[ \frac{x^4y^5-x^4y^7}{x^6y^2-x^6y^3} =\frac{x^4y^5(1-y^2)}{x^6y^2(1-y)} =\frac{y^3(1-y)(1+y)}{x^2(1-y)} =\frac{y^3(1+y)}{x^2}\,. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

4.1.2 Wurzeln

Definition: Es sei \( x\ge 0 \) eine reelle Zahl. Unter einer Quadratwurzel von \( x \) verstehen wir eine reelle Zahl \( y\ge 0 \) mit der Eigenschaft \( y^2=x. \)

In den Vorlesungen zur Analysis werden Sie lernen, dass eine solche Zahl \( y\ge 0 \) für jedes reelle \( x\ge 0 \) existiert und sogar eindeutig ist. Für diese Zahl schreiben wir \[ y=\sqrt{x}\,. \] Die Eigenschaft \( y^2=x \) begründet auch die folgende Schreibweise \[ y=x^\frac{1}{2}\,. \] Beispielsweise gelten \[ 2=\sqrt{4}\,,\quad 1.41421\ldots=\sqrt{2} \quad\mbox{usw.} \]

Bemerkung: Die Definition der Quadratwurzel ist zu unterscheiden von der Frage nach den Lösungen von \[ y^2=x \] für eine gegebene rechte Seite \( x\ge 0. \) Als Antwort erhalten wir nämlich zwei Lösungen \[ y_1=-\,\sqrt{x}\quad\mbox{und}\quad y_2=+\,\sqrt{x}\,. \]

Allgemeiner gilt der

Satz: Zu jeder reellen Zahl \( x\ge 0 \) und zu jeder natürlichen Zahl \( n\in\mathbb N \) existiert genau eine reelle Zahl \( y\ge 0 \) mit der Eigenschaft \[ y^n=x. \]

Wir schreiben \( y=\sqrt[n]{x}\ \) und bezeichnen \( y \) als die \( n \)-te Wurzel aus \( x. \)

Definition: Es sei \( x\ge 0 \) eine reelle Zahl, und es seien \( m\in\mathbb Z \) und \( n\in\mathbb N. \) Dann setzen wir \[ x^\frac{m}{n}:=\sqrt[n]{x^m}\,. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

4.1.3 Rechenregeln

Satz: Es seien \( x,y\ge 0 \) reelle Zahlen und \( m,n\in\mathbb N \) natürliche Zahlen. Dann gelten \[ \begin{array}{l} \displaystyle\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x\cdot y}\,, \\[1ex] \displaystyle\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\,,\qquad\mbox{falls}\ y\gt 0, \\[1ex] \displaystyle\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\,. \end{array} \]

Für das Rechnen mit rationalen Exponenten gelten nun dieselben Regeln wie für das Rechnen mit ganzzahligen Exponenten, wie wir sie eingangs vorgestellt haben. Beispielsweise ermitteln wir \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \big(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt{x}\big)^2\negthickspace & = & \displaystyle\negthickspace \big(x^\frac{3}{4}+x^\frac{1}{2}\big)^2\,=\,\big(x^\frac{3}{4}\big)^2+2x^\frac{3}{4}x^\frac{1}{2}+\big(x^\frac{1}{2}\big)^2\! \\[0.8ex] & = & \displaystyle\negthickspace x^\frac{3}{2}+2x^\frac{5}{4}+x \,=\,\big(x^\frac{1}{2}+2x^\frac{1}{4}+1\big)x \,=\,\big(x^\frac{1}{4}+1)^2x \\[0.8ex] & = & \displaystyle\negthickspace \big(\sqrt[4]{x}+1\big)^2x. \end{array} \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

4.2 Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus

4.2.1 Die Exponentialfunktion

Viele mathematische Funktionen sind vermittels sogenannter Funktionsreihen definiert. Das wichtigste Beispiel dieser Art ist die reelle Exponentialfunktion.

Definition: Die reelle Exponentialfunktion ist definiert als \[ e^x:=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\ldots\,,\quad x\in\mathbb R. \]

So gilt beispielsweise \( e^0=1; \) die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich aus \[ e:=e^1=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\ldots\approx 2.71828\ldots \]

Die Exponentialfunktion ist auf ganz \( \mathbb R \) definiert, auf ganz \( \mathbb R \) stetig und auch beliebig oft stetig differenzierbar, und sie genügt \[ e^x\gt 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Sie ist ferner streng monoton wachsend, d.h. es gilt \[ e^x\lt e^y\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R\ \mbox{mit}\ x\lt y, \] und sie erfüllt \[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0,\quad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\,. \]

Satz: Es gilt die folgende Funktionalgleichung der Exponentialfunktion \[ e^{x+y}=e^x\cdot e^y\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

4.2.2 Der natürliche Logarithmus

Als streng monoton wachsende Funktion besitzt die reelle Exponentialfunktion eine Umkehrabbildung, den sogenannten natürlichen Logarithmus \[ \ln\colon(0,\infty)\longrightarrow\mathbb R. \] Genauer gelten \[ \begin{array}{ll} \displaystyle e^{\ln x}=x & \quad\mbox{für alle}\ x\in(0,\infty), \\ \displaystyle \ln(e^x)=x & \quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \end{array} \] Diese Funktion ist ferner streng monoton wachsend auf \( (0,\infty), \) und es sind einmal erfüllt \[ \ln x\ \left\{ \begin{array}{cl} \lt x, & \quad\mbox{falls}\ x\in(0,1) \\ =0, & \quad\mbox{falls}\ x=1 \\ \gt 0, & \quad\mbox{falls}\ x\in(1,\infty) \end{array}\right., \] schließlich aber auch \[ \lim_{x\to 0,\ x\gt 0}\ln x=-\infty,\quad \lim_{x\to\infty}\ln x=+\infty\,. \]

Satz: Es seien \( x,y\in\mathbb R \) reelle Zahlen mit \( x,y\gt 0. \) Dann gelten die folgende Funktionalgleichung für den natürlichen Logarithmus \[ \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y \] sowie die Identitäten \[ \ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y,\quad \ln x^y=y\cdot\ln x. \]

Beweis: Wir benutzen zunächst die Funktionalgleichung für die reelle Exponentialfunktion \( e^{a+b}=e^a\cdot e^b \) mit \( a=\ln x \) und \( b=\ln y \) und erhalten \[ e^{\ln x+\ln y}=e^{\ln x}\cdot e^{\ln y}=x\cdot y\,,\quad x,y\gt 0, \] unter Beachtung von \( e^{\ln x}=x \) und \( e^{\ln y}=y, \) da \( e^x \) und \( \ln x \) zueinander invers sind. Genauso gilt auch \[ x\cdot y=e^{\ln(x\cdot y)}\,,\quad x,y\gt 0. \] und wir schließen \[ e^{\ln x+\ln y}=e^{\ln(x\cdot y)}\,,\quad x,y\gt 0. \] Da nun aber die Exponentialfunktion eine eineindeutige (injektive) Funktion ist, folgern wir \[ \ln x+\ln y=\ln(x\cdot y),\quad x,y\gt 0. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Unter Verwendung der Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus gelingt es, eine allgemeine Potenzfunktion zu definieren. Für \( x\in(0,\infty) \) und \( \alpha\in\mathbb R \) setzen wir nämlich \[ x^\alpha:=e^{\alpha\cdot\ln x}\,. \] In den Vorlesungen werden wir zeigen, dass sich die uns bereits bekannten Rechenregeln für Potenzen auf diese allgemeine Situation übertragen.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

4.3 Aufgaben

Aufgaben - Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Aufgabe 4.1.1: (Rechnen mit Potenzen I)

Fassen Sie zusammen:

Aufgabe 4.1.2: (Rechnen mit Potenzen II)

Fassen Sie zusammen:

Aufgabe 4.1.3: (Rechnen mit Potenzen III)

Fassen Sie zusammen:

Aufgaben - Wurzeln

Aufgabe 4.1.4: (Lösungen quadratischer Gleichungen)

In der quadratischen Gleichung \[ x^2+ax+b=0\quad\mbox{mit}\ a,b\in\mathbb R,\ a^2-4b\ge 0, \] ist die Unbekannte \( x \) gesucht. Es existieren eine oder zwei Lösungen.

Aufgabe 4.1.5: (Beispiele quadratischer Gleichungen)

Ermitteln Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen.

Aufgaben - Rechenregeln

Aufgabe 4.1.6: (Rechnen mit höheren Wurzeln)

Fassen Sie zusammen:

Aufgabe 4.1.7: (\( \sqrt{2} \) ist nicht rational)

Beweisen Sie, dass \( \sqrt{2}\gt 0 \) nicht rational ist, d.h. es existieren keine natürlichen Zahlen \( p,q\in\mathbb N \) mit \[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}\,. \]

Aufgaben - Die Exponentialfunktion

Aufgabe 4.2.1: (Skizze der Funktion)

Skizzieren Sie die Funktion \( f(x)=e^x, \) \(x\in\mathbb R. \)

Aufgabe 4.2.2: (Nullstellen der Exponentialfunktion)

Angenommen, es existiert ein \( x_0\in\mathbb R \) \( e^{x_0}=0. \) Beweisen Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass dann auch gilt \[ e^x=0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Da aber beispielsweise \( e^1=2.71828\ldots\gt 0 \) richtig ist, kann die Exponentialfunktion also keine reellen Nullstellen besitzen.

Aufgaben - Der natürliche Logarithmus

Aufgabe 4.2.3: (Skizze der Funktion)

Skizzieren Sie Funktion \( f(x)=\ln x, \) \( x\in(0,\infty). \)

Aufgabe 4.2.4: (Rechnen mit dem Logarithmus)

Unter Verwendung der oben angegebenen Regeln ist die Unbekannte \( x \) zu bestimmen.

Aufgabe 4.2.5: (Spiegel - Rätsel der Woche vom 17.03.2024)

Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ 9^x-6^x=4^x\,. \]

Aufgabe 4.2.6: (Die Wurzel - Aufgabe 2023-48)

Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ 7\cdot 3^{x+1}-5^{x+2}=3^{x+4}-5^{x+3}\,. \]