3. Rechnen mit Zahlen

3.1 Auflösungsaufgaben

3.2 Rechnen mit Brüchen

3.3 Binomische Formeln

3.4 Aufgaben

3.1 Auflösungsaufgaben

3.1.1 Auflösungsregeln

Aus den allgemeinen Rechenregeln lassen sich nun eine Vielzahl weiterer Regeln ableiten, beispielsweise die folgenden Auflösungsregeln:

für alle $x,y,z\in\mathbb R$

3.1.2 Beispielaufgaben

Nach obigen Regeln schließen wir

oder auf (achten Sie auf die vorrangige Auswertung des Klammerausdrucks) $$2-3\cdot(3+5)=2-3\cdot 8=2-24=-22.$$ Die Terme $x,$ $y$ und $z$ in obigen Auflösungsregeln können auch für zusammengesetzte Terme stehen, z.B. im Fall der dritten Regel mit $x=3+5,$ $y=17$ und $z=3+4$ $$(3+5)\cdot(17-(3+4))=8\cdot(17-7)=8\cdot 10=80.$$

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3.2 Rechnen mit Brüchen

3.2.1 Bruchrechenregeln

Rationale Zahlen können als Brüche dargestellt werden. Zum Rechnen mit Brüchen wiederholen wir:

Es gilt auch die Kürzungsregel $$\frac{x\cdot u}{y\cdot u}=\frac{x}{y}\,,\quad\mbox{falls}\ y,u\not=0.$$

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3.2.2 Eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind

Wir beginnen mit $$1+\frac{1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$$ und erweitern diese Summe zu $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}\,.$$ Das multiplizieren wir im nächsten Schritt mit $$\frac{1}{4}+\frac{1}{28}=\frac{7}{28}+\frac{1}{28}=\frac{8}{28}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$$ und erhalten $$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{28}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) =\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{4} =\frac{14}{28} =\frac{7}{14}\,.$$ Diese Aufgabe finden wir - in damaliger Notation - im Papyrus Rhind, etwa 1550 v.Chr.

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3.3 Binomische Formeln

3.3.1 Problemstellung

Es seien abkürzend $x^2:=x\cdot x,$ $x^3:=x\cdot x\cdot x$ für $x\in\mathbb R$ gesetzt. Für beliebige $a,b\in\mathbb R$ folgen $$\begin{array}{l} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,, \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,, \\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\,. \end{array}$$ Das sind die klassischen binomischen Formeln. Mit etwas mehr Geduld ermitteln wir darüberhinaus $$\begin{array}{l} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,, \\ (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\,, \\ (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\qquad\mbox{usw.} \end{array}$$ Wie sehen aber die allgemeinen Potenzen $(a+b)^n$ aus? Dazu benötigen wir den binomischen Lehrsatz, auf den wir später zu sprechen kommen.

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3.3.2 Die Fakultät

Zur Formulierung des binomischen Lehrsatzes benötigen wir die Fakultät und den Binomialkoeffizienten. Wir beginnen mit der

Definition: Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n\in\mathbb N$ lautet $$n!:=\prod_{k=1}^nk\quad\mbox{mit}\ \prod_{k=1}^nk:=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n.$$ Für die Zahl $n=0$ setzen wir $0!:=1.$

Es sind also $$\begin{array}{l} 0!=1 \\ 1!=1 \\ 2!=1\cdot 2=2 \\ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 \\ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24 \\ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\qquad\mbox{usw.} \end{array}$$ Offenbar lässt sich die Fakultät rekursiv berechnen $$n!:=\left\{\begin{array}{cl} 1 & \mbox{für}\ n=0 \\ n\cdot(n-1)! & \mbox{für}\ n\gt 0 \end{array}\right.$$

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3.3.3 Binomialkoeffizienten

Wir schließen an den vorigen Paragraphen an.

Definition: Es seien $k,n\in\mathbb N_0$ mit $k\le n.$ Dann definieren wir den Binomialkoeffizienten $$\binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,.$$

Beispielsweise sind also $$\begin{array}{l} \displaystyle \binom{0}{0}=\frac{0!}{0!(0-0)!}=\frac{1}{1\cdot 1}=1 \\[1ex] \displaystyle \binom{1}{0}=\frac{1!}{0!(1-0)!}=\frac{1}{1\cdot 1}=1 \\[1ex] \displaystyle \binom{3}{1}=\frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{6}{1\cdot 2}=3\qquad\mbox{usw.} \end{array}$$

Satz: Es gilt $$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\quad\mbox{für alle}\ k,n\in\mathbb N_0\ \mbox{mit}\ k\le n.$$

Beweis: Es ist nämlich $$\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n!}{(n-k)!k!} =\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} =\binom{n}{n-k}\,,$$ was zu zeigen war.$\qquad\Box$

Als Übung belassen wir einen Beweis von

Satz: Es gilt $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\quad\mbox{für alle}\ k,n\in\mathbb N\ \mbox{mit}\ 1\le k\le n-1,\ n\ge 2.$$

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3.3.4 Der binomische Lehrsatz

Wir können nun den binomischen Lehrsatz formulieren.

Satz: Sind $a,b\in\mathbb R$ und $n\in\mathbb N,$ so gilt $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\,.$$

Einen Beweis dieses Satz werden Sie in Ihren Mathematikvorlesungen erarbeiten.

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3.7 Aufgaben

Aufgaben - Beispielaufgaben

Aufgabe 3.1.1: (Anwenden der Regeln)

Berechnen Sie:

Aufgaben - Bruchrechenregeln

Aufgabe 3.2.1: (Anwenden der Regeln)

Berechnen Sie:

Aufgaben - Eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind

Aufgabe 3.2.3: (Multiplikationsaufgaben aus dem Papyrus Rhind)

Die Aufgaben 7 bis 20 des Papyrus Rhind beinhalten - in damaliger Schreibweise - u.a. folgende aufzulösende Multiplikationsaufgaben:

Aufgaben - Problemstellung

Aufgabe 3.3.1: (Quadratische und kubische binomische Formeln)

Ermitteln Sie:

Aufgabe 3.3.2: (Differenzen vollständiger Quadrate)

Verifizieren Sie:

Aufgaben - Die Fakultät

Aufgabe 3.3.3: (Die ersten zehn Fakultäten)

Bestimmen Sie:

Aufgabe 3.3.4: (Auswerten von Fakultäten)

Bestimmen Sie:

Aufgaben - Binomialkoeffizienten

Aufgabe 3.3.5: (Berechnen von Binomialkoeffizienten)

Berechnen Sie:

Aufgabe 3.3.6: (Eigenschaften von Binomialkoeffizienten I)

Beweisen Sie die folgenden Identitäten:

Aufgabe 3.3.7: (Eigenschaften von Binomialkoeffizienten II)

Beweisen Sie die folgende Identität $$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$$ für alle $k,n\in\mathbb N_0$ mit $n\ge k+1.$

Aufgaben - Der binomische Lehrsatz

Aufgabe 3.3.8: (Summe über Binomialkoeffizienten)

Beweisen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgende Identitäten.