6. Ungleichungen und der Absolutbetrag
6.1.1 Ungleichungen ohne Brüche
Gemeint sind Ungleichungen der Form ax≤b mit gegebenen a,b∈R, a≠0. Wir stellen nach der gesuchten Variable x um und erhalten x≤ba,falls a>0,x≥ba,falls a<0.
Beispiel: Die Ungleichungen 2x≤3 und −3x≤5 bedeuten für sich betrachtet x≤32bzw.x≥−53. Beide Ungleichungen gleichzeitig sind hingegen nur für alle x∈R erfüllt mit −53≤x≤32.
6.1.2 Ungleichungen mit Brüchen
Hierbei soll es um Ungleichungen der folgenden oder ähnlicher Gestalt gehen ax+bcx+d≤e,cx+d≠0. Wir machen uns die Vorgehensweise an einem Beispiel klar.
Beispiel: Zu bestimmen sind alle x∈R, welche der Ungleichung genügen 3x+1x−2<1,x≠2. Zur Lösung multiplizieren wir mit x−2 und erhalten
| ∘ | 3x+1<x−2, falls x>2, |
| ∘ | 3x+1>x−2, falls x<2. |
Im Fall x>2 fahren wir wie folgt fort 3x+1<x−2bzw.2x<−3bzw.x<−32, also ein Widerspruch zu x>2, d.h. es gibt kein x>2, welches der ursprünglichen Ungleichung genügt. Im zweiten Fall x<2 haben wir andererseits 3x+1>x−2bzw.2x>−3bzw.x>−32, und zusammen mit x<2 erhalten wir −32<x<2bzw.x∈(−32,2). Das ist die gesuchte Menge aller x∈R, welche der ursprünglichen Ungleichen genügen.
Definition: Unter dem Absolutbetrag verstehen wir die Funktion |x|:={x,falls x>00,falls x=0−x,falls x<0.
Beispielsweise haben wir also |4|=4,|−17|=17. Wir wollen wichtige Eigenschaften dieser Betragsfunktion ohne Beweis auflisten.
Satz: Die folgenden Aussagen sind richtig.
| (i) | Es gilt |
|x|≥0für alle x∈R.
| (ii) | Ist a∈R mit a≥0, gilt |
|x|≤agenau dann, wenn −a≤x≤a.
| (iii) | Es gilt |
|x⋅y|=|x|⋅|y|für alle x,y∈R.
| (iv) | Es gilt die Dreiecksungleichung |
|x+y|≤|x|+|y|für alle x∈R.
| (v) | Es gilt |
|1x|=1|x|für alle x∈R∖{0}.
6.2.2 Auflösen von Betragsungleichungen
Auch hier wollen wir ein Beispiel betrachten: Für welche x∈R ist folgende Ungleichung erfüllt |2x−1|<3? Es sind zwei Fälle zu unterscheiden.
1. Fall: Es sei x≥12 und damit 2x−1≥0. Dann haben wir |2x−1|=2x−1<3bzw.x<2. Die Ungleichung ist also zunächst erfüllt für alle 12≤x<2. 2. Fall: Es sei x<12 und damit 2x−1<0. Dann haben wir |2x−1|=−2x+1<3bzw.x>−1. Die Ungleichung ist daher ebenso erfüllt für alle −1<x<12. Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass die ursprüngliche Ungleichung erfüllt ist für alle −1≤x<2, was die Aufgabe löst.
Aufgaben - Ungleichungen ohne Brüche
Aufgabe 6.1.1: (Auflösen erster Ungleichungen)
Für welche x∈R sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | x+2<3x−4 |
| (ii) | 3x−1≤2x−3 |
| (iii) | x+4>7x−4 |
| (iv) | 3x−43≥32x+14 |
...
Aufgabe 6.1.2: (Auflösen von zwei Ungleichungen)
Für welche x∈R sind jeweils beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt?
| (i) | 3x+1<x+3 und x−1≤5x+3 |
| (ii) | −7x+2≥2x+3 und x+1≤7x−4 |
...
Aufgaben - Ungleichungen mit Brüchen
Aufgabe 6.1.3: (Auflösen von Bruchungleichungen)
Für welche x∈R sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | 1x−5≤3 |
| (ii) | x−1x+1<1 |
| (iii) | 2xx−2+24x−2≥2 |
| (iv) | 3x+1x−3+x+1x−2≤1 |
...
Aufgaben - Der Absolutbetrag
Aufgabe 6.2.1: (Zwei einfache Beispiele)
Ermitteln Sie |3|,|−21|.
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Aufgabe 6.2.2: (Umschreiben von Beträgen)
Schreiben Sie die folgenden Funktionen ohne Beträge.
| (i) | f(x):=|x+1| |
| (ii) | f(x):=|2x−3| |
| (iii) | f(x):=|x+1|+|2x−3| |
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Aufgabe 6.2.3: (Nichtnegativität des Absolutbetrags)
Beweisen Sie: Es gilt |x|≥0für alle x∈R. Wann gilt Gleichheit?
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Aufgabe 6.2.4: (Betrag des Produktes)
Beweisen Sie: Es gilt |x⋅y|=|x|⋅|y|für alle x,y∈R.
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Aufgabe 6.2.5: (Beweis der Dreiecksungleichung)
Beweisen Sie: Es gilt |x+y|≤|x|+|y|für alle x,y∈R. Wann gilt Gleichheit?
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Aufgaben - Auflösen von Betragsungleichungen
Aufgabe 6.2.6: (Beispiele-von-betragsungleichungen)
Für welche x∈R sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | |x−2|<3 |
| (ii) | |3−2x|≥4 |
| (iii) | |2x−3|<x+3 |
| (iv) | |5x+7|<8x−13 |
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Aufgabe 6.2.7: (Betragsungleichungen mit Brüchen)
Für welche x∈R sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | x+3|2x+1|≤4 |
| (ii) | |2x−3|x+2>1 |
| (iii) | |x−1||x+1|<4 |
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