24. Existenz und Eindeutigkeit
24.1.1 Normen stetiger Funktionen
Vor allem zum Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes und spezieller, dem Problem angepasster gewichteter Normen für stetige Funktionen gehen wir nach dem Lehrbuch von W. Walter vor. Zu diesem Zweck benötigen wir einige vorbereitende Begriffe.
Es sei \( K\subset\mathbb R \) ein Kompaktum. Mit \( C^0(K,\mathbb R) \) bezeichnen wir den Vektorraum der stetigen Funktionen \( f\colon K\to\mathbb R, \) ausgestattet mit
| \( \circ \) | der Maximumsnorm |
\[ \|f\|_0:=\max\{|f(x)|\,:\,x\in K\} \]
| \( \circ \) | der gewichteten Maximumsnorm |
\[ \|f\|_{0,g}:=\max\{g(x)|f(x)|\,:\,x\in K\} \]
| mit einer noch geeignet zu wählenden, positiven Funktion \( g\colon K\to\mathbb R. \) |
Die Verwendung einer geeigneten Gewichtsfunktion \( g(x) \) zum Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems \[ y'=f(x,y)\quad\mbox{in}\ I,\quad y(\xi)=\eta, \] und damit einer gewichteten Norm statt der gewöhnlichen Maximumsnorm geht meines Wissens auf W. Walter selbst zurück. Wir werden diese Methode ausführlich diskutieren und die bei Verwendung der gewöhnlichen Maximumsnorm notwendige, aber für die Theorie dennoch wichtige Fortsetzung von Lösungen wenigstens im Ansatz besprechen.
Definition: Es sei \( (M,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum. Eine Folge \( \{f_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset M \) konvergiert gegen ein \( f\in M \) stark bzw. in der Norm, falls gilt \[ \|f-f_n\|\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ n\to\infty\,. \] Wir schreiben auch \[ f_n\to f \quad\mbox{oder}\quad f=\lim_{n\to\infty}f_n\,. \]
Bemerkung: Der Raum \( (C^0(K,\mathbb R),\|\cdot\|_0) \) ist ein vollständiger Raum bzw. Banachraum, d.h. ein Vektorraum mit der Eigenschaft, dass Cauchyfolgen dieses Raumes auch in diesem Raum konvergieren.
Aufgabe 1: (Vollständigkeit des Raumes der beschränkten Funktionen)
Es bezeichne \[ B(I,\mathbb R):=\{f\colon I\to\mathbb R\,:\,f(I)\ \mbox{ist beschränkte Teilmenge des}\ \mathbb R\} \] die Menge der reellwertigen, beschränkten Funktionen \( f\colon I\to\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass \( (B(I,\mathbb R),\|\cdot\|_\infty) \) mit der Maximums- bzw. Supremumsnorm \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in I}|f(x)|,\quad f\in B(I,\mathbb R), \] ein Banachraum ist.
Einen Nachweis der Normeigenschaften wollen wir übergehen. Wir zeigen nur die Vollständigkeit.
| 1. | Es sei \( \{f^{(n)}\}_{n=1,2,\ldots}\subset B(I,\mathbb R) \) eine Cauchyfolge. Wähle ein \( x\in I \) beliebig. Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert dann ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit der Eigenschaft |
\[ |f^{(k)}(x)-f^{(\ell)}(x)|\le\|f^{(k)}-f^{(\ell)}\|_\infty\le\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k,\ell\ge N(\varepsilon), \]
| d.h. es ist auch \( \{f^{(n)}(x)\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Cauchyfolge. Da aber \( \mathbb R \) vollständig ist, existiert ein Grenzelement |
\[ f_x:=\lim_{n\to\infty}f^{(n)}(x), \]
| und zwar für alle \( x\in I. \) Wir erhalten auf diese Weise eine reellwertige Funktion \( f\colon I\to\mathbb R \) mit \( f(x):=f_x. \) | |
| 2. | Wir zeigen, dass \( f\in B(I,\mathbb R) \) richtig ist. Dazu wählen wir zunächst ein \( N\in\mathbb N \) mit |
\[ \|f^{(k)}-f^{(\ell)}\|_\infty\le\frac{1}{2}\quad\mbox{für alle}\ k,\ell\ge N. \]
| Mit der Dreiecksungleichung schätzen wir dann ab |
\[ \begin{array}{lll} |f(x)|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle |f(x)-f^{(N)}(x)+f^{(N)}(x)| \,\le\,|f(x)-f^{(N)}(x)|+|f^{(N)}(x)| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \|f-f^{(N)}\|_\infty+\|f^{(N)}\|_\infty\,. \end{array} \]
| Es ist \( \|f^{(N)}\|_\infty\lt\infty, \) da \( f\in B(I,\mathbb R), \) und es gilt auch |
\[ \|f-f^{(N)}\|\le\frac{1}{2}\,, \]
| denn wegen |
\[ |f^{(n)}(x)-f^{(N)}(x)|\le\|f^{(n)}-f^{(N)}\|\le\frac{1}{2} \quad\mbox{für alle}\ n\ge N\ \mbox{und alle}\ x\in I \]
| ermitteln wir |
\[ |f(x)-f^{(N)}(x)|=\lim_{n\to\infty}|f^{(n)}(x)-f^{(N)}(x)|\le\frac{1}{2} \quad\mbox{für alle}\ x\in I \]
| Auf der linken Seite bilden wir das Supremum und erhalten, wie behauptet, \( \|f-f_n\|_\infty\le\frac{1}{2}. \) | |
| 3. | Wir zeigen schließlich |
\[ \lim_{n\to\infty}\|f^{(n)}-f\|_\infty=0, \]
| d.h. \( \{f^{(n)}\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergiert in der Norm \( \|\cdot\|_\infty \) gegen \( f(x). \) Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert wegen der Cauchyfolgeneigenschaft ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ \|f^{(k)}-f^{(\ell)}\|_\infty\le\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k,\ell\gt N(\varepsilon). \]
| Es folgt für alle \( n\ge N(\varepsilon) \) |
\[ |f^{(n)}(x)-f(x)| =\lim_{m\to\infty}|f^{(n)}(x)-f^{(m)}(x)| \le\lim_{m\to\infty}\|f^{(n)}-f^{(m)}\|_\infty \le\varepsilon \]
| und zwar für alle \( x\in I, \) also auch \( \|f-f^{(n)}\|_\infty\le\varepsilon. \) Die Aussage folgt aus \( \varepsilon\to 0. \) |
Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe 2: (Vollständigkeit des Raumes der stetigen Funktionen)
Es bezeichne \[ C^0(I,\mathbb R):=\{f\colon I\to\mathbb R\,:\,f(I)\ \mbox{ist stetige Funktion}\} \] die Menge der reellwertigen, stetigen Funktionen \( f\colon I\to\mathbb R \) auf einem kompakten Intervall \( I\subset\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass \( (C^0(I,\mathbb R),\|\cdot\|_0) \) mit der Maximums- bzw. Supremumsnorm \[ \|f\|_0:=\sup_{x\in I}|f(x)|,\quad f\in C^0(I,\mathbb R), \] ein Banachraum ist.
Auch jetzt beweisen wir nur die Vollständigkeit. Sei also \( \{f^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) eine Cauchyfolge stetiger Funktionen \( f^{(k)}\colon I\to\mathbb R. \) Alle \( f^{(k)}(x) \) sind nach einem Satz von Weierstraß beschränkt. Nach der vorigen Aufgabe existiert also eine beschränkte Funktion \[ f(x):=\lim_{n\to\infty}f^{(n)}(x),\quad x\in I. \] Wir zeigen die Stetigkeit von \( f(x). \)
| 1. | Zu \( \varepsilon\gt 0 \) wählen wir unter Beachtung der Cauchyfolgeneigenschaft ein \( N_0\in\mathbb N \) mit der Eigenschaft |
\[ \|f^{(k)}-f^{(\ell)}\|_0\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k,\ell\ge N_0(\varepsilon). \]
| Für beliebiges \( x\in I \) und \( k\ge N_0(\varepsilon) \) ist dann (wie im zweiten Beweispunkt in der vorigen Aufgabe) |
\[ |f^{(k)}-f(x)|=\lim_{\ell\to\infty}|f^{(k)}(x)-f^{(\ell)}(x)|\lt\varepsilon. \]
| Da aber \( \varepsilon\gt 0 \) nicht von \( x\in I \) abhängt, ist die Konvergenz gleichmäßig. | |
| 2. | Aus der Analysis 1 ist bekannt, dass die gleichmäßige Konvergenz stetiger Funktionen auf eine stetige Grenzfunktion führt. Wir belassen also einen Beweis dieser Teilaussage als Übung. |
Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe 3: (Maximumsnorm und gewichtete Maximumsnorm)
Es sei \( I\subset\mathbb R \) ein kompaktes Intervall. Zeigen Sie, dass mit zwei reellen Zahlen \( \lambda,\mu\gt 0 \) und einer stetigen Gewichtsfunktion \( g(x) \) gilt \[ \lambda\|f\|_0\le\|f\|_{0,g}\le\mu\|f\|_0 \] für alle stetigen Funktionen \( f\colon I\to\mathbb R. \) Die gewöhnliche Maximumsnorm und die gewichtete Maximumsnorm sind in diesem Fall also äquivalent.
...
24.1.2 Operatoren und Funktionale
Es seien \( E, F \) zwei Vektorräume. Eine Abbildung \[ T\colon E\longrightarrow F \] bezeichnen wir als einen Operator, im Fall \( T(E)\subseteq\mathbb R \) sprechen wir oft von einem Funktional.
Definition: Ein Operator \( T\colon E\to F \) zwischen zwei Vektorräumen \( E \) und \( F \) über \( \mathbb R \) heißt linear, wenn gilt \[ T(\lambda f+\mu g)=\lambda T(f)+\mu T(g) \] für alle \( \lambda,\mu\in\mathbb R \) und alle \( f,g\in E. \)
Beispiel: Das Funktional bzw. der Integraloperator \[ T(f):=\int\limits_a^bf(t)\,dt \] ist linear auf \( C^0([a,b],\mathbb R). \)
Definition: Es seien \( (E,\|\cdot\|_E) \) und \( (F,\|\cdot\|_F) \) zwei normierte Vektorräume. Der Operator \( T\colon E\to F \) heißt stetig in \( f_0\in E \) (bez. den angegebenen Normen), falls für \( f_n\in E \) mit \( f_n\to f_0 \) gilt \[ T(f_n)\longrightarrow T(f_0) \quad\mbox{bzw.}\quad \lim_{n\to\infty}\|T(f_n)-T(f_0)\|_F=0. \] Er genügt ferner einer Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante \( q\gt 0, \) falls gilt \[ \|T(f)-T(g)\|_F\le q\|f-g\|_E\quad\mbox{für alle}\ f,g\in E. \]
Beispiel: Das Funktional \( T\colon E\to F \) aus dem vorigen Beispiel zwischen den normierten Vektorräumen \( E=(C^0([a,b],\|\cdot\|_0) \) mit der Maximumsnorm \( \|\cdot\|_0 \) und \( F=(\mathbb R,|\cdot|) \) mit dem gewöhnlichen Betrag \( |\cdot| \) auf der Menge der reellen Zahlen ist Lipschitzstetig mit \( q=b-a, \) denn mit der Dreiecksungleichung für Riemannintegrale ermitteln wir \[ \begin{array}{lll} |T(f)-T(g)|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left|\,\int\limits_a^bf(t)\,dt-\int\limits_a^bg(t)\,dt\right| \,\le\,\int\limits_a^b|f(t)-g(t)|\,dt \\ & \le & \negthickspace\displaystyle (b-a)\cdot\max_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)| \,=\,(b-a)\cdot\|f-g\|_0\,. \end{array} \]
Aufgabe 1: (Lipschitzstetigkeit und Stetigkeit)
Es sei \( T\colon E\to F \) ein Lipschitzstetiger Operator zwischen den normierten Vektorräumen \( (E,\|\cdot\|_E) \) und \( (F,\|\cdot\|_F). \) Zeigen Sie, dass \( T \) dann auch stetig ist.
...
Aufgabe 2: (Zur Stetigkeit von Funktionalen)
Beweisen Sie, dass das Längenfunktional \[ L(f):=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \] als Funktional zwischen den Räumen \( (C^1([a,b],\mathbb R),\|\cdot\|_0) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|) \) nicht stetig ist.
...
| 1. | Wie lautet die Maximums- bzw. Supremumsnorm für stetige Funktionen? |
| 2. | Welche gewichtete Maximumsnorm werden wir verwenden? |
| 3. | Wann heißt eine Folge \( \{f_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset M \) eines normierten Raumes stark konvergent? |
| 4. | Was versteht man unter einem Banachraum? |
| 5. | Was versteht man unter der Vollständigkeit des Raumes der beschränkten Funktionen. |
| 6. | Was versteht man unter der Vollständigkeit des Raumes der stetigen Funktionen. |
24.2.1 Der Banachsche Fixpunktsatz
Satz: Es sei \( D\subseteq B \) eine nichtleere, abgeschlossene Teilmenge des Banachraumes \( B, \) d.h. für alle \( \{f_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D \) mit \( f_n\to f \) in der Norm \( \|\cdot\|_B \) gilt \( f\in D. \) Ferner sei der Operator \( T\colon D\to B \) selbstabbildend, d.h. es gilt \[ T(D)\subseteq D \] und kontrahierend, d.h. es ist \[ \|T(f)-T(g)\|_B\le q\|f-g\|_B\quad\mbox{für alle}\ f,g\in D \] mit einer Lipschitzkonstante \( q\lt 1. \) Dann existiert genau ein Fixpunkt \( f\in D \) des Operators \( T \) mit der charakteristischen Eigenschaft \[ T(f)=f. \] Bildet man, ausgehend von einem \( f_0\in D, \) die Folge \[ f_1:=T(f_0),\quad f_2:=T(f_1)=T(T(f_0)) \quad\mbox{usw.} \] der sukzessiven Approximation, so konvergiert \( f_n\to f \) in der Norm \( \|\cdot\|_B. \) Es gelten darüberhinaus die Abschätzungen \[ \|f_n-f\|_B\le\frac{1}{1-q}\,\|f_{n+1}-f_n\|_B\le\ldots\le\frac{q^n}{1-q}\|f_1-f_0\|_B\,. \]
Wir gehen nach W. Walters Lehrbuch vor.
| 1. | Wegen \( T(D)\subseteq D \) ist zunächst |
| d.h. für die Folge der sukzessiven Approximation gilt |
| 2. | Wir zeigen induktiv |
| Das ist für \( n=0 \) klar. Ist die Behauptung auch für ein \( n\in\mathbb N \) richtig, so ermitteln wir |
| woraus die Zwischenbehauptung folgt. | |
| 3. | Aus der Dreiecksungleichung für die Norm \( \|\cdot\|_B \) folgt |
| Umstellen liefert wegen \( q\lt 1 \) die Defektungleichung |
| 4. | Angenommen, \( f(x) \) und \( g(x) \) sind Fixpunkte von \( T, \) d.h. |
| Dann liefert die Defektungleichung |
| Es gibt also höchstens einen Fixpunkt. | |
| 5. | Diesen Fixpunkt konstruieren wir wie folgt: Setze \( f:=f_{n+p} \) und \( g:=f_n \) mit \( p\gt 0 \) in die Defektungleichung ein, und mit dem dritten und dem zweiten Beweispunkt erhalten wir |
| Wegen \( q\lt 1 \) ist \( q^{n+p}\lt q^n \) bzw. \( q^{n+p}+q^n\le 2q^n. \) Mit |
| ist also |
| d.h. \( \{f_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D \) ist eine Cauchyfolge in \( B. \) | |
| 6. | Da \( B \) ein Banachraum ist, existiert ein \( f\in B \) mit \( f_n\to f \) für \( n\to\infty. \) Da weiter \( D\subseteq B \) abgeschlossen ist, gilt \( f\in D. \) Und da \( T \) stetig ist, da nämlich Lipschitzstetig, folgt |
| Andererseits wissen wir |
| so dass zusammenfassend folgt |
| 7. | Ersetzen wir nun in der Defektungleichung \( f \) durch \( f_n \) und \( g \) durch den Fixpunkt \( f=T(f), \) so folgt |
| wegen \( f_{n+1}=T(f_n). \) Wie im zweiten Beweispunkt setzen wir diese Ungleichung schließlich fort zu |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe 1: (Kontraktive Funktionen)
Beweisen Sie, dass die Funktion \[ f\colon[0,\infty)\longrightarrow[0,\infty) \quad\mbox{vermöge}\quad f(x):=\frac{x+1}{x+2} \] Lipschitzstetig und insbesondere kontraktiv ist. Ermitteln Sie den Fixpunkt \( x^*\in[0,\infty) \) mit \( f(x^*)=x^*. \)
...
24.2.2 Der Satz von Picard-Lindelöf
Satz: Es sei \( f(x,y) \) im Streifen \[ S:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,\xi\le x\le\xi+a,\ -\infty\lt y\lt\infty\} \] stetig und genüge dort der Lipschitzbedingung \[ |f(x,y)-f(x,\widetilde y)|\le q|y-\widetilde y| \] mit einer Lipschitzkonstanten \( q\gt 0. \) Dann besitzt das Anfangswertproblem \[ y'=f(x,y)\quad\mbox{für}\ \xi\le x\le\xi+a,\quad y(\xi)=\eta, \tag{AWP} \] genau eine Lösung \( y\in C^1([\xi,\xi+a],\mathbb R). \)
Wir gehen auch hier wieder nach W. Walters Lehrbuch vor. Insbesondere zeichnet sich dieser Beweis durch Verwendung einer dem Problem angepassten gewichteten Norm \( \|\cdot\|_{0,g} \) aus, der die Anwendbarkeit des Banachschen Fixpunktsatzes vereinfacht.
| 1. | Es sei \( y(x) \) eine auf \( I:=[\xi,\xi+a] \) differenzierbare Lösung des Anfangswertproblems (AWP), insbesondere der Differentialgleichung \( y'=f(x,y). \) Dann ist die rechte Seite \( f(x,y(x)) \) stetig in \( I, \) und das wiederum bedeutet, dass \( y(x) \) stetig differenzierbar ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung überführt dann (AWP) in das Integralgleichungsproblem |
\[ y(x)=\eta+\int\limits_\xi^xf(t,y(t))\,dt. \tag{IP} \]
| Umgekehrt genügt eine in \( I \) stetige Lösung \( y(x) \) von (IP) der Anfangsbedingung \( y(\xi)=\eta. \) Dieses \( y(x) \) ist dann auch stetig differenzierbar mit der Ableitung \( y'=f(x,y), \) da \( f(x,y) \) stetig ist. In diesem Sinne sind das Anfangswertproblem (AWP) und das Integralgleichungsproblem (IP) äquivalent, und wir lösen im Folgenden (IP). | |
| 2. | Wir schreiben nun (IP) in der Form |
\[ y=T(y) \quad\mbox{mit}\quad T(y):=\eta+\int\limits_\xi^xf(t,y(t))\,dt. \]
| Der Operator \( T \) bildet \( C^0(I,\mathbb R) \) auf \( T(C^0(I,\mathbb R))\subset C^0(I,\mathbb R) \) ab. Mit der gewichteten Norm |
\[ \|f\|_{0,g}:=\max\{|f(x)|e^{-\alpha x}\,:\,x\in I\}\,,\quad\alpha\gt 0, \]
| wird \( C^0(I,\mathbb R) \) zum Banachraum. Dabei ist die Konstante \( \alpha\gt 0 \) noch geeignet zu wählen. Ferner ist \( (C^0(I,\mathbb R),\|\cdot\|_{0,g}) \) auch abgeschlossen. Die Lösungen aus (AWP) entsprechen genau den Fixpunkten von \( T. \) | |
| 3. | Wir schätzen wie folgt ab |
\[ \begin{array}{lll} |T(y)-T(z)|\negthickspace & \le & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\xi^x|f(t,y(t))-f(t,z(t))|\,dt \,\le\,q\int\limits_\xi^x|y(t)-z(t)|\,dt \\ & = & \negthickspace\displaystyle q\int\limits_\xi^x|y(t)-z(t)|e^{-\alpha t}e^{\alpha t}\,dt \,\le\,q\|y-z\|_{0,g}\int\limits_\xi^xe^{\alpha t}\,dt \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \frac{q}{\alpha}\,\|y-z\|_{0,g}e^{\alpha x} \end{array} \]
| bzw. nach Umstellen |
\[ |T(y)-T(z)|e^{-\alpha x}\le\frac{q}{\alpha}\,\|y-z\|_{0,g}\,. \]
| Die rechte Seite hängt aber gar nicht von \( x \) ab, so dass folgt |
\[ \|T(y)-T(z)\|_{0,g}\le\frac{q}{\alpha}\,\|y-z\|_{0,g}\,. \]
| Setzen wir nun \( \alpha:=2q, \) so dass \( \frac{q}{\alpha}\lt 1 \) wird, so ist \( T \) auch eine selbstabbildende Kontraktion auf \( (C^0(I,\mathbb R),\|\cdot\|_{0,g}). \) |
Der Banachsche Fixpunktsatz beweist die Aussage.\( \qquad\Box \)
Aufgabe 1: (Ein- und Mehrdeutigkeit I)
Betrachten Sie das Anfangswertproblem \[ y'=y^2\,,\quad y(0)=\eta. \]
| (i) | Lösen Sie das Anfangswertproblem explizit. |
| (ii) | Ist die rechte Seite der Gleichung Lipschitzstetig bzw. lokal Lipschitzstetig? |
| (iii) | Wie erklärt sich die eindeutige Lösbarkeit des Problems? |
| (iv) | Skizzieren Sie die Lösungskurven für selbst ausgewählte Anfangsdaten. |
Dieses Beispiel zeigt, dass die Lipschitzstetigkeit der rechten Seite hinreichend für die eindeutige Lösbarkeit ist, aber nicht notwendig.
...
24.2.3 Fortsetzbarkeit von Lösungen
Führt man den Beweis des vorigen Satzes mit der Norm \( \|\cdot\|_0, \) so wird man auf die nachfolgende Operatorabschätzung geführt (nehme an \( a^*\le a \)) \[ \begin{array}{lll} |T(y)-T(z)|\negthickspace & \le & \negthickspace\displaystyle q\int\limits_\xi^x|y(t)-z(t)|\,dt \\ & \le & \negthickspace\displaystyle q(x-\xi)\|y-z\|_0 \,\le\,a^*q\|y-z\|_0 \end{array} \] auf \( \xi\le x\le\xi+a^*. \) Man muss also fordern \[ a^*q\lt 1\quad\mbox{bzw.}\quad a^*\lt\frac{1}{q} \] und kann die Lösung eventuell nur auf einem Intervall \( [\xi,\xi+a^*] \) konstruieren, ganz in Abhängigkeit von \( q\gt 0: \) Je größer \( q, \) desto kleiner \( a^*. \) Um also Lösungen auf dem „großen Intervall“ \( [\xi,\xi+a] \) zu erhalten, müssen u.U. verschiedene Lösungen „im Kleinen zusammengeklebt“ werden.
Satz: Sei \( f\in C^0(D,\mathbb R) \) mit \( D\subseteq\mathbb R^2. \)
| (i) | Ist \( \Phi(x) \) in \( [\xi,b) \) Lösung von \( y'=f(x,y), \) welche ganz in einer kompakten Menge \( A\subset D \) verläuft, so lässt sich \( \Phi(x) \) als Lösung auf \( [\xi,b] \) fortsetzen. |
| (ii) | Sind \( \Phi(x) \) Lösung in \( [\xi,b] \) und \( \Psi(x) \) Lösung in \( [b,c] \) mit \( \Phi(b)=\Psi(b), \) so ist |
\[ u(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \Phi(x), & x\in[\xi,b] \\ \Psi(x), & x\in[b,c] \end{array} \right. \]
| eine Lösung in \( [\xi,c]. \) |
Für Details zur Fortsetzbarkeit von Lösungen verweisen wir auf W. Walters Lehrbuch.
| 1. | Für den Banachschen Fixpunktsatz und dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf ist die folgende sukzessive Approximation |
\[ y_{k+1}=T(y_k) \quad\mbox{mit}\quad T(y_k)=\eta+\int\limits_\xi^xf(t,y_k(t))\,dt,\ k=0,1,2,\ldots, \]
| wesentlich. Dieses sogenannte Picard-Lindelöf-Verfahren kann zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen genutzt werden. | |
| 2. | Eine hinreichende Bedingung für das Erfülltsein der Lipschitzbedingung bez. \( y(x) \) besteht in der partiellen Differenzierbarkeit von \( f(x,y) \) bez. \( y \) mit beschränkten Ableitungen. |
| 3. | Ein entsprechender Existenz- und Eindeutigkeitssatz gilt auch für das „linke“ Intervall \( [\xi-a,\xi]. \) |
Ist \( f(x,y) \) nur in einer Umgebung von \( (\xi,\eta) \) bekannt und nicht auf dem ganzen Streifen \( S, \) so gilt der
Satz: Mit \( a,b\gt 0 \) sei das Rechteck gegeben \[ R:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,\xi\le x\le\xi+a,\ |y-\eta|\le b\}\,. \] Es genüge \( f\in C^0(R,\mathbb R) \) der Lipschitzbedingung \[ |f(x,y)-f(x,\widetilde y)|\le q|y-\widetilde y|\quad\mbox{in}\ R. \] Dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems \[ y'(x)=f(x,y)\quad\mbox{in}\ \xi\le x\le\xi+h,\quad y(\xi)=\eta, \] mit der Setzung \[ h:=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\},\quad\mbox{wobei}\quad M:=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|. \] Entsprechendes gilt für ein links von \( (\xi,\eta) \) gelegenes Rechteck.
Wir verweisen auch hierzu auf W. Walter Lehrbuch Gewöhnliche Differentialgleichungen oder auch auf Sauvigny, F.: Analysis, ebenso wie für den noch gleich zu notierenden Satz.
Es ist dazu noch der Fall, dass \( f(x,y) \) nur lokal im nachstehenden Sinne Lipschitzstetig ist, zu betrachten, d.h. zu jedem \( (x_0,y_0)\in D \) gibt es eine Umgebung \( U \) und ein \( q(x_0,y_0), \) so dass \( f(x,y) \) in \( U \) Lipschitzstetig ist bez. \( y \) mit dieser Lipschitzkonstanten \( q(x_0,y_0). \)
Satz: Ist \( D\subseteq\mathbb R^2 \) offen, und ist \( f\in C^0(D,\mathbb R) \) lokal Lipschitzstetig, so ist das Anfangswertproblem \[ y'=f(x,y)\quad\mbox{in}\ I,\quad y(\xi)=\eta \] lokal eindeutig lösbar, d.h. in einer Umgebung von \( \xi \) existiert genau eine Lösung.
Aufgabe 1: (Zum Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf)
Das Iterationsverfahren \[ y_{k+1}=T(y_k),\quad T(y_k)=\eta+\int\limits_\xi^xf(t,y_k(t))\,dt,\quad k=0,1,2,\ldots, \] ist anzuwenden auf das Anfangswertproblem \[ y'=2xy\quad\mbox{in}[0,1]\subset\mathbb R,\quad y(0)=1, \] Als Startfunktion ist dabei \( y_0(x)\equiv 1 \) zu wählen.
| (i) | Berechnen Sie \( y_1, \) \( y_2 \) und \( y_3. \) |
| (ii) | Welche exakte Lösung können Sie aus Ihrer Approximation ablesen? Führen Sie eine Probe. |
| (iii) | Begründen Sie, dass es keine weiteren Lösungen gibt. |
...
Aufgabe 2: (Ein- und Mehrdeutigkeit II)
Betrachten Sie das Anfangswertproblem \[ y'=3y^\frac{2}{3}\,,\quad y(0)=\eta. \] Sei zunächst \( \eta=0. \)
| (i) | Verifizieren Sie, dass |
\[ y(x) =\left\{ \begin{array}{cl} (x+c)^3 & \mbox{für}\ x\in(-\infty,-c] \\ 0 & \mbox{für}\ x\in[-c,c] \\ (x-c)^3 & \mbox{für}\ x\in[c,\infty) \end{array} \right. \]
| für alle \( c\ge 0 \) Lösungen des Anfangswertproblems sind. | |
| (ii) | Wie lässt sich die Mehrdeutigkeit verstehen? Ist die rechte Seite der Gleichung Lipschitzstetig bzw. lokal Lipschitzstetig? |
| (iii) | Skizzieren Sie für wenigstens vier verschiedene Parameter \( c\ge 0 \) die Lösungskurven. |
Betrachten Sie nun den Fall \( \eta=2 \) und das Rechteck \[ R:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,|x|\le 1,\ |y-2|\le 1\}\,. \]
| (iv) | Zeigen Sie, dass die rechte Seite der Gleichung auf \( R \) Lipschitzstetig ist. |
| (v) | Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems. Ist diese Lösung eindeutig? Auf welchem Intervall \( I\subset\mathbb R \) existiert die Lösung? |
...
| 1. | Was versteht man unter einer Kontraktion? |
| 2. | Formulieren Sie den Banachschen Fixpunktsatz. |
| 3. | Formulieren Sie den Satz von Picard-Lindelöf. |
| 4. | Wie lautet das zum Beweis dieses Satzes verwendete Iterationsverfahren? |
Wir wollen nun das Anfangswertproblem \[ y'=f(x,y),\quad y(\xi)=\eta \] für nur stetige rechte Seiten \( f(x,y) \) lösen. Dabei halten wir uns an das Lehrbuch Analysis von F. Sauvigny. Unser Ziel ist ein Beweis des folgenden Existenzsatzes von Peano.
Satz: Sei \( f(x,y) \) stetig auf dem Rechteck \[ R:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,|\xi-x|\lt a,\ |\eta-y|\lt b\} \] mit den Seitenlängen \( a,b\gt 0 \) und beschränkt, d.h. es gebe ein \( M\in(0,\infty) \) mit der Eigenschaft \[ \sup_{(x,y)\in R}|f(x,y)|\le M. \] Setze \[ h:=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\}. \] Dann existiert eine Lösung \( y\in C^1([\xi-h,\xi+h],\mathbb R) \) des Anfangswertproblems \[ y'=f(x,y)\quad\mbox{in}\ [\xi-h,\xi+h],\quad y(\xi)=\eta. \]
Beispiel: Dass Eindeutigkeit in dieser allgemeinen Situation verloren geht, zeigt das Anfangswertproblem \[ y'=n|y|^{1-\frac{1}{n}}\,,\quad y(0)=0 \] für \( n=2,3,4,\ldots \) Dieses Problem besitzt nämlich die voneinander verschiedenen Lösungen \[ y_1(x)=0 \quad\mbox{sowie}\quad y_2(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^n\,, & x\ge 0 \\ 0, & x\lt 0 \end{array}\right.. \] Auch das Verfahren der sukzessiven Approximation bringt uns nicht weiter. Stattdessen werden wir uns des Auswahlsatzes von Arzela-Ascoli bedienen.
24.3.2 Der Auswahlsatz von Arzela-Ascoli
Satz: Sei \( J \) eine beliebige Indexmenge. Auf der kompakten Menge \( K\subset\mathbb R \) sei die Funktionenfamilie \[ {\mathcal F}:=\{f_\iota\colon K\longrightarrow\mathbb R\,:\,\iota\in J\} \] gegeben mit den folgenden Eigenschaften:
| (i) | Es ist \( {\mathcal F} \) gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein \( M\gt 0, \) so dass |
\[ |f_\iota(x)|\le M\quad\mbox{für alle}\ \iota\in J\ \mbox{und alle}\ x\in K. \]
| (ii) | Es ist \( {\mathcal F} \) gleichgradig stetig, d.h. zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0, \) so dass |
\[ |f_\iota(x)-f_\iota(y)|\lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ \iota\in J\ \mbox{und alle}\ x,y\in K\ \mbox{mit}\ |x-y|\lt\delta(\varepsilon). \] Dann enthält \( {\mathcal F} \) eine gleichmäßig konvergente Teilfolge \[ g_k\in{\mathcal F},\quad k=1,2,\ldots, \] welche in \( K \) gleichmäßig gegen eine Funktion \( g\in C^0(K,\mathbb R) \) konvergiert.
Wir gehen nach F. Sauvignys Lehrbuch vor. Achten Sie insbesondere auf die Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens sowie auf die Verwendung der Voraussetzung (ii) am Ende des Beweises.
| 1. | Zunächst vereinbaren wir die Abzählung |
| Da \( \{f_\iota(q_1)\,:\,\iota\in J\} \) nach Voraussetzung beschränkt ist, existiert eine Teilfolge |
| mit der Eigenschaft |
| Es konvergiert also \( \{f_{1k}\}_{k=1,\ldots}\subset{\mathcal F} \) in \( x=q_1 \) gegen ein \( g(q_1), \) aber diese Folge konvergiert nicht notwendig in \( x=q_2. \) Da aber \( \{f_{1k}(q_2)\}_{k=1,2,\ldots}\subset{\mathcal F} \) nach Voraussetzung ebenfalls beschränkt ist, existiert eine Teilfolge |
| mit der Eigenschaft |
| mit einem geeigneten Grenzwert \( g(q_2). \) | |
| 2. | Wir führen dieses Verfahren fort. Eine Teilfolge |
| konvergiert dann in \( x=q_3 \) gegen ein geeignetes \( g(q_3) \) usw. Wir erhalten somit das Schema |
| Die \( k \)-te Zeile dieses Schemas ist eine Teilfolge der \( (k-1) \)-ten Zeile. Es gilt stets |
| mit geeignet gewähltem \( g(q_\ell). \) | |
| 3. | Dann konvergiert aber auch die Diagonalfolge |
| in allen Punkten \( q_1,q_2,q_3,\ldots \) Setzen wir also |
| so erhalten wir eine neue Folge \( \{g_k\}_{k=1,2,\ldots} \) mit der Eigenschaft |
| 4. | Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz der Diagonalfolge \( \{g_k\}_{k=1,2,\ldots} \) Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) genügen, da \( K\subset\mathbb K \) nach Voraussetzung kompakt ist, nach dem Überdeckungssatz von Heine-Borel endlich viele offene Mengen |
| zur Überdeckung von \( K, \) etwa |
| mit geeignetem \( p\in\mathbb N. \) | |
| 5. | Sei nun ein \( q\in Q \) beliebig gewählt. Dann konvergiert \( g_k(q) \) nach Konstruktion gegen \( g(q) \) für \( k\to\infty. \) Zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert also ein \( k_0(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
| Da \( Q \) endlich ist, können wir den Index \( k_0(\varepsilon)\in\mathbb N \) auch gleichmäßig für alle \( q\in Q \) derart wählen, dass gilt |
| 6. | Für alle \( x\in K \) und alle \( k,\ell\ge k_0(\varepsilon) \) folgt hieraus und unter Benutzung der Voraussetzung (ii), wenn wir zu \( x\in K \) ein \( q\in Q \) mit \( |x-q|\lt\delta(\varepsilon) \) wählen, unter Benutzung der Dreiecksungleichung gleichmäßig auf \( K\subset\mathbb R \) |
| Folglich existiert auch der punktweise Grenzwert |
| 7. | Wir zeigen, dass diese Konvergenz gleichmäßig ist. Gehen wir nämlich in der vorigen Abschätzung zur Grenze \( \ell\to\infty \) über, so folgt |
| Also konvergieren die stetigen Funktionen \( g_k\colon K\to\mathbb R \) gleichmäßig gegen \( g(x), \) und nach einem Satz aus der Analysis 1 ist diese Grenzfunktion \( g(x) \) ebenfalls stetig. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Bemerkung: In F. Sauvignys Lehrbuch wird der Satz bewiesen für Funktionenfamilien \[ {\mathcal F}=\{f_\iota\colon K\to\mathbb R^m\,:\,\iota\in J\} \] auf kompakten Teilmengen \( K\subset\mathbb R^n. \) Wir haben nur den Fall \( m=n=1 \) betrachtet.
24.3.3 Beweis des Existenzsatzes von Peano
Beweis
Wir gehen erneut nach F. Sauvignys Lehrbuch vor. Dabei beschränken wir uns auf die Konstruktion einer Lösung \( y(x) \) auf dem rechtsseitigen Intervall \( [\xi,\xi+h]. \)
| 1. | Sei zunächst \( {\mathcal Z} \) eine Zerlegung von \( [\xi,\xi+h] \) gemäß |
\[ {\mathcal Z}\,:\,\xi=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_n=\xi+h\quad\mbox{mit}\quad h:=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\}. \]
| Zu dieser Zerlegung konstruieren wir einen Polygonzug |
\[ p_{\mathcal Z}(x)\colon[\xi,\xi+h]\longrightarrow\mathbb R, \]
| und zwar setzen wir auf \( [\xi,x_1]=[x_0,x_1] \) |
\[ p_{\mathcal Z}(x):=\eta+(x-\xi)f(\xi,\eta),\quad\xi\le x\le x_1\,, \]
| mit der Ableitung |
\[ p_{\mathcal Z}'(x)=f(\xi,\eta)\quad\mbox{auf}\ [x_0,x_1]. \]
| Wegen \( hM\le b \) folgt außerdem |
\[ |p_{\mathcal Z}(x)-\eta|\le|x-\xi|\cdot|f(\xi,\eta)|\le hM\le b\quad\mbox{in}\ [x_0,x_1] \]
| wegen \( \xi\le x\le x_1 \) und \( |f(x,y)|\le M. \) | |
| 2. | Auf \( [x_1,x_2] \) setzen wir \( p_{\mathcal Z}(x) \) wie folgt stetig fort |
\[ p_{\mathcal Z}(x) :=\left\{ \begin{array}{ll} \eta+(x-x_0)f(\xi,\eta), & x\in[x_0,x_1] \\ p_{\mathcal Z}(x_1)+(x-x_1)f(x_1,p_{\mathcal Z}(x_1)), & x\in[x_1,x_2] \end{array} \right. \]
| mit der Ableitung |
\[ p_{\mathcal Z}'(x)=f(x_1,p_{\mathcal Z}(x_1))\quad\mbox{auf}\ [x_1,x_2]. \]
| Damit können wir für alle \( x\in[x_1,x_2] \) abschätzen |
\[ \begin{array}{lll} |p_{\mathcal Z}(x)-\eta|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle |p_{\mathcal Z}(x)-p_{\mathcal Z}(\xi)| \,=\,|p_{\mathcal Z}(x_1)-p_{\mathcal Z}(\xi)+p_{\mathcal Z}(x)-p_{\mathcal Z}(x_1)| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle |x_1-\xi|\cdot|f(\xi,\eta)|+|x-x_1|\cdot|f(x_1,p_{\mathcal Z}(x_1))| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle (|x_1-\xi|+|x-x_1|)|)M \,=\,(x_1-\xi+x-x_1)M \\ & = & \negthickspace\displaystyle (x-\xi)M \,\le\,hM \,\le\,b \end{array} \]
| 3. | Wir führen dieses Verfahren fort bis zum letzten Teilungspunkt, d.h. in diesem letzten Schritt setzen wir den Polygonzug stetig fort durch Ansetzen von |
\[ p_{\mathcal Z}(x):=p_{\mathcal Z}(x_{n-1})+(x-x_{n-1})f(x_{n-1},p_{\mathcal Z}(x_{n-1})),\quad x_{n-1}\le x\le x_n=\xi+h. \]
| Dabei gelten |
\[ p_{\mathcal Z}'(x)=f(x_{n-1},p_{\mathcal Z}(x_{n-1}))\quad\mbox{auf}\ [x_{n-1},\xi+h] \]
| sowie, den Abschätzungen aus dem vorigen Beweispunkt analog, |
\[ |p_{\mathcal Z}(x)-\eta|\le b\quad\mbox{in}\ [x_{n-1},\xi+h]. \]
| 4. | Neben diesem Polygonzug betrachten wir außerdem die stückweise konstante Funktion |
\[ \zeta(x) :=\left\{ \begin{array}{ll} p_{\mathcal Z}(x_0), & x_0\le x\le x_1 \\ p_{\mathcal Z}(x_1), & x_1\lt x\le x_2 \\ \qquad\vdots & \qquad\vdots \\ p_{\mathcal Z}(x_{n-1}), & x_{n-1}\lt x\le x_n \end{array} \right., \]
| die wir als „Eulersche Treppenfunktion“ bezeichnen wollen. | |
| 5. | Wir betrachten nun die Funktionenfolge |
\[ {\mathcal F}:=\{p_{\mathcal Z}\colon[\xi,\xi+h]\longrightarrow\mathbb R,\ {\mathcal Z}\ \mbox{ist Zerlegung von}\ [\xi,\xi+h]\}\,. \]
| Zunächst verifiziert man wie oben die gleichmäßige Beschränktheit der \( p_{\mathcal Z}\in{\mathcal F} \) auf \( [\xi,\xi+h] \) und dann auch |
\[ |p_{\mathcal Z}(x)-p_{\mathcal Z}(y)|\le M|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[\xi,\xi+h]\ \mbox{und alle}\ p_{\mathcal Z}\in{\mathcal F}. \]
| Denn beispielsweise ist für \( x_{i-1}\le x\le x_i\le y\le x_{i+1} \) |
\[ \begin{array}{lll} |p_{\mathcal Z}(x)-p_{\mathcal Z}(y)|\negthickspace & \le & \negthickspace\displaystyle |p_{\mathcal Z}(x)-p_{\mathcal Z}(x_i)+p_{\mathcal Z}(x_i)-p_{\mathcal Z}(y)| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle |p_{\mathcal Z}(x_i)-p_{\mathcal Z}(x)|+|p_{\mathcal Z}(y)-p_{\mathcal Z}(x_i)| \\ & = & \negthickspace\displaystyle |x_i-x|\cdot|f(x_{i-1},p_{\mathcal Z}(x_{i-1}))|+|y-x_i|\cdot|f(x_i,p_{\mathcal Z}(x_i))| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle (|x_i-x|+|y-x_i|)M \,=\,(x_i-x+y-x_i)M \\ & \le & \negthickspace\displaystyle (y-x)M \,=\,|y-x|M. \end{array} \]
| Dabei ist \( M \) unabhängig von der Zerlegung, d.h. \( {\mathcal F} \) ist gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig. Nach dem Satz von Arzela-Ascoli finden wir also eine Zerlegungsfolge \( {\mathcal Z}^{(k)} \) von \( [\xi,\xi+h] \) mit Feinheitsmaß |
\[ |{\mathcal Z}^{(k)}|=\max_{\ell=1,\ldots,n}|x_\ell-x_{\ell-1}|\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ k\to\infty\,, \]
| so dass die zugehörige Folge von Polygonzügen |
\[ p_{{\mathcal Z}^{(k)}}(x),\quad x\in[\xi,\xi+h],\quad k=1,2,\ldots, \]
| gleichmäßig gegen die stetige Funktion |
\[ y(x):=\lim_{k\to\infty}p_{{\mathcal Z}^{(k)}}(x),\quad x\in[\xi,\xi+h], \]
| konvergiert. Die zu den Polygonzügen \( p_{{\mathcal Z}^{(k)}} \) gehörigen, stückweise konstanten „Eulerschen Treppenfunktion“ bezeichnen wir mit |
\[ \zeta^{(k)}\colon[\xi,\xi+h]\longrightarrow\mathbb R,\quad k=1,2,\ldots \]
| 6. | Die Folge \( \{\zeta^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) konvergiert ebenfalls gleichmäßig gegen die Funktion \( y(x), \) d.h. |
\[ y(x)=\lim_{k\to\infty}\zeta^{(k)}(x)\quad\mbox{gleichmäßig auf}\ [\xi,\xi+h], \]
| was wir uns als Übung klarmachen. Nach unseren Voraussetzungen an die rechte Seite \( f(x,y) \) der Differentialgleichung ist daher |
\[ \lim_{k\to\infty}f(x,\zeta^{(k)}(x))=f(x,y(x)),\quad x\in[\xi,\xi+h]. \]
| 7. | Damit können wir endlich das für \( p_{{\mathcal Z}^{(k)}}(x) \) gültige Integralgleichungsproblem |
\[ p_{{\mathcal Z}^{(k)}}(x)=\eta+\int\limits_\xi^xf(t,\zeta^{(k)}(t))\,dt \]
| im Grenzfall \( k\to\infty \) auswerten. Achten Sie darauf, wie durch gleichzeitiges Betrachten der Eulerschen Treppenfunktionen die Polygonzüge hierin nur noch auf der linken Seite auftauchen. Wir dürfen Limes und Integration vertauschen und erhalten |
\[ \begin{array}{lll} y(x)-\eta\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{k\to\infty}\big\{p_{{\mathcal Z}^{(k)}}(x)-\eta\big\} \,=\,\lim_{k\to\infty}\int\limits_\xi^xf(t,\zeta^{(k)}(t))\,dt \\ & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_\xi^x\lim_{k\to\infty}f(t,\zeta^{(k)}(t))\,dt \,=\,\int\limits_\xi^xf(t,y(t))\,dt. \end{array} \]
| Umstellen liefert |
\[ y(x)=\eta+\int\limits_\xi^xf(t,y(t))\,dt. \]
| Als Übung belassen wir zu zeigen, dass damit \( y(x) \) auch das Anfangswertproblem löst. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)