Quellenstudium
Proklus Diadochus (etwa 450; Übersetzung von M. Steck
1945)
Dem "Hinabsteigen" von der Fläche zur Linie zum Punkt wird erläuternd hinzugefügt:
Sie [die Linie] ist nämlich eine Länge und damit geht sie über die Unteilbarkeit des Punktes hinaus; aber eine Länge ohne Fläche, da sie frei von den anderen Ausdehnungen ist.
Eine Linie wurde aber bereits auch damals wie auch bis in das 19. Jahrhundert hinein häufig als die Spur verstanden, die ein sich bewegender Punkt hinterlässt:
Man definiert sie aber auch auf andere Weise, die einen, indem sie sie einen fließenden (sich bewegenden) Punkt nennen, die anderen eine Größe nach einer Richtung ausgedehnt.
Wilhelm Holtzmann (Xylander;
1562)
Xylander fasst in dieser Definition die anschauliche Beschreibung einer Linie als eine breitenlose Länge sowie die Eigenschaft einer endlichen Linie, von
zwei Punkten berandet zu sein, zusammen. Gewöhnlich trennt man diese beiden Aspekte in die zwei Definitionen I.2 und I.3 auf.
Billingsley fügt folgende Erläuterung hinzu, die das "Hinabsteigen" von der Fläche zur Linie zum Punkt verdeutlichen:
There pertain to quantitie three dimensions, length, bredth, & thicknes, or depth: and by these thre are all quatities measured & made known. There are also, according to these three dimensions, three kyndes of continuall quantitites: a lyne, a superficies, or plane, and a body ... A point, for that it is no quantitie nor hath any partes into which it may be devided, but remaineth indivisible, hath not, nor can have any of these three dimensions. It neither hath length, breadth, nor thickness. But to a line, which is the first kynde of quantitie, is attributed the first dimension, namely, length, and onely that, for it hath neither breadth nor thicknes, but is conceaved to be drawne in length onely, and by it, it may be devided into parts as many as ye list, equall, or unequall. But as touching breadth it remaineth indivisible.
Billingsley erwähnt schließlich zwei weitere Definitionen der Linie, ohne sie zu kommentieren:
Marius fügt hinzu, was Euklid unter einer Linie wohl verstanden hat:
Es seyn der Linien eigentlich dreyerley. Die 1. ist ein gerade schnurebene Lini / Die 2. ein gebogene oder Circkel Lini / von diesen beeden Linien handelt allhier Euclides, Die 3. ist ein geflochtene oder gewundene Lini / so sonsten eine Schlangen Lini genennet wird / deren Nutz ist vornemlich in Architectura.
Auch hier lesen wir erläuternd:
In gleichen wird eine Lini verstanden in Abmessung jeder Weiten / so ein ort vom andern hat / als eine blosse Lenge. Und wie das vorgehende 2. Element lehret / daß jede Lini durch Bewegung eines Puncten herfür komme / also wird dieselbe auch durch ein Punct geendet.
Ernst Burckhard von Pirckenstein (1694)
Wie für alle zu definierenden Euklidischen Begriffe, gibt Reyhers auch hier nur eine anschauliche Beschreibung einer
Linie.
An der anschließenden Erläuterung ist bemerkenswert, dass Hill eine Linie als ein aus unendlich vielen Punkten bestehenden "Menge" versteht:
Because a Line hath Length, it is called a Quantity of one Dimension, and is supposed to consist of an infinite Number of Points.
Auch Stone bezieht sich auf die dynamische Erzeugung einer Linie:
A Line is made by moving or drawing a Point from one place to another: it being the Mark or Trace that that Point leaves behind it.
Claude Francois Milliet D'Chales (1748)
Auch d'Chales Anmerkung ist aus historischer Sicht sehr lesenswert:
For a Line may be conceived to be generated by the Fluxion or Motion of a Point, and while the Point is supposed to be at Rest, the Line may, then, be said to be in its nascent State, but the Instant the Point begins to move along the Plain, the Line is then generated: And this Idea of Generation of Lines the best agrees with the new Arithmetic of Fluxions, first invented by that incomparable Mathematician Sir Isaac Newton.
Johann Karl Friedrich Hauff (1807)
Das "Hinabsteigen" vom Körper zur Fläche zur Linie zum Punkt wird bei Bonnycastle besonders deutlich: Die Definition der
Linie erfolgt nämlich erst an dritter Stelle den Definitionen des Körpers und der Fläche.
Playfair fügt, weitere Definitionen ersetzend, als Corollary hinzu:
The extremities of a line are points; and the intersections of one line with another are also points.
Friedrich Kries ... noch einzuarbeiten
Johann Josef Ignaz Hoffmann
(1829)
Erläuternd lesen wir dazu:
The introduction of the idea of motion into geometry has been objected to as being foreign to that science. Nevertheless, it seems very doubtful whether we may not derive from motion the most distinct ideas of the modes of magnitude. If a mathematical point be conceived to move in space, and to mark its course by a trace or track,that trace or track will be a mathematical line. As the moving point has no magnitude, so it is evident that its track can have no breadth or thickness ... As a mathematical line may be conceived to proceed from the motion of a mathematical point, so a physical line may be conceived to be generated by the motion of a physical point.
Law fährt an dieser Stelle mit Playfairs oben genanntem Corollary an und fügt dann, eine eigene Definition der Endpunkte einer Linie umgehend, hinzu:
When a line is cut at any point, the parts of the line between that point and its extremities are termed segments.
Johann Friedrich Lorenz (1860)
Wir würden Heiberg so übersetzen: Linie aber eine Länge ohne Breite.
Smith bemerkt erläuternd:
We cannot conceive a visible line without breadth; but we can reason about lines as if they had no breadth, and this is what Euclid requires us to do.
Playfair folgend, bemerkt auch Mackay:
Hence the ends of a line are points, and the intersection of two lines is a point.
Wir lesen als Erläuterung:
A line is space of one dimension. If it had any breadth, no matter how small, it would be space of two dimensions; and if in addition it had any thickness it would be space of three dimensions; hence a line has neither breadth nor thickness.
Sophie Bryant, Charles Smith
(1901)
Bryant und Smith veranschaulichen den Begriff der Linie mit den folgenden Worten:
Again, the cricket ball might have a black patch upon it, and the boundary of this patch is a line. The line is not a strip of the black surface next to the red any more than it is a thin strip of the red surface next to the black; it is the boundary between the two and it has no breadth whatever.
Hiernach hätte Euklid, so Bryant und Smith, auch folgende Definition der Linie geben können:
A line is the boundary of a portion of a surface. A line has no breadth or thickness but length only.
Heath fügt, leider ohne detaillierte Begründung, folgende historische Anmerkung hinzu:
This definition may safely attributed to the Platonic School, if not to Plato himself.