Präsenzblatt 11
Aufgabe PA 50
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x & \mbox{für}\ 0\le x\lt 1 \\[0.6ex] 0 & \mbox{für}\ x=1 \end{array} \right. \quad\mbox{mit}\quad f(0)=f(1)=0. \] Ist der Satz von Rolle anwendbar? Begründen Sie.
Der Satz von Rolle ist nicht anwendbar, es existiert kein \( \xi\in(0,1) \) mit \( f'(\xi)=0, \) denn es gilt \( f'(x)=1 \) in \( (0,1). \) Es ist \( f \) in \( (0,1) \) zwar differenzierbar, aber in \( [0,1] \) nicht stetig, d.h. die Voraussetzungen des Satzes von Rolle sind nicht erfüllt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 51
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x)=x+e^x\,,\quad x\in\mathbb R\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) streng monoton wachsend ist und daher eine Umkehrfunktion \( g(y) \) existiert. |
| (ii) | Bestimmen Sie \( g(1), \) \( g'(1) \) und \( g''(1) \) mit der zweiten Ableitung \( g''(x)=(g'(x))'. \) |
| (i) | Es sind die Funktionen \( x \) und, nach HA 45(iv), \( e^x \) streng monoton wachsend, also ist auch die Funktion \( f(x)=x+e^x \) streng monoton wachsend und besitzt eine Umkehrfunktion, definiert auf dem Bild von \( f(x). \) |
| (ii) | Die Umkehrfunktion \( g \) von \( f \) ist wenigstens zweimal stetig differenzierbar (Ableitung der Umkehrfunktion), aber \( g \) kann nicht explizit bestimmt werden. Wir differenzieren die Identität \( f(g(y))=y \) und erhalten in \( x=x(y) \) |
\[ \frac{df(x)}{dx}\cdot\frac{dg(y)}{dy}=1 \quad\mbox{bzw.}\quad g'(y)=\frac{1}{f'(y)} \]
| für die erste Ableitung und |
\[ \frac{d^2f(x)}{dx^2}\cdot\left(\frac{dg(y)}{dy}\right)^2+\frac{df(x)}{dx}\cdot\frac{d^2g(y)}{dy^2}=0 \]
| bzw. nach Umstellen |
\[ g''(y)=-\,\frac{f''(x)g'(y)^2}{f'(x)}=-\,\frac{f''(x)}{f'(x)^3} \]
| für die zweite Ableitung unter der Bedingung \( f'(x)\not=0, \) was hier aber stets erfüllt ist. Nun sind |
\[ f(x)=x+e^x\,,\quad f'(x)=1+e^x\,,\quad f''(x)=e^x \]
| und damit |
\begin{align} &f(0)=1,\quad\mbox{d.h.}\quad g(1)=0, \\[0.6ex] &f'(0)=2,\quad f''(0)=1. \end{align}
| Es folgen also |
\[ g'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}\,,\quad g''(1)=-\,\frac{f''(0)}{f'(0)^3}=-\,\frac{1}{8}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 52
| (i) | Unter Verwendung von \( (e^x)'=e^x \) ist zu beweisen |
\[ (\ln x)'=\frac{1}{x}\,,\quad x\in(0,\infty). \]
| (ii) | Zeigen Sie damit, dass für differenzierbare Funktionen \( f\colon(0,\infty)\to\mathbb R \) gilt |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \]
| (iii) | Berechnen Sie unter Verwendung der Regel aus (ii) die erste Ableitung von |
\[ f(x)=(1+x)(1+e^{x^2})\,. \]
| (i) | Mit \( f(x)=e^x \) ist zunächst |
\[ f'(x)=e^x\,,\quad x\in\mathbb R. \]
| Wir haben die Inverse \( g(y)=\ln y, \) genauer |
\[ f'(g(y))=e^{\ln y}=y,\quad y\gt 0. \]
| Zusammengefasst folgt |
\[ \frac{d}{dy}\,g(y)=\frac{d}{dy}\,\ln y=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{y}\,,\quad y\gt 0. \]
| (ii) | Diese Behauptung folgt mit der Kettenregel |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \]
| (iii) | Zunächst ist nach HA 45(v) |
\[ \ln f(x)=\ln[(1+x)\cdot(1+e^{x^2})]=\ln(1+x)+\ln(1+e^{x^2}). \]
| Es folgt nach Ableiten, jetzt mit der speziellen Funktion \( f(x)=(1+x)(1+e^{x^2}), \) |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x) =\frac{d}{dx}\,\ln(1+x)+\frac{d}{dx}\,\ln(1+e^x) =\frac{1}{1+x}+\frac{2xe^{x^2}}{1+e^{x^2}} \]
| und damit |
\[ f'(x)=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\,\ln f(x)=1+e^{x^2}+2x(1+x)e^{x^2}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 53
Berechnen Sie die ersten Ableitungen folgender reellwertiger Funktionen.
| (i) | \( f(x)=2^x \) |
| (ii) | \( f(x)=4^{x^2} \) |
| (iii) | \( f(x)=x^{2x} \) |
| (i) | Wegen \( \ln f(x)=\ln 2^x=x\ln 2 \) folgt |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{d}{dx}\,\ln 2^x=\frac{d}{dx}\,x\ln 2=\ln 2 \]
| und damit |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln 2 \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=f(x)\cdot\ln 2=2^x\ln 2. \]
| (ii) | Wir ermitteln |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{d}{dx}\,\ln 4^{x^2}=\frac{d}{dx}\,x^2\ln 4=2x\ln 4 \]
| und damit |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}=2x\ln 4 \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=2x\cdot 4^{x^2}\cdot\ln 4. \]
| (iii) | Wir ermitteln |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{d}{dx}\,\ln x^{2x}=\frac{d}{dx}\,2x\ln x=2\ln x+2=2(1+\ln x) \]
| und damit |
\[ f'(x)=2(1+\ln x)x^{2x}\,. \] Das war gesucht.\( \qquad\Box \)