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Präsenzblatt 13


 

Aufgabe PA 59

 

Verifizieren Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass für alle z1,z2C richtig sind:

 

(i) sin(z1+z2)=sinz1cosz2+sinz2cosz1
(ii) cos(z1+z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2

 

Lösung

 

(i) Unter Benutzung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion ermitteln wir

sinz1cosz2+sinz2cosz1=14i(eiz1eiz1)(eiz2+eiz2)+14i(eiz2eiz2)(eiz1+eiz1)=14i(ei(z1+z2)+ei(z1z2)ei(z1z2)ei(z1+z2))+14i(ei(z2+z1)+ei(z2z1)ei(z2z1)ei(z2+z1))=12i(ei(z1+z2)ei(z1+z2))=sin(z1+z2).

(ii) Unter Benutzung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion ermitteln wir

cosz1cosz2sinz1sinz2=14(eiz1+eiz1)(eiz2+eiz2)+14(eiz1eiz1)(eiz2eiz2)=14(ei(z1+z2)+ei(z1z2)+ei(z1z2)+ei(z1+z2))+14(ei(z1+z2)ei(z1z2)ei(z1z2)+ei(z1+z2))=12(ei(z1+z2)+ei(z1+z2))=cos(z1+z2). Damit ist alles gezeigt.

 

Aufgabe PA 60

 

Verifizieren Sie zunächst unter Verwendung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion cos2z+sin2z=1für alle zC. Verifizieren Sie damit und unter Verwendung voriger Aufgabe, dass für alle zC richtig sind:

 

(i) sin2z=2sinzcosz
(ii) cos2z=cos2zsin2z
(iii) 2sin2z=1cos2z
(iv) 2cos2z=1+cos2z

 

 

Lösung

 

Zunächst ist für alle zC sin2z+cos2z=14(eizeiz)2+14(eiz+eiz)2=14(e2iz+e2iz2)+14(e2iz+e2iz+2)=142+142=1.

(i) In PA 58(i) setzen wir z=z1=z2 und erhalten

sin2z=sin(z+z)=sinzcosz+sinzcosz=2sinzcosz.

(ii) In PA 58(ii) setzen wir z=z1=z2 und erhalten

cos2z=cos(z+z)=coszcoszsinzsinz=cos2zsin2z.

(iii) Unter Verwendung von sin2z+cos2z=1 und PA 58(ii) ermitteln wir

1cos2z=(sin2z+cos2z)(cos2zsin2z)=2sin2z.

(iv) Erneut unter Verwendung von sin2z+cos2z=1 und PA 58(ii) ermitteln wir

1+cos2z=(sin2z+cos2z)+(cos2zsin2z)=2cos2z. Damit ist alles gezeigt.

 

 

Aufgabe PA 61

 

(i) Ermitteln Sie die exakten Werte der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktion für die Argumente

x=0undx=π2.

(ii) Beweisen Sie die Phasenverschiebungsgleichungen

cos(π2x)=sinx,sin(π2x)=cosx,xR.

(iii) Zeigen Sie, dass sinx streng monoton wachsend für π2xπ2 und cosx streng monoton fallend für 0xπ sind.

 

Lösung

 

(i) Aus den Reihenentwicklungen

cosx=k=0(1)k(2k)!x2k=1x22!+x44!+,sinx=k=0(1)k(2k+1)!x2k+1=xx33!+x55!

  lesen wir ab

cos0=1,sin0=0.

  Nach Vorlesung ist π2 die erste positive Nullstelle des Kosinus. Ebenfalls aus der Vorlesung wissen wir (siehe Beweis zu Satz 16)

ddxcosx=sinx<0,ddxsinx=cosx>0für alle 0xπ2,

  d.h. es ist sinπ20, und es folgen

cosπ2=0,sinπ2=1cos2π2=1.

(ii) Mit den Additionstheoremen und Aufgabenteil (i) ermitteln wir

cos(π2x)=cosπ2cosxsinπ2sinx=sin(x)=sinx,sin(π2x)=cosπ2sinx+sinπ2cosx=cosx.

(iii) Wegen

ddxsinx=cosx>0für alle 0<x<π2

  ist der Sinus streng monoton wachsend auf [0,π2]. Damit ist sinx>0 in (0,π2) und daher wegen

ddxcosx=sinx<0für alle 0<x<π2

  der Kosinus streng monoton fallend auf [0,π2]. Unter Beachtung von Teilaufgabe (ii) bzw.

sin(xπ2)=cosx,cosx=sin(xπ2)

  ist der Sinus damit auch auf [π2,0] streng monoton wachsend und der Kosinus auf [0,π] streng monoton fallend.

 

Damit ist alles gezeigt.

 

 

Aufgabe PA 62

 

Verifizieren Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass für alle zC richtig sind:

 

(i) cos2z2=1+cosz2
(ii) sin2z2=1cosz2

 

Folgern Sie, dass im Reellen gelten

 

(iii) cosx2=1+cosx2 für alle x[π,π]
(iv) sinx2=1cosx2 für alle x[0,2π].

 

Lösung

 

(i) In PA 59(iv) ersetzen wir z durch z2 und erhalten

cos2z2=1+cosz2.

(ii) In PA 59(iii) ersetzen wir z durch z2 und erhalten

sin2z2=1cosz2.

(iii) Wegen cosx20 und 1+cosx0 in [π,π] können wir in (i) die Wurzel ziehen zu

cosz2=1+cosx2,x[π,π].

(iv) Wegen sinx20 und 1cosx0 in [0,2π] können wir in (ii) die Wurzel ziehen zu

sinx2=1cosx2,x[0,2π]. Damit ist alles gezeigt.

 

 

Aufgabe PA 63

 

Ermitteln Sie die exakten Werte der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktion für folgende Argumente.

 

(i) x=π4
(ii) x=π8
(iii) x=π6
(iv) x=π12

 

Lösung

 

(i) Nach PA 61(iii) ist

cosπ4=1+cosπ22=12=22.

  Analog folgt mit PA 61(iv)

sinπ4=1cosπ22=12=22.

(ii) Erneut nach PA 61(iii) ist

cosπ8=1+cosπ22=1+222=24+24=2+22

  und entsprechend

sinπ8=1cosπ42=1222=2424=222.

(iii) Zunächst ermitteln wir

sin(3x)=sin(x+2x)=sinxcos2x+sin2xcosx=sinx(cos2xsin2x)+2sinxcos2x=3sinxcos2xsin3x=3sinx(1sin2x)sin3x=3sinx4sin3x

  und damit insbesondere

1=sinπ2=3sinπ64sin3π6.

  Gesucht ist x=sinπ6. Wir betrachten daher die Funktion

f(x):=4x33x+1,x[0,1],

  mit f(0)=1, f(1)=2 und den Ableitungen

f(x)=12x23,f

  Es ist x=\frac{1}{2} einzige Nullstelle und ein globaless Minimum der Funktion in [0,1]. Also folgen

\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\,,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,.

(iv) Schließlich ermitteln wir mit (iii)

\cos\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}

  sowie

\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{1-\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\,. Das war gesucht. \qquad\Box

 

 

Aufgabe PA 64

 

Ermitteln Sie Betrag r\ge 0 und Argument \varphi\in[0,2\pi) folgender komplexer Zahlen.

 

(i) z=(1,0)
(ii) z=(0,1)
(iii) z=(-1,0)
(iv) \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
(v) \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\,\frac{i}{2}\right)

 

Lösung

 

(i) Es sind r=1 und \varphi=0.
(ii) Es sind r=1 und \varphi=\frac{\pi}{2}.
(iii) Es sind r=1 und \varphi=\pi.
(iv) Nach PA 62(i) sind r=1 und \varphi=\frac{\pi}{4}.
(v) Nach PA 62(iii) sind r=1 und \varphi=\frac{\pi}{6}.

 

 

Aufgabe PA 65

 

Es seien \varphi\in[0,2\pi) das Argument der komplexen Zahl z=x+iy und |z|>0 ihr Betrag. Ferner bedeute \psi das Argument von z^2. Verifizieren Sie \sin\psi=2\sin\varphi\cos\varphi,\quad \cos\psi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi. Vergleichen Sie diese Identitäten mit den Winkelverdopplungsformeln aus PA 59.

 

Lösung

 

Es sei z=x+iy. Wir ermitteln zunächst z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy. Es bedeute \psi das Argument von z^2, also z=|z|(\cos\psi+i\sin\psi)=x^2-y^2+2ixy bzw. nach Vergleich \cos\psi=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,,\quad \sin\psi=\frac{2xy}{x^2+y^2}\,. Es ist also insbesondere \cos\psi =\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2-\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2 =\left(\frac{\mbox{Re}\,z}{|z|}\right)^2-\left(\frac{\mbox{Im}\,z}{|z|}\right)^2 und damit \cos\psi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi. Das vergleichen wir mit der Winkelverdopplungsformel \cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi und erhalten \cos\psi=\cos 2\varphi. Analog berechnen wir \sin\psi =\frac{2xy}{x^2+y^2} =2\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} =2\cos\varphi\sin\varphi, und auch das vergleichen wir mit der Winkelverdopplungsformel \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi, also \sin\psi=\sin 2\varphi. Das war gefordert. \qquad\Box

 

 

Aufgabe PA 66

 

Es sei z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) eine komplexe Zahl in Polardarstellung. Beweisen Sie, dass dann gilt z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),\quad n=1,2,\ldots

 

Lösung

 

Die Behauptung ist für k=1 richtig und für k=2 nach PA 64. Sei also nun z^k=r^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi) für alle k=1,\ldots,n für ein n\in\mathbb N richtig. Unter Benutzung der Additionstheoreme berechnen wir \begin{align} z^{n+1} &= z\cdot z^n=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) \\[0.6ex] &= r^{n+1}\,\big\{(\cos\varphi\cos n\varphi-\sin\varphi\sin n\varphi)+i(\cos\varphi\sin n\varphi+\sin\varphi\cos n\varphi)\big\} \\[0.6ex] &= r^{n+1}\,\big\{\cos(\varphi+n\varphi)+i\sin(\varphi+n\varphi)\big\} \\[0.6ex] &= r^{n+1}\,\big\{\cos(n+1)\varphi+i\sin(n+1)\varphi\}\,. \end{align} Das Prinzip der vollständigen Induktion beweist die Behauptung. \qquad\Box

 

 

Aufgabe PA 67

 

Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre:

 

(i) z=(1+i)^{100}
(ii) \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{90}
(iii) \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{84}

 

Lösung

 

(i) Es ist

z^{100}=\sqrt{2}^{100}\left(\cos\frac{100\pi}{4}+i\sin\frac{100\pi}{4}\right)=\sqrt{2}^{100}(\cos\pi+i\sin\pi)=-\sqrt{2}^{100}\,.

(ii) Es ist nach PA 62(i)

z^{90}=1^{90}\left(\cos\frac{90\pi}{4}+i\sin\frac{90\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.

(iii) Es ist nach PA 62(iii)

z^{84}=1^{84}\left(\cos\frac{84\pi}{6}+i\sin\frac{84\pi}{6}\right)=\cos 0+i\sin 0=1. Damit sind alle gesuchten Größen ermittelt. \qquad\Box

 

 

Aufgabe PA 68

 

Es sei z=x+iy mit x,y\in\mathbb R. Wir definieren die hyperbolischen Funktionen \cosh z:=\frac{1}{2}\,(e^z+e^{-z}),\quad \sinh z:=\frac{1}{2}\,(e^z-e^{-z}).

(i) Zeigen Sie, dass für alle z\in\mathbb C gelten

\cos(iz)=\cosh z,\quad \sin(iz)=i\sinh z.

(ii) Folgern Sie, dass für alle x,y\in\mathbb R gelten

\begin{align} \displaystyle\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y, \\[0.6ex] \displaystyle\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \end{align}

(iii) Sind der komplexwertige Sinus und der komplexwertige Kosinus im Komplexen beschränkt? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Wir setzen iz als Argument in die Darstellungen

\cos z=\frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}),\quad \sin z=\frac{1}{2i}\,(e^{iz}-e^{-iz})

  ein und erhalten

\begin{align} \cos(iz) &= \frac{1}{2}\,(e^{i\cdot iz}+e^{-i\cdot iz})=\frac{1}{2}\,(e^{-z}+e^{z})=\frac{1}{2}\,(e^z+e^{-z})=\cosh z, \\[1.6ex] \sin(iz) &= \frac{1}{2i}\,(e^{i\cdot iz}-e^{-i\cdot iz})=\frac{1}{2i}\,(e^{-z}-e^{z})=-\,\frac{1}{2i}\,(e^z-e^{-z}) \\[1.6ex] &= \frac{i}{2}\,(e^z-e^{-z})=i\sinh z. \end{align}

(ii) Für z=x+iy berechnen wir

\begin{array}{l} \sin x\cos+i\cos x\sinh y \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4i}\,(e^{ix}-e^{-ix})(e^y+e^{-y})+\frac{i}{4}\,(e^{ix}+e^{-ix})(e^y-e^{-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4i}\,(e^{ix+y}+e^{ix-y}-e^{-ix+y}-e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \qquad\quad\displaystyle -\,\frac{1}{4i}\,(e^{ix+y}-e^{ix-y}+e^{-ix+y}-e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4i}\,(2e^{ix-y}-2e^{-ix+y}) \,=\,\frac{1}{2i}\,(e^{ix-y}-e^{-ix+y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2i}\,(e^{ix+i\cdot iy}-e^{-ix-i\cdot iy}) \,=\,\frac{1}{2i}\,(e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2i}\,(e^{iz}-e^{-iz}) \,=\,\sin z \end{array}

  und entsprechend

\begin{array}{l} \cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4}\,(e^{ix}+e^{-ix})(e^y+e^{-y}-\frac{i}{4i}\,(e^{ix}-e^{-ix})(e^y-e^{-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4}\,(e^{ix+y}+e^{ix-y}+e^{-ix+y}+e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \qquad\quad\displaystyle -\,\frac{1}{4}\,(e^{ix+y}-e^{ix-y}-e^{-ix+y}+e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4}\,(2e^{ix-y}+2e^{-ix+y}) \,=\,\frac{1}{2}\,(e^{ix-y}+e^{-ix+y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2}\,(e^{ix+i\cdot iy}+e^{-ix-i\cdot iy}) \,=\,\frac{1}{2}\,(e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}) \,=\,\cos z. \end{array}

(iii) Setzen wir z=iy, so erhalten wir

\sin(iy)=i\sinh y\quad\mbox{und damit}\quad|\sin(iy)|=|\sinh y|\longrightarrow\infty\ \mbox{für}\ y\to\infty

  und ebenso

\cos(iy)=\cosh y\quad\mbox{und damit}\quad|\cos(iy)|=\cosh y\longrightarrow\infty\ \mbox{für}\ y\to\infty\,.

  Im Komplexen sind Kosinus und Sinus also nicht beschränkt. \qquad\Box

 

 

Aufgabe PA 69

 

Die Umkehrfunktion (des Hauptzweiges) der reellwertigen Tangensfunktion \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}\,,\quad -\,\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\,, heißt Arkustangens \arctan.

(i) Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich von \tan und \arctan.
(ii) Skizzieren Sie beide Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
(iii) Berechnen Sie die Ableitungen von \tan und \arctan. Welches Monotonieverhalten besitzen diese Funktionen?

 

Lösung

 

(i) Es sind (Hauptzweig)

\tan\colon\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\longrightarrow\mathbb R,\quad \arctan\colon\mathbb R\longrightarrow\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

(iii) Zunächst berechnen wir

\frac{d}{dx}\,\tan x =\frac{d}{dx}\,\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac{1}{\cos^2x}\,.

  Nun beachten wir

\frac{1}{\cos^2x} =\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x} =\frac{\sin^2}{\cos^2x}+1 =\tan^2x+1

  und kommen damit zur Berechnung der Ableitung des Arkustangens

\frac{d}{dy}\,\arctan y =\frac{1}{\frac{1}{\cos^2(\arctan y)}} =\frac{1}{\tan^2(\arctan y)+1} =\frac{1}{1+y^2}\,.

  Beide Funktionen sind streng monoton wachsend.

Damit ist alles gezeigt. \qquad\Box