Präsenzblatt 13
Aufgabe PA 59
Verifizieren Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass für alle z1,z2∈C richtig sind:
(i) | sin(z1+z2)=sinz1cosz2+sinz2cosz1 |
(ii) | cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2 |
(i) | Unter Benutzung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion ermitteln wir |
sinz1cosz2+sinz2cosz1=14i(eiz1−e−iz1)(eiz2+e−iz2)+14i(eiz2−e−iz2)(eiz1+e−iz1)=14i(ei(z1+z2)+ei(z1−z2)−e−i(z1−z2)−e−i(z1+z2))+14i(ei(z2+z1)+ei(z2−z1)−e−i(z2−z1)−e−i(z2+z1))=12i(ei(z1+z2)−e−i(z1+z2))=sin(z1+z2).
(ii) | Unter Benutzung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion ermitteln wir |
cosz1cosz2−sinz1sinz2=14(eiz1+e−iz1)(eiz2+e−iz2)+14(eiz1−e−iz1)(eiz2−e−iz2)=14(ei(z1+z2)+ei(z1−z2)+e−i(z1−z2)+e−i(z1+z2))+14(ei(z1+z2)−ei(z1−z2)−e−i(z1−z2)+e−i(z1+z2))=12(ei(z1+z2)+e−i(z1+z2))=cos(z1+z2). Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe PA 60
Verifizieren Sie zunächst unter Verwendung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion cos2z+sin2z=1für alle z∈C. Verifizieren Sie damit und unter Verwendung voriger Aufgabe, dass für alle z∈C richtig sind:
(i) | sin2z=2sinzcosz |
(ii) | cos2z=cos2z−sin2z |
(iii) | 2sin2z=1−cos2z |
(iv) | 2cos2z=1+cos2z |
Zunächst ist für alle z∈C sin2z+cos2z=−14(eiz−e−iz)2+14(eiz+e−iz)2=−14(e2iz+e−2iz−2)+14(e2iz+e−2iz+2)=14⋅2+14⋅2=1.
(i) | In PA 58(i) setzen wir z=z1=z2 und erhalten |
sin2z=sin(z+z)=sinzcosz+sinzcosz=2sinzcosz.
(ii) | In PA 58(ii) setzen wir z=z1=z2 und erhalten |
cos2z=cos(z+z)=coszcosz−sinzsinz=cos2z−sin2z.
(iii) | Unter Verwendung von sin2z+cos2z=1 und PA 58(ii) ermitteln wir |
1−cos2z=(sin2z+cos2z)−(cos2z−sin2z)=2sin2z.
(iv) | Erneut unter Verwendung von sin2z+cos2z=1 und PA 58(ii) ermitteln wir |
1+cos2z=(sin2z+cos2z)+(cos2z−sin2z)=2cos2z. Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe PA 61
(i) | Ermitteln Sie die exakten Werte der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktion für die Argumente |
x=0undx=π2.
(ii) | Beweisen Sie die Phasenverschiebungsgleichungen |
cos(π2−x)=sinx,sin(π2−x)=cosx,x∈R.
(iii) | Zeigen Sie, dass sinx streng monoton wachsend für −π2≤x≤π2 und cosx streng monoton fallend für 0≤x≤π sind. |
(i) | Aus den Reihenentwicklungen |
cosx=∞∑k=0(−1)k(2k)!x2k=1−x22!+x44!+…,sinx=∞∑k=0(−1)k(2k+1)!x2k+1=x−x33!+x55!−…
lesen wir ab |
cos0=1,sin0=0.
Nach Vorlesung ist π2 die erste positive Nullstelle des Kosinus. Ebenfalls aus der Vorlesung wissen wir (siehe Beweis zu Satz 16) |
ddxcosx=−sinx<0,ddxsinx=cosx>0für alle 0≤x≤π2,
d.h. es ist sinπ2≥0, und es folgen |
cosπ2=0,sinπ2=√1−cos2π2=1.
(ii) | Mit den Additionstheoremen und Aufgabenteil (i) ermitteln wir |
cos(π2−x)=cosπ2cosx−sinπ2sinx=−sin(−x)=sinx,sin(π2−x)=cosπ2sinx+sinπ2cosx=cosx.
(iii) | Wegen |
ddxsinx=cosx>0für alle 0<x<π2
ist der Sinus streng monoton wachsend auf [0,π2]. Damit ist sinx>0 in (0,π2) und daher wegen |
ddxcosx=−sinx<0für alle 0<x<π2
der Kosinus streng monoton fallend auf [0,π2]. Unter Beachtung von Teilaufgabe (ii) bzw. |
sin(x−π2)=−cosx,cosx=−sin(x−π2)
ist der Sinus damit auch auf [−π2,0] streng monoton wachsend und der Kosinus auf [0,π] streng monoton fallend. |
Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe PA 62
Verifizieren Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass für alle z∈C richtig sind:
(i) | cos2z2=1+cosz2 |
(ii) | sin2z2=1−cosz2 |
Folgern Sie, dass im Reellen gelten
(iii) | cosx2=√1+cosx2 für alle x∈[−π,π] |
(iv) | sinx2=√1−cosx2 für alle x∈[0,2π]. |
(i) | In PA 59(iv) ersetzen wir z durch z2 und erhalten |
cos2z2=1+cosz2.
(ii) | In PA 59(iii) ersetzen wir z durch z2 und erhalten |
sin2z2=1−cosz2.
(iii) | Wegen cosx2≥0 und 1+cosx≥0 in [−π,π] können wir in (i) die Wurzel ziehen zu |
cosz2=√1+cosx2,x∈[−π,π].
(iv) | Wegen sinx2≥0 und 1−cosx≥0 in [0,2π] können wir in (ii) die Wurzel ziehen zu |
sinx2=√1−cosx2,x∈[0,2π]. Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe PA 63
Ermitteln Sie die exakten Werte der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktion für folgende Argumente.
(i) | x=π4 |
(ii) | x=π8 |
(iii) | x=π6 |
(iv) | x=π12 |
(i) | Nach PA 61(iii) ist |
cosπ4=√1+cosπ22=√12=√22.
Analog folgt mit PA 61(iv) |
sinπ4=√1−cosπ22=√12=√22.
(ii) | Erneut nach PA 61(iii) ist |
cosπ8=√1+cosπ22=√1+√222=√24+√24=√2+√22
und entsprechend |
sinπ8=√1−cosπ42=√1−√222=√24−√24=√2−√22.
(iii) | Zunächst ermitteln wir |
sin(3x)=sin(x+2x)=sinxcos2x+sin2xcosx=sinx(cos2x−sin2x)+2sinxcos2x=3sinxcos2x−sin3x=3sinx(1−sin2x)−sin3x=3sinx−4sin3x
und damit insbesondere |
1=sinπ2=3sinπ6−4sin3π6.
Gesucht ist x=sinπ6. Wir betrachten daher die Funktion |
f(x):=4x3−3x+1,x∈[0,1],
mit f(0)=1, f(1)=2 und den Ableitungen |
f′(x)=12x2−3,f″
Es ist x=\frac{1}{2} einzige Nullstelle und ein globaless Minimum der Funktion in [0,1]. Also folgen |
\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\,,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,.
(iv) | Schließlich ermitteln wir mit (iii) |
\cos\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}
sowie |
\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{1-\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\,. Das war gesucht. \qquad\Box
Aufgabe PA 64
Ermitteln Sie Betrag r\ge 0 und Argument \varphi\in[0,2\pi) folgender komplexer Zahlen.
(i) | z=(1,0) |
(ii) | z=(0,1) |
(iii) | z=(-1,0) |
(iv) | \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right) |
(v) | \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\,\frac{i}{2}\right) |
(i) | Es sind r=1 und \varphi=0. |
(ii) | Es sind r=1 und \varphi=\frac{\pi}{2}. |
(iii) | Es sind r=1 und \varphi=\pi. |
(iv) | Nach PA 62(i) sind r=1 und \varphi=\frac{\pi}{4}. |
(v) | Nach PA 62(iii) sind r=1 und \varphi=\frac{\pi}{6}. |
Aufgabe PA 65
Es seien \varphi\in[0,2\pi) das Argument der komplexen Zahl z=x+iy und |z|>0 ihr Betrag. Ferner bedeute \psi das Argument von z^2. Verifizieren Sie \sin\psi=2\sin\varphi\cos\varphi,\quad \cos\psi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi. Vergleichen Sie diese Identitäten mit den Winkelverdopplungsformeln aus PA 59.
Es sei z=x+iy. Wir ermitteln zunächst z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy. Es bedeute \psi das Argument von z^2, also z=|z|(\cos\psi+i\sin\psi)=x^2-y^2+2ixy bzw. nach Vergleich \cos\psi=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,,\quad \sin\psi=\frac{2xy}{x^2+y^2}\,. Es ist also insbesondere \cos\psi =\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2-\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2 =\left(\frac{\mbox{Re}\,z}{|z|}\right)^2-\left(\frac{\mbox{Im}\,z}{|z|}\right)^2 und damit \cos\psi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi. Das vergleichen wir mit der Winkelverdopplungsformel \cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi und erhalten \cos\psi=\cos 2\varphi. Analog berechnen wir \sin\psi =\frac{2xy}{x^2+y^2} =2\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} =2\cos\varphi\sin\varphi, und auch das vergleichen wir mit der Winkelverdopplungsformel \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi, also \sin\psi=\sin 2\varphi. Das war gefordert. \qquad\Box
Aufgabe PA 66
Es sei z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) eine komplexe Zahl in Polardarstellung. Beweisen Sie, dass dann gilt z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),\quad n=1,2,\ldots
Die Behauptung ist für k=1 richtig und für k=2 nach PA 64. Sei also nun z^k=r^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi) für alle k=1,\ldots,n für ein n\in\mathbb N richtig. Unter Benutzung der Additionstheoreme berechnen wir \begin{align} z^{n+1} &= z\cdot z^n=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) \\[0.6ex] &= r^{n+1}\,\big\{(\cos\varphi\cos n\varphi-\sin\varphi\sin n\varphi)+i(\cos\varphi\sin n\varphi+\sin\varphi\cos n\varphi)\big\} \\[0.6ex] &= r^{n+1}\,\big\{\cos(\varphi+n\varphi)+i\sin(\varphi+n\varphi)\big\} \\[0.6ex] &= r^{n+1}\,\big\{\cos(n+1)\varphi+i\sin(n+1)\varphi\}\,. \end{align} Das Prinzip der vollständigen Induktion beweist die Behauptung. \qquad\Box
Aufgabe PA 67
Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre:
(i) | z=(1+i)^{100} |
(ii) | \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{90} |
(iii) | \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{84} |
(i) | Es ist |
z^{100}=\sqrt{2}^{100}\left(\cos\frac{100\pi}{4}+i\sin\frac{100\pi}{4}\right)=\sqrt{2}^{100}(\cos\pi+i\sin\pi)=-\sqrt{2}^{100}\,.
(ii) | Es ist nach PA 62(i) |
z^{90}=1^{90}\left(\cos\frac{90\pi}{4}+i\sin\frac{90\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.
(iii) | Es ist nach PA 62(iii) |
z^{84}=1^{84}\left(\cos\frac{84\pi}{6}+i\sin\frac{84\pi}{6}\right)=\cos 0+i\sin 0=1. Damit sind alle gesuchten Größen ermittelt. \qquad\Box
Aufgabe PA 68
Es sei z=x+iy mit x,y\in\mathbb R. Wir definieren die hyperbolischen Funktionen \cosh z:=\frac{1}{2}\,(e^z+e^{-z}),\quad \sinh z:=\frac{1}{2}\,(e^z-e^{-z}).
(i) | Zeigen Sie, dass für alle z\in\mathbb C gelten |
\cos(iz)=\cosh z,\quad \sin(iz)=i\sinh z.
(ii) | Folgern Sie, dass für alle x,y\in\mathbb R gelten |
\begin{align} \displaystyle\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y, \\[0.6ex] \displaystyle\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \end{align}
(iii) | Sind der komplexwertige Sinus und der komplexwertige Kosinus im Komplexen beschränkt? Begründen Sie. |
(i) | Wir setzen iz als Argument in die Darstellungen |
\cos z=\frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}),\quad \sin z=\frac{1}{2i}\,(e^{iz}-e^{-iz})
ein und erhalten |
\begin{align} \cos(iz) &= \frac{1}{2}\,(e^{i\cdot iz}+e^{-i\cdot iz})=\frac{1}{2}\,(e^{-z}+e^{z})=\frac{1}{2}\,(e^z+e^{-z})=\cosh z, \\[1.6ex] \sin(iz) &= \frac{1}{2i}\,(e^{i\cdot iz}-e^{-i\cdot iz})=\frac{1}{2i}\,(e^{-z}-e^{z})=-\,\frac{1}{2i}\,(e^z-e^{-z}) \\[1.6ex] &= \frac{i}{2}\,(e^z-e^{-z})=i\sinh z. \end{align}
(ii) | Für z=x+iy berechnen wir |
\begin{array}{l} \sin x\cos+i\cos x\sinh y \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4i}\,(e^{ix}-e^{-ix})(e^y+e^{-y})+\frac{i}{4}\,(e^{ix}+e^{-ix})(e^y-e^{-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4i}\,(e^{ix+y}+e^{ix-y}-e^{-ix+y}-e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \qquad\quad\displaystyle -\,\frac{1}{4i}\,(e^{ix+y}-e^{ix-y}+e^{-ix+y}-e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4i}\,(2e^{ix-y}-2e^{-ix+y}) \,=\,\frac{1}{2i}\,(e^{ix-y}-e^{-ix+y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2i}\,(e^{ix+i\cdot iy}-e^{-ix-i\cdot iy}) \,=\,\frac{1}{2i}\,(e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2i}\,(e^{iz}-e^{-iz}) \,=\,\sin z \end{array}
und entsprechend |
\begin{array}{l} \cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4}\,(e^{ix}+e^{-ix})(e^y+e^{-y}-\frac{i}{4i}\,(e^{ix}-e^{-ix})(e^y-e^{-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4}\,(e^{ix+y}+e^{ix-y}+e^{-ix+y}+e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \qquad\quad\displaystyle -\,\frac{1}{4}\,(e^{ix+y}-e^{ix-y}-e^{-ix+y}+e^{-ix-y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{4}\,(2e^{ix-y}+2e^{-ix+y}) \,=\,\frac{1}{2}\,(e^{ix-y}+e^{-ix+y}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2}\,(e^{ix+i\cdot iy}+e^{-ix-i\cdot iy}) \,=\,\frac{1}{2}\,(e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}) \\[1.6ex] \quad\displaystyle =\,\frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}) \,=\,\cos z. \end{array}
(iii) | Setzen wir z=iy, so erhalten wir |
\sin(iy)=i\sinh y\quad\mbox{und damit}\quad|\sin(iy)|=|\sinh y|\longrightarrow\infty\ \mbox{für}\ y\to\infty
und ebenso |
\cos(iy)=\cosh y\quad\mbox{und damit}\quad|\cos(iy)|=\cosh y\longrightarrow\infty\ \mbox{für}\ y\to\infty\,.
Im Komplexen sind Kosinus und Sinus also nicht beschränkt. \qquad\Box |
Aufgabe PA 69
Die Umkehrfunktion (des Hauptzweiges) der reellwertigen Tangensfunktion \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}\,,\quad -\,\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\,, heißt Arkustangens \arctan.
(i) | Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich von \tan und \arctan. |
(ii) | Skizzieren Sie beide Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem. |
(iii) | Berechnen Sie die Ableitungen von \tan und \arctan. Welches Monotonieverhalten besitzen diese Funktionen? |
(i) | Es sind (Hauptzweig) |
\tan\colon\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\longrightarrow\mathbb R,\quad \arctan\colon\mathbb R\longrightarrow\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
(iii) | Zunächst berechnen wir |
\frac{d}{dx}\,\tan x =\frac{d}{dx}\,\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac{1}{\cos^2x}\,.
Nun beachten wir |
\frac{1}{\cos^2x} =\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x} =\frac{\sin^2}{\cos^2x}+1 =\tan^2x+1
und kommen damit zur Berechnung der Ableitung des Arkustangens |
\frac{d}{dy}\,\arctan y =\frac{1}{\frac{1}{\cos^2(\arctan y)}} =\frac{1}{\tan^2(\arctan y)+1} =\frac{1}{1+y^2}\,.
Beide Funktionen sind streng monoton wachsend. |
Damit ist alles gezeigt. \qquad\Box