7. Differenzierbare Funktionen

7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen

7.2 Die allgemeine Potenzfunktion

7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen

7.4 Die Taylorsche Formel

7.5 Trigonometrische Funktionen

7.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen

7.1.1 Definition

Es sei \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt der Menge \( D\subseteq\mathbb R, \) wobei wir aus Gründen der Einfachheit \( D=(a,b) \) mit reellen Zahlen \( a\lt b, \) wobei wir aber auch \( a=-\infty \) oder \( b=+\infty \) zulassen.

Definition: Die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) heißt im Punkt \( x_0\in D \) differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert \[ \lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=:f'(x_0). \] Ist \( f(x) \) in jedem Punkt \( x\in D \) differenzierbar, so heißt \( f(x) \) differenzierbar in \( D. \) Der Grenzwert \( f'(x_0) \) heißt Ableitung von \( f(x) \) in \( x_0\in D. \)

Hierin ist der Grenzwert für alle Folgen \( \{x_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset D\setminus\{x_0\} \) mit \( x_n\to x_0 \) für \( n\to\infty \) auszuwerten.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.1.2 Entwicklung differenzierbarer Funktionen und Stetigkeit

Satz: Es sind äquivalent:

\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\varphi(x)(x-x_0),\quad x\in D. \]

Beweis:

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \varphi(x):=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0),\quad x\not=x_0\,, \\ \varphi(x_0):=0. \end{array} \]

\[ \lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\varphi(x)=0, \]

\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\varphi(x)(x-x_0) \]

\[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(x_0)+\varphi(x), \quad x\in D\setminus\{x_0\}, \]

\[ \lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+\varphi(x_0)=f'(x_0), \]

Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)

Die in diesem Satz bewiesene Entwicklung einer differenzierbaren Funktion werden wir bald ausbauen zur sogenannten Taylorschen Formel. Zum anderen dient sie uns als Motivation zur Einführung eines Differenzierbarkeitsbegriffs für Funktionen in mehreren Veränderlichen in der Analysis 2.

Als unmittelbar Folgerung erhalten wir den als Übung zu beweisenden

Satz: Ist die Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D \) differenzierbar, so ist sie in \( x_0\in D \) auch stetig.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.1.3 Elementare Ableitungsregeln

Einen Beweis der folgenden Ableitungsregeln belassen wir als Übung.

Satz: Die Funktionen \( f,g\colon D\to\mathbb R \) seien im Punkt \( x_0\in D \) differenzierbar. Ferner seien \( \lambda,\mu\in\mathbb R. \) Dann sind in \( x_0\in D \) ebenfalls differenzierbar:

Hierbei bezeichnen wir die Ableitungsregeln

Wir kommen zweitens zur Kettenregel, deren Beweis wir ebenfalls als Übung belassen.

Satz: Auf dem offenen Intervall \( (a,b) \) mit \( -\infty\le a\lt b\le+\infty \) sei die Funktion \( f\colon(a,b)\to\mathbb R \) differenzierbar im Punkt \( x_0\in(a,b), \) und auf dem offenen Intervall \( (A,B) \) mit \( -\infty\le A\lt B\le+\infty \) sei die Funktion \( g\colon(A,B)\to\mathbb R \) im Punkt \( y_0:=f(x_0)\in(A,B) \) differenzierbar. Dabei gelte \( f(a,b)\subseteq(A,B). \) Dann ist auch die Komposition \[ h(x):=g\circ f(x)=g(f(x)),\quad x\in(a,b), \] in \( x_0\in(a,b) \) differenzierbar mit der Ableitung \[ h'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0). \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.1.4 Differentiation der Umkehrfunktion

Satz: Es seien \( a,b,A,B\in\mathbb R \) reelle Zahlen mit \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \) und \( -\infty\lt A\lt B\lt\infty. \) Ferner sei die Funktion \( f\colon[a,b]\to[A,B] \) stetig, streng monoton und bijektiv mit der Umkehrfunktion \( g\colon[A,B]\to[a,b]. \) Ist nun \( f(x) \) differenzierbar in allen Punkten \( x\in(a,b) \) mit \[ f'(x)\not=0\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b), \] so ist auch \( g(y) \) differenzierbar in \( (A,B) \) mit der Ableitung \[ g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}\,,\quad y\in(A,B). \]

Beweis: Seien \( y_0\in(A,B) \) und \( \{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset(A,B) \) mit \( y_n\to y_0 \) für \( n\to\infty. \) Setze \( x_n:=g(y_n). \) Nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion ist \[ \lim_{n\to\infty}x_n =\lim_{n\to\infty}g(y_n) =g(y_0) =:x_0\,. \] Wir berechnen \[ \frac{g(y_n)-g(y_0)}{y_n-y_0} =\frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} =\frac{1}{\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}}\,. \] Wegen \( f'(x)\not=0 \) in \( (a,b) \) existiert der Grenzwert \[ g'(y_0) =\lim_{n\to\infty}\frac{g(y_n)-g(y_0)}{y_n-y_0} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}} =\frac{1}{f'(x_0)}\,. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Bemerkung: Zur Ableitung der Umkehrfunktion müssen wir die genaue Gestalt der Umkehrfunktion nicht wissen. In der Regel ist ein explizites Auflösen der Gleichung \( f(x)=y \) nach \( x \) auch gar nicht möglich.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.1.5 Der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen

Wir setzen \[ C^1(D)=C^1(D,\mathbb R):=\{f\colon D\to\mathbb R\,:\,f(x)\ \mbox{und}\ f'(x)\ \mbox{sind stetig in}\ D\} \] bzw. allgemein \[ C^k(D)=C^k(D,\mathbb R):=\{f\colon D\to\mathbb R\,:\,f(x)\ \mbox{ist}\ k\mbox{-mal stetig differenzierbar in}\ D\}\,, \] d.h. \( f(x) \) sowie die ersten \( k \) Ableitungen \( f'(x),\ldots,f^{(k)}(x) \) sind stetig in \( D. \) Mit den Verknüpfungen \( f+g \) und \( \lambda f \) bildet \( C^k(D) \) einen Vektorraum.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.1.6 Aufgaben

Aufgaben - Definition

Aufgabe 7.1.1: (Ableiten einiger Grundfunktionen)

Berechnen Sie die Ableitungen \( f'(x_0) \) folgender Funktionen \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) im Punkt \( x_0\in\mathbb R \) durch Auswerten der Differenzenquotienten aus der Definition aus Paragraph 7.1.1.

Aufgabe 7.1.2: (Nichtdifferenzierbarkeit von Funktionen)

Untersuchen Sie, in welchen Punkten \( x\in\mathbb R \) folgende Funktionen differenzierbar sind.

Aufgabe 7.1.3: (Quadratisch majorisierte Funktionen)

Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) eine Funktion mit der Eigenschaft \[ |f(x)|\le x^2\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( x_0=0 \) differenzierbar ist.

(M. Spivak Calculus, Aufgabe 14 zu Kapitel 9)

Aufgaben - Entwicklung differenzierbarer Funktionen und Stetigkeit

Aufgabe 7.1.4: (Nichtdifferenzierbarkeit nicht stetiger Funktionen)

Zeigen Sie durch Anwenden des zweiten Satzes aus Paragraph 7.1.2, dass folgende Funktionen nicht differenzierbar in \( \mathbb R \) sind.

Aufgabe 7.1.5: (Fortsetzung von Funktionen und Differenzierbarkeit)

Wir betrachten die Funktion \[ f(x):=\frac{1}{x}\left(-1+\sqrt{1+x^2}\right),\quad x\in\mathbb R\setminus\{0\}\,. \]

Aufgabe 7.1.6: (Stetigkeit und Differenzierbarkeit)

Beweisen Sie: Ist die Funktion \( f\colon(a,b)\to\mathbb R \) mit reellen Zahlen \( a\lt b \) in \( x_0\in D \) differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt auch stetig.

Aufgaben - Elementare Ableitungsregeln

Aufgabe 7.1.7: (Technik des Differenzierens)

Berechnen Sie die Ableitung \( f'(x) \) der folgenden Funktionen unter Verwendung der Rechenregeln aus Paragraph 7.1.3.

Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis \( (\cos x)'=-\sin x,\) \( (\sin x)'=\cos x. \)

Aufgabe 7.1.8: (Regularisieren von Funktionen)

Seien zwei Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gegeben mit \[ f(x)=x\cdot g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R, \] und sei \( g(x) \) stetig im Punkt \( x_0=0. \)

Aufgabe 7.1.9: (Elementare Ableitungsregeln I)

Beweisen Sie die Ableitungsregeln aus dem ersten Satz aus Paragraph 7.1.3.

Aufgabe 7.1.10: (Elementare Ableitungsregeln II)

Beweisen Sie die Kettenregel aus Paragraph 7.1.3.

Aufgaben - Differentiation der Umkehrfunktion

Aufgabe 7.1.11: (Ableiten der Umkehrfunktion I)

Wir betrachten die stetige Funktion \[ f(x)=\frac{1}{2(x-2)}+1,\quad x\in(2,\infty). \]

Aufgabe 7.1.12: (Ableiten der Umkehrfunktion II)

Als streng monoton wachsende Funktion besitzt \[ f(x):=x+e^x\,,\quad x\in\mathbb R \] eine Umkehrfunktion \( g\colon\mathbb R\to\mathbb R. \) Bestimmen Sie \( g'(1) \) und \( g''(1) \) mit der zweiten Ableitung \( g''(x):=(g'(x))'. \)

Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis \( (e^x)'=e^x. \)

Aufgabe 7.1.13: (Ableitung des natürlichen Logarithmus)

Nach Aufgabe 6.5.3 besitzt die reelle Exponentialfunktion \( f(x)=e^x, \) \( x\in\mathbb R, \) die natürliche Logarithmusfunktion als Inverse \[ g(y)=\ln y,\quad y\in(0,\infty). \] Bestimmen Sie die Ableitung \( g'(y). \)

Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis \( (e^x)'=e^x. \)

Aufgabe 7.1.14: (Hyperbolische Winkelfunktionen)

Wir definieren die hyperbolischen Winkelfunktion \[ \begin{array}{ll} \cosh x\colon\mathbb R\to\mathbb R & \mbox{(Cosinus hyperbolicus)} \\ \sinh x\colon\mathbb R\to\mathbb R & \mbox{(Sinus hyperbolicus)} \end{array} \] vermöge \[ \cosh x:=\frac{1}{2}\,(e^x+e^{-x}),\quad \sinh x:=\frac{1}{2}\,(e^x-e^{-x}),\quad x\in\mathbb R. \]

\[ \begin{array}{l} \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y, \\ \sinh(x+y)=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y, \\ \cosh^2x-\sinh^2x=1. \end{array} \]

\[ \frac{d}{dx}\,\cosh x=\sinh x,\quad \frac{d}{dx}\,\sinh x=\cosh x. \]

Hinweis zu (iii): Benutzen Sie ohne Beweis \( \displaystyle\frac{d}{dx}\,e^x=e^x. \)

Aufgaben - Der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen

Aufgabe 7.1.15: (Die stetig differenzierbaren Funktionen bilden einen Vektorraum)

Beweisen Sie, dass der Raum \( C^1(D,\mathbb R) \) mit den Verknüpfungen \( f+g \) und \( \lambda f \) einen Vektorraum über \( \mathbb R \) bildet.

7.1.7 Wiederholungsfragen

7.2 Die allgemeine Potenzfunktion

7.2.1 Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion

Die reelle Exponentialfunktion \( x\mapsto e^x \) ist auf ganz \( \mathbb R \) streng monoton wachsend und stetig. Sie besitzt die stetige Umkehrfunktion \[ \ln\colon(0,\infty)\longrightarrow\mathbb R, \] den sogenannten natürlichen Logarithmus.

Vermittels dieser beiden Funktionen wollen wir nun die allgemeine Potenz in \( \mathbb R \) einführen:

Definition: Seien \( x\in(0,\infty) \) und \( \alpha\in\mathbb R \) gewählt. Dann setzen wir \[ x^\alpha:=e^{\alpha\ln x}\,. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.2.2 Rechenregeln

Satz: Für alle \( x,y\in(0,\infty) \) und alle \( \alpha,\beta\in\mathbb R \) gelten die folgenden Regeln:

Beweis von (ii): Mit \( y:=x^\alpha \) und \( z:=x^\beta \) ermitteln wir \[ \begin{array}{lll} (x^\alpha)^\beta\negthickspace & = & \negthickspace y^\beta \,=\,e^{\beta\ln y} \,=\,e^{\beta\ln x^\alpha} \,=\,e^{\beta\ln e^{\alpha\ln x}} \\ & = & \negthickspace e^{\beta\alpha\ln x} \,=\,e^{\alpha\beta\ln x} \,=\,e^{\alpha\ln e^{\beta\ln x}} \\ & = & \negthickspace e^{\alpha\ln x^\beta} \,=\,e^{\alpha\ln z} \,=\,z^\alpha \,=\,(x^\beta)^\alpha\,, \end{array} \] also \[ (x^\alpha)^\beta=(x^\beta)^\alpha\,. \] Der Rechnung entnehmen wir außerdem \[ (x^\alpha)^\beta =e^{\beta\alpha\ln x} =e^{\alpha\beta\ln x} =e^{(\alpha\beta)\ln x} =x^{\alpha\beta}\,. \] Damit schließen wir unseren Beweis ab.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.2.3 Ableitung der Potenzfunktion

Mit Hilfe der Identitäten \[ \frac{d}{dx}\,e^x=e^x\,,\quad \frac{d}{dx}\,\ln x=\frac{1}{x}\,,\quad x\gt 0, \] für die Ableitungen der Exponentialfunktion, die wir in Kürze beweisen werden, und des natürlichen Logarithmus, die wir in Aufgabe 7.1.13 berechnet haben, ermitteln wir mit Hilfe der Kettenregel \[ \frac{d}{dx}\,x^\alpha =\frac{d}{dx}\,e^{\alpha\ln x} =e^{\alpha\ln x}\,\frac{d(\alpha\ln x)}{dx} =e^{\alpha\ln x}\cdot\frac{\alpha}{x} =x^\alpha\cdot\frac{\alpha}{x} =\alpha\cdot x^{\alpha-1}\,. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.2.4 Aufgaben

Aufgaben - Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion

Aufgabe 7.2.1: (Auflösen quadratischer Gleichungen)

Beweisen Sie, dass durch \[ x_{1/2}=-\,\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \] beide Lösungen der quadratischen Gleichung \[ x^2+px+q=0,\quad p,q\in\mathbb R,\ p^2\ge 4q, \] gegeben sind, und zwar

Lösung

Aufgaben - Rechenregeln

Aufgabe 7.2.2: (Rechnen mit Potenzen I)

Fassen Sie zusammen:

(siehe K. Georgi und W. Schäfer Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Aufgabenkomplex 4.1)

Lösung

Aufgabe 7.2.3: (Rechnen mit Potenzen II)

Fassen Sie zusammen (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):

(siehe K. Georgi und W. Schäfer Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Aufgabenkomplex 4.2)

Lösung

Aufgabe 7.2.4: (Rechnen mit Potenzen III)

Fassen Sie zusammen (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):

(siehe K. Georgi und W. Schäfer Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Aufgabenkomplex 4.3)

Lösung

Aufgabe 7.2.5: (Addition und Subtraktion von Wurzeln)

Fassen Sie zusammen:

(siehe K. Georgi und W. Schäfer Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Aufgabenkomplex 4.5)

Lösung

Unter dem Logarithmus \( c \) einer positiven Zahl \( a\in\mathbb R \) zu einer positiven, reellen Basis \( b\gt 0 \) mit \( b\not=1, \) i.Z. \[ c=\log_ba, \] versteht man die Zahl \( c\in\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ b^c=a,\quad a,b\gt 0,\ b\not=1. \]

Aufgabe 7.2.6: (Logarithmengesetze)

Es seien \( x,y\gt 0 \) und \( b\gt 0, \) \( b\not=1, \) reelle Zahlen. Beweisen Sie:

Lösung

Aufgabe 7.2.7: (Umrechnungsformeln für Logarithmen)

Beweisen Sie \[ \log_ba=\frac{\log_da}{\log_db} \quad\mbox{für alle}\ a,b,d\gt 0,\ b,d\not=1. \] Folgern Sie daraus insbesondere \[ \log_ba=\frac{1}{\log_ab}\quad\mbox{für alle}\ a,b\gt 0,\ a,b\not=1. \]

Lösung

Aufgabe 7.2.8: (Exponentialgleichungen)

Bestimmen Sie die Unbekannte \( x: \)

Lösung

Aufgabe 7.2.9: (Logarithmen I)

Bestimmen Sie die Unbekannte \( x: \)

(siehe K. Georgi und W. Schäfer Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Aufgabe 5.1.2)

Lösung

Aufgabe 7.2.10: (Logarithmen II)

Bestimmen Sie die Unbekannte \( x: \)

(siehe K. Georgi und W. Schäfer Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Aufgabe 5.1.3)

Lösung

Aufgaben - Ableitung der Potenzfunktion

Aufgabe 7.2.11: (Differentiation von Potenzfunktionen)

Differenzieren Sie die folgenden Funktionen.

Lösung

Aufgabe 7.2.12: (Logarithmisches Differenzieren)

Beweisen Sie, dass für differenzierbare Funktionen \( f\colon\mathbb R\to(0,\infty) \) gilt \[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \]

Lösung

Aufgabe 7.2.13: (Zur Regel des logarithmischen Differenzierens)

Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen vermittels der Regel des logarithmischen Differenzierens aus Aufgabe 7.2.12.

Welche maximalen Definitionsbereiche \( D\subseteq\mathbb R \) dürfen Sie wählen, damit diese Ausdrücke überhaupt wohldefiniert sind?

Lösung

7.2.5 Wiederholungsfragen

7.3 Sätze über differenzierbare Funktionen

7.3.1 Der Satz von Rolle

Satz: Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R, \) \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty, \) sei stetig auf \( [a,b]\subset\mathbb R \) und differenzierbar in \( (a,b)\subset\mathbb R. \) Ferner gelte \[ f(a)=f(b)=0. \] Dann existiert ein \( \xi\in(a,b) \) mit \( f'(\xi)=0. \)

Beweis:\(^*\) Es sei \( f\not\equiv 0, \) denn sonst ist nichts zu zeigen. Ohne Einschränkung sei \( x_0\in(a,b) \) mit \( f(x_0)\gt 0. \) Da \( [a,b]\subset\mathbb R \) kompakt ist, gibt es ein \( \xi\in(a,b) \) mit \[ \begin{array}{l} f(x)\le f(\xi)\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b], \\ \mbox{d.h.}\quad f(x)-f(\xi)\le 0\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \end{array} \] Betrachte nun die Funktion \[ f^*(x):=\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\,,\quad x\not=\xi, \] mit der Eigenschaft \[ \lim_{x\uparrow\xi,\ x\lt\xi}f^*(x)\ge 0,\quad \lim_{x\downarrow\xi,\ x\gt\xi}f^*(x)\le 0. \] Nach Voraussetzung existiert aber die Ableitung \( f'(\xi), \) so dass folgt \[ \lim_{x\uparrow\xi,\ x\lt\xi}f^*(x)=\lim_{x\downarrow\xi,\ x\gt\xi}f^*(x)=0. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.3.2 Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema

Wir wollen ein notwendiges Kriterium für die Existenz lokaler Extrema von Funktionen gewinnen. Dazu beginnen wir mit der

Definition: Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R, \) \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty, \) besitzt in \( x_0\in[a,b] \)

für alle \( x\in[a,b] \) mit \( |x-x_0|\lt\varepsilon, \) wobei \( \varepsilon\gt 0 \) hinreichend klein gewählt ist. Unter einem lokalen Extremum verstehen wir ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum.

Ferner besitzt \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) in \( x_0\in[a,b] \) ein globales Minimum, falls gilt \[ f(x_0)\le f(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Entsprechend definieren wir ein globales Maximum.

Satz: Besitzt die differenzierbare Funktion \( f\colon(a,b)\to\mathbb R \) ein lokales Extremum im Punkt \( x_0\in(a,b), \) so gilt notwendig \[ f'(x_0)=0. \]

Bemerkung: Die Bedingung in diesem Satz ist nicht hinreichend. So genügt \( f(x)=x^3 \) ebenso der Bedingung \( f'(0)=0, \) aber in \( x_0=0 \) liegt kein lokales Extremum vor.

Beweisidee:\(^*\) Es besitze \( f(x) \) in \( x_0\in(a,b) \) ein lokales Minimum. Dann existiert ein \( \varepsilon\gt 0, \) so dass \[ f(x)\ge f(x_0)\quad\mbox{für alle}\ x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). \] Betrachte nun die Funktion \[ f^*(x):=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,,\quad x\in[a,b], \] und werte die Grenzwerte \( x\uparrow x_0, \) \( x\not=x_0, \) und \( x\downarrow x_0, \) \( x\not=x_0, \) aus.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.3.3 Mittelwertsätze

Wir beginnen mit dem allgemeinen Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Satz: Die stetigen Funktionen \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) seien in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. Weiter gelte \[ g'(x)\not=0\quad\mbox{in}\ (a,b) \quad\mbox{sowie}\quad g(a)\not=g(b). \] Dann existiert ein \( x_0\in(a,b) \) mit \[ \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,. \]

Beweis: Betrachte die Funktion \[ h(x):=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot\big\{g(x)-g(a)\big\}\,,\quad x\in[a,b]. \] Diese Funktion erfüllt \[ h(a)=0,\quad h(b)=0. \] Weiter ist \( h(x) \) in \( [a,b] \) stetig und in \( (a,b) \) differenzierbar. Nach dem Satz von Rolle existiert daher ein \( x_0\in(a,b) \) mit \[ 0=h'(x_0)=f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,g'(x_0). \] Umstellen beweist die Behauptung.\( \qquad\Box \)

Für den speziellen Fall \( g(x)=x \) erhalten wir den klassischen Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Satz: Die stetige Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) sei in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. Dann existiert ein \( x_0\in(a,b) \) mit \[ f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,. \]

Hierzu anschließend notieren wir die

Folgerung: Die stetige Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) sei in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar.

Welche entsprechenden Aussagen gelten auch für \( \le, \) \( \gt \) und \( \lt \) statt \( \ge? \)

Folgende Beweispunkte werden wir in den Übungen detailliert ausführen.

Beweispunkte:

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.3.4 Ein hinreichendes Kriterium für strenge lokale Minima und Maxima

Satz: Die stetige Funktionen \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) sei in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. In \( x_0\in(a,b) \) sei \( f(x) \) zweimal differenzierbar mit \[ f'(x_0)=0\quad\mbox{und}\quad f''(x_0)\gt 0, \] worin \( f''(x):=[f'(x)]' \) die zweite Ableitung von \( f(x) \) bedeutet. Dann besitzt \( f(x) \) in \( x_0\in(a,b) \) ein strenges lokales Minimum, d.h. es gilt \[ f(x_0)\lt f(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b),\ 0\lt|x-x_0|\lt\varepsilon, \] mit \( \varepsilon\gt 0 \) hinreichend klein.

Eine entsprechende Aussage ist auch für strenge lokale Maxima richtig.

Beweis:\(^*\) Es ist nach Voraussetzung \[ f''(x_0)=\lim_{x\to x_0,\ x\not=x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\gt 0, \] d.h. es existiert ein \( \varepsilon\gt 0 \) mit \[ \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\gt 0\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b)\ \mbox{mit}\ 0\lt|x-x_0|\lt\varepsilon. \] Wegen \( f'(x_0)=0 \) folgen \[ \begin{array}{l} f'(x)\lt 0\quad\mbox{für}\ x_0-\varepsilon\lt x\lt x_0\,, \\ f'(x)\gt 0\quad\mbox{für}\ x_0\lt x\lt x+\varepsilon. \end{array} \] Es ist also, analog zur Folgerung in Abschnitt 7.3.3, \[ \begin{array}{l} f(x)\ \mbox{streng monoton fallend in}\ (x_0-\varepsilon,x_0), \\ f(x)\ \mbox{streng monoton wachsend in}\ (x_0,x_0+\varepsilon). \end{array} \] Also besitzt \( f(x) \) in \( x_0\in(a,b) \) ein strenges lokales Minimum.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.3.5 Aufgaben

Aufgaben - Der Satz von Rolle

Aufgabe 7.3.1: (Satz von Rolle und zusammengesetzte Funktionen)

Betrachten Sie die zusammengesetzte Funktion \[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x, & \mbox{falls}\ 0\le x\lt 1 \\ 0, & \mbox{falls}\ x=1 \end{array} \right. \] Ist der Satz von Rolle anwendbar? Begründen Sie.

Aufgabe 7.3.2: (Anzahl der Nullstellen der Ableitung I)

Wir betrachten die Funktion \[ f(x)=x(x-1)(x-2),\quad x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Rolle, dass genau zwei verschiedene Punkte \( \xi,\eta\in\mathbb R \) existieren mit \( f'(\xi)=f'(\eta)=0. \)

Aufgabe 7.3.3: (Anzahl der Nullstellen der Ableitung II)

Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R, \) \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty, \) sei in \( [a,b]\subset\mathbb R \) stetig und in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar, und sie besitze in \( [a,b] \) genau \( n \) verschiedene Nullstellen. Beweisen Sie, dass dann \( n \) höchstens um \( 1 \) größer ist als die Anzahl \( n' \) der in \( [a,b] \) liegenden reellen Nullstellen der Ableitung \( f'(x). \)

Aufgaben - Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema

Aufgabe 7.3.4: (Bestimmen absoluter Extrema)

Skizzieren Sie die folgenden Funktionen \( f\colon[-1,1]\to\mathbb R, \) und bestimmen Sie jeweils ohne Ableiten den minimalen Funktionswert \( m \) und den maximalen Funktionswert \( M. \) In welchen Punkten der angegebenen Definitionsbereiche werden diese Größen angenommen?

Aufgabe 7.3.5: (Bestimmen von Extrema)

Skizzieren Sie die folgenden Funktionen, und bestimmen Sie sämtliche

der folgenden Funktionen:

Aufgaben - Mittelwertsätze

Aufgabe 7.3.6: (Nepersche Ungleichung)

Es seien \( 0\lt a\lt b. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \frac{1}{b}\lt\frac{\ln b-\ln a}{b-a}\lt\frac{1}{a}\,. \]

Aufgabe 7.3.7: (Folgerungen aus der Neperschen Ungleichung)

Beweisen Sie die folgenden Abschätzungen:

Aufgabe 7.3.8: (Fehlerabschätzungen für den natürlichen Logarithmus)

Beweisen Sie:

Aufgabe 7.3.9: (Folgerung aus dem klassischen Mittelwertsatz I)

Sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig und in \( (a,b)\in\mathbb R \) differenzierbar. Beweisen Sie, dass zu jedem \( x_0\in(a,b) \) und zu jedem \( h\in\mathbb R \) mit \( x_0+h\in(a,b) \) ein \( \vartheta\in(0,1) \) existiert mit \[ f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0+\vartheta h)\cdot h. \]

Aufgabe 7.3.10: (Folgerung aus dem klassischen Mittelwertsatz II)

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion \[ f(x)=e^x\,,\quad x\in\mathbb R. \]

\[ e^x=1+x\cdot e^{\vartheta x}\,. \]

\[ 1+x\lt e^x\lt\frac{1}{1-x}\quad\mbox{für alle}\ x\in(0,1). \]

Aufgabe 7.3.11: (Fehlerabschätzung der Wurzeln der Eulerschen Zahl)

Beweisen Sie:

Aufgabe 7.3.12: (Monotonieverhalten von Funktionen)

Sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig und in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. Beweisen Sie:

Aufgabe 7.3.13: (Monotonie, Umkehrfunktion und Ableitungen)

Wir betrachten die Funktion \[ f(x)=\frac{x}{1+x^2}\,,\quad x\in[-1,1]. \]

Aufgabe 7.3.14: (Die Inversen der hyperbolischen Funktionen)

Aus Aufgabe 7.1.14 wiederholen wir die hyperbolischen Funktionen \[ \sinh x=\frac{1}{2}\,(e^x-e^{-x}),\quad \cosh x=\frac{1}{2}\,(e^x+e^{-x}),\quad x\in\mathbb R. \]

Die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen heißen Areafunktionen: \[ \mbox{arsinh}\,x\quad\mbox{bzw.}\quad\mbox{arcosh}\,x. \]

Aufgabe 7.3.15: (Hyperbolische Funktionen und natürlicher Logarithmus)

Beweisen Sie die folgenden Identitäten.

Aufgabe 7.3.16: (Eine weitere Anwendung des Mittelwertsatzes)

Es sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig und in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar mit \[ f'(x)=0\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b). \] Beweisen Sie, dass dann ein \( C\in\mathbb R \) existiert mit \[ f(x)=C\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \]

Aufgabe 7.3.17: (Eindeutigkeitssatz der Differentialrechnung)

Es seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig und in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. Beweisen Sie, dass \[ f'(x)=g'(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b) \] genau dann richtig ist, wenn mit einer geeigneten Konstante \( C\in\mathbb R \) gilt \[ f(x)=g(x)+C\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b). \]

Aufgabe 7.3.18: (Gegenbeispiel zum Mittelwertsatz I)

Verifizieren Sie, dass der klassische Mittelwertsatz nicht gültig ist für die Situation \[ f\colon[-1,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=|x|. \] Auf Differenzierbarkeit im Innern kann also nicht verzichtet werden.

Aufgabe 7.3.19: (Gegenbeispiel zum Mittelwertsatz II)

Verifizieren Sie, dass der klassische Mittelwertsatz nicht gültig ist für die Situation \[ f\colon[-1,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 1, & \ x=1 \\ 0, & \ -1\lt x\lt 1 \\ -1, & \ x=1 \end{array}\right.. \] Auf Stetigkeit an den Randpunkten kann also nicht verzichtet werden.

Aufgaben - Ein hinreichendes Kriterium für strenge lokale Minima und Maxima

Aufgabe 7.3.20: (Strenges lokales Minimum der Parabel)

Beweisen Sie, dass der durch \[ f(x)=x^2\,,\quad x\in[-2,2], \] gegebene Parabelabschnitt im Punkt \( x_0=0 \) ein strenges lokales Minimum besitzt.

Aufgabe 7.3.21: (Eine Extremwertaufgabe)

Aus einem Draht der Länge \( L\gt 0 \) forme man einen Kreis und ein Quadrat so, dass die Summe der Flächeninhalte möglichst groß wird.

7.3.6 Wiederholungsfragen

7.4 Die Taylorsche Formel

7.4.1 Differentiation von Potenzreihen

Einen Beweis des folgendes Satzes belassen wir als Übung.

Satz: Es sei die reelle Potenzreihe \[ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\,,\quad a_k\in\mathbb R,\ x\in(-R,R), \] mit dem Konvergenzradius \( R\in(0,\infty] \) gegeben. Dann ist \( f(x) \) in \( (-R,R)\subset\mathbb R \) differenzierbar mit \[ f'(x)=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}\,,\quad x\in(-R,R). \]

Beispiel: Die reelle Exponentialfunktion \[ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,,\quad x\in\mathbb R, \] konvergiert für alle \( x\in\mathbb R \) und besitzt nach diesem Satz die Ableitung \[ \frac{d}{dx}\,e^x =\frac{d}{dx}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} =\sum_{k=1}^\infty\frac{kx^{k-1}}{k!} =\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} =\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,, \] d.h. es gilt \[ \frac{d}{dx}\,e^x=e^x\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.4.2 Die Taylorsche Formel

Sei nun \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig und \( (n+1) \)-mal differenzierbar in \( (a,b)\in\mathbb R, \) wobei \( a\lt b. \) Dabei seien die Ableitungen \( f'(x),\ldots,f^{(n)}(x) \) als stetige Funktionen auf das gesamte Intervall \( [a,b] \) fortsetzbar. Unser Ziel ist, \( f(x) \) darzustellen in der Form \[ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k+R_{n+1}(x,x_0),\quad x\in[a,b], \] mit einem \( x_0\in(a,b). \) Hierbei bezeichnen wir als \[ \begin{array}{ll} \mbox{Entwicklungspunkt} & x_0\in(a,b), \\ \mbox{Taylorpolynom \( n \)-ter Ordnung} & \displaystyle T_n(x,x_0):=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k\,, \\ \mbox{Restglied \( (n+1) \)-ter Ordnung} & \displaystyle R_{n+1}(x,x_0). \end{array} \] Die genaue Struktur des Restgliedes wollen wir im Folgenden näher bestimmen.

Dazu beginnen wir mit der Funktion \[ h(\lambda):=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x+\lambda(x_0-x))}{k!}\,\big\{\lambda(x-x_0)\big\}^k\,,\quad\lambda\in[0,1], \] mit den Eigenschaften \[ h(1)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k=f(x)-R_{n+1}(x,x_0) \] sowie \[ \lim_{\lambda\downarrow 0}h(\lambda)=f^{(0)}(x)=f(x),\quad\mbox{d.h.}\ h(0)=f(x). \] Für \( \lambda\in[0,1] \) berechnen wir weiter (mit eventuell einseitig auszuwertenden Ableitungen) \[ \begin{array}{lll} h'(\lambda)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k+1)}(x+\lambda(x_0-x))}{k!}\,\big\{\lambda(x-x_0)\big\}^k(x_0-x) \\ & & \negthickspace\displaystyle +\,\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(x+\lambda(x_0-x))}{(k-1)!}\,\lambda^{k-1}(x-x_0)^k \\ & = & \negthickspace\displaystyle -\,\sum_{k=0}^n\frac{f^{((k+1))}(x+\lambda(x_0-x))}{k!}\,\lambda^k(x-x_0)^{k+1} \\ & & \negthickspace\displaystyle +\,\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(x+\lambda(x_0-x))}{k!}\,\lambda^k(x-x_0)^{k+1} \\ & = & \negthickspace\displaystyle -\,\frac{f^{(n+1)}(x+\lambda(x_0-x))}{n!}\,\lambda^n(x-x_0)^{n+1}\,. \end{array} \] Betrachte nun die Funktion \[ \varphi(\lambda):=\lambda^{n+1}\,,\quad\lambda\in[0,1], \] mit den Eigenschaften \[ \varphi(0)=0,\quad \varphi(1)=1,\quad \varphi'(\lambda)=(n+1)\lambda^n\,. \] Der allgemeine Mittelwertsatz der Differentialrechnung liefert \[ \begin{array}{lll} -R_{n+1}(x,x_0)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle h(1)-f(x) \,=\,h(1)-h(0) \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{h(1)-h(0)}{1-0} \,=\,\frac{h'(\vartheta)}{\varphi'(\vartheta)} \,=\,\frac{h'(\vartheta)}{(n+1)\vartheta^n} \end{array} \] mit \( \vartheta\in(0,1) \) geeignet zu wählen, oder jetzt mit obiger Darstellung von \( h'(\vartheta) \) \[ \begin{array}{lll} -R_{n+1}(x,x_0)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle -\,\frac{f^{(n+1)}(x+\vartheta(x_0-x))\cdot\vartheta^n}{n!}\cdot(x-x_0)^{n+1}\cdot\frac{1}{(n+1)\vartheta^n} \\ & = & \negthickspace\displaystyle -\,\frac{f^{(n+1)}(x+\vartheta(x_0-x))}{(n+1)!}\,(x-x_0)^{n+1}\,. \end{array} \] Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen.

Satz: Die stetige Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) sei in \( (a,b)\subset\mathbb R \) differenzierbar. Die Ableitungen \( f(x),f'(x),\ldots,f^{(n)}(x), \) \( n\in\mathbb N_0, \) seien stetig auf \( [a,b]\subset\mathbb R \) fortsetzbar. Dann gilt für alle \( x_0\in(a,b) \) die Taylorsche Formel \[ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k+R_{n+1}(x,x_0),\quad x\in[a,b], \] mit dem Lagrangeschen Restglied \[ R_{n+1}(x,x_0):=\frac{f^{(n+1)}(x+\vartheta(x_0-x))}{(n+1)!}\,(x-x_0)^{n+1} \] und mit geeignet zu wählendem \( \vartheta\in(0,1). \) Ist \( f(x) \) beliebig oft differenzierbar, so gilt \[ f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k \] genau dann, wenn \[ \lim_{n\to\infty}R_{n+1}(x,x_0)=0\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] In diesem Fall sprechen wir von der Taylorreihe von \( f(x) \) im Entwicklungspunkt \( x_0. \)

Beispiel: Es liegt \[ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \] bereits als Taylorreihe im Entwicklungspunkt \( x_0=0 \) vor. Hierauf kommen wir in den Übungen zurück.

Beispiel: Die Funktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle e^{-\frac{1}{x^2}}\,, & x\not=0 \\ 0, & x=0 \end{array} \right. \] ist in \( \mathbb R \) beliebig oft differenzierbar, kann in \( x_0=0 \) aber nicht als Taylorreihe geschrieben werden. In diesem Zusammenhang verweisen wir beispielsweise auf E. Behrends Lehrbuch Analysis 1, Seite 300 und Aufgabe 4.4.2 auf Seite 348, wofür auch die Lösungen erhältlich sind.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.4.3 Aufgaben

Aufgaben - Differentiation von Potenzreihen

Aufgabe 7.4.1: (Differentiation der Exponentialfunktion)

Beweisen Sie die Identität \[ \frac{d}{dx}\,e^x=e^x,\quad x\in\mathbb R \] für die Exponentialfunktion \( \displaystyle e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}, \) \( x\in\mathbb R. \)

Lösung

Aufgabe 7.4.2: (Eine weitere Charakterisierung der Exponentialfunktion)

Es sei \( f\in C^1(\mathbb R,\mathbb R) \) eine Lösung der Differentialgleichung \[ f'(x)=f(x)\quad\mbox{in}\ \mathbb R \tag{\(*\)} \]

\[ f(x)=Ce^x\,,\quad x\in\mathbb R. \]

\[ f(x)=e^x\,,\quad x\in\mathbb R, \]

Lösung

Aufgabe 7.4.3: (Nachträgliche Herleitung der Exponentialreihe)

In Aufgabe 7.4.2 wurde nicht Gebrauch von der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion gemacht, sondern nur von der Differentialgleichung \( (*). \) Es bezeichne also nun \( f(x)=e^x \) die aus dem Problem \[ f'(x)=f(x)\quad\mbox{in}\ \mathbb R,\quad f(0)=1 \] aus Aufgabe 7.4.2 eindeutig gewonnene Lösung. Hiervon ausgehend, wollen wir umgekehrt \( e^x \) als Potenzreihe darzustellen. Dazu machen wir mit noch zu bestimmenden Koeffizienten \( a_k\in\mathbb R \) den Ansatz \[ e^x=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\,,\quad x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass dann notwendig folgt \[ a_k=\frac{1}{k!}\,,\quad k=0,1,2,\ldots \]

Lösung

Aufgabe 7.4.4: (Spezielle Reihendarstellungen nach Differenzieren I)

Beweisen Sie durch Differenzieren der geometrischen Reihe \[ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots\,,\quad|x|\lt 1, \] die folgenden Reihendarstellungen:

Lösung

Aufgabe 7.4.5: (Spezielle Reihendarstellungen nach Differenzieren II)

Beweisen Sie unter Verwendung voriger Aufgabe die folgenden Reihendarstellungen:

Lösung

Aufgabe 7.4.6: (Eine allgemeine Reihendarstellung)

Beweisen Sie, dass für alle \( n\in\mathbb N \) gilt \[ \frac{1}{(1-x)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty\binom{k+n}{n}x^k\,,\quad|x|\lt 1. \]

Lösung

Aufgabe 7.4.7: (Differentiation von Potenzreihen)

Beweisen Sie den Satz aus Paragraph 7.4.1.

Lösung

Aufgaben - Die Taylorsche Formel

Aufgabe 7.4.8: (Taylorentwicklung von Grundfunktionen)

Verifizieren Sie folgende Taylorschen Entwicklungen.

Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis \( \displaystyle\frac{d}{dx}\,\sin x=\cos x \) und \( \displaystyle\frac{d}{dx}\,\cos x=-\sin x. \)

Lösung

Aufgabe 7.4.9: (Taylorentwicklung für Polynome)

Gesucht sind die Taylorentwicklungen für folgende Polynome.

Lösung

Aufgabe 7.4.10: (Taylorpolynom und Approximation von Funktionen)

Betrachten Sie die Funktion \[ f(x)=\sin(e^x-1),\quad x\in\mathbb R. \]

\[\circ\ [0,0.2]\qquad\circ\ [0,0.4]\qquad\circ\ [0,0.6]\qquad\circ\ [0,0.8]\qquad\circ\ [0,1] \]

Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis \( \displaystyle\frac{d}{dx}\,\sin x=\cos x \) und \( \displaystyle\frac{d}{dx}\,\cos x=-\sin x. \)

Lösung

Aufgabe 7.4.11: (Taylorentwicklung und Restgliedabschätzung)

Wir betrachten erneut die hyperbolische Funktion \[ \sinh x:=\frac{1}{2}\,(e^x-e^{-x})\,,\quad x\in\mathbb R. \]

\[ \frac{d^k}{dx^k}\,\sinh x. \]

\[ \lim_{n\to\infty}R_{n+1}(x,x_0)=0 \]

\[ \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots \]

Lösung

Aufgabe 7.4.12: (Beweisen von Ungleichungen durch Taylorentwicklung)

Beweisen Sie unter Verwendung der Taylorschen Formel die Ungleichungen \[ -\,\frac{1}{8}\,x^2\le\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\le 0\quad\mbox{für}\ 0\le x\lt\infty\,. \]

Lösung

Aufgabe 7.4.13: (Approximation des Kosinus)

Geben Sie eine von \( x \) abhängige obere Schranke für den absoluten Fehler der Näherungsformel \[ \cos x\approx 1-\frac{x^2}{2} \] an. Für welche Werte \( x \) ist dieser Fehler sicher kleiner als \( 10^{-4}? \)

Lösung

Aufgabe 7.4.14: (Approximation des Sinus)

Geben Sie eine von \( x \) abhängige obere Schranke für den absoluten Fehler der Näherungsformel \[ \sin x\approx x-\frac{x^3}{6} \] an. Für welche Werte \( x \) ist dieser Fehler sicher kleiner als \( 10^{-4}? \)

Lösung

Aufgabe 7.4.15: (Frei fallende Körper)

Die Geschwindigkeit \( v \) eines fallenden Körpers bei geschwindigkeitsproportionalem Luftwiderstand ist gegeben durch \[ v(t)=\left(v_0-\frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}}+\frac{mg}{k}\,. \] Ermitteln Sie eine für \( \frac{kt}{m}\lt 1 \) gültige Näherungsformel für \( v, \) indem Sie \( e^{-\frac{kt}{m}} \) durch ein Näherungspolynom erster Ordnung ersetzen.

Lösung

7.4.4 Wiederholungsfragen

7.5 Trigonometrische Funktionen

7.5.1 Definition und Eulersche Relation

Wir beginnen mit der

Definition: Die komplexwertige Kosinusfunktion und Sinusfunktion lauten \[ \cos z:=\frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}),\quad \sin z:=\frac{1}{2i}\,(e^{iz}-e^{-iz}),\quad z\in\mathbb C. \]

Hieraus lesen wir unmittelbar die folgende Eulersche Darstellung ab \[ \cos z+i\sin z=e^{iz}\qquad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C. \] Für reelle Argumente ist dann \[ \cos x=\mbox{Re}\,e^{ix}\,,\quad \sin x=\mbox{Im}\,e^{ix}\,, \quad x\in\mathbb R, \] und Quadrieren der Beträge auf beiden Seiten liefert \[ \cos^2x+\sin^2x=1\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]

Eine entsprechende Identität für komplexwertige Argumente beweisen wir in Kürze.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.2 Potenzreihenentwicklungen

Mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung der komplexen Exponentialreihe gelangen wir zu dem

Satz: Für alle \( z\in\mathbb C \) gelten \[ \cos z=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,z^{2k}\,,\quad \sin z=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,z^{2k+1}\,. \] Beide Potenzreihen konvergieren für alle \( z\in\mathbb C \) absolut.

Beweis: Es ist nämlich beispielsweise unter Beachtung der absoluten Konvergenz der komplexwertigen Exponentialreihe \[ \begin{array}{lll} \cos z\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(iz)^k}{k!}+\frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-iz)^k}{k!} \,=\,\frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{\big[i^k+(-i)^k\big]}{k!}\,z^k \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{i^k\big[1+(-1)^k\big]}{k!}\,z^k \,=\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,z^{2k}\,. \end{array} \] Die Potenzreihenentwicklung für den Sinus folgt analog.\( \qquad\Box \)

Bemerkung: Es ist \( \cos z \) eine gerade und \( \sin z \) eine ungerade Funktion, d.h. es gelten \[ \cos z=\cos(-z),\quad \sin z=-\sin(-z)\quad \mbox{für alle}\ z\in\mathbb C. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.3 Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln

Die komplexwertigen Winkelfunktionen besitzen die folgenden Eigenschaften

Satz: Für alle \( z_1,z_2\in\mathbb C \) gelten \[ \begin{array}{lll} \sin(z_1+z_2)\negthickspace & = & \negthickspace \sin z_1\cos z_2+\sin z_2\cos z_1\,, \\ \cos(z_1+z_2)\negthickspace & = & \negthickspace \cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\,. \end{array} \] Ferner gelten für alle \( z\in \mathbb C \) \[ \begin{array}{lll} \cos^2z-\sin^2z=\cos 2z,\quad 2\cos z\sin z=\sin 2z, \\ 1+\cos 2z=2\cos^2z,\quad 1-\cos 2z=2\sin^2z. \end{array} \]

Zum Beweis dieses Satzes, den wir als Übung belassen, werden die behaupteten Identitäten auf die entsprechenden Identitäten im Reellen zurückgeführt. Dazu dient der

Hilfssatz: Wir betrachten die in \( \mathbb C\times\mathbb C \) absolut konvergente Doppelreihe \[ P(z_1,z_2):=\sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell}z_1^kz_2^\ell\,,\quad z_k=x_k+iy_k\in\mathbb C\quad\mbox{für}\ k=1,2, \] mit komplexwertigen Koeffizienten \( a_{k\ell}\in\mathbb C. \) Gilt nun \[ P(x_1,x_2)=0\quad\mbox{für alle}\ x_1,x_2\in\mathbb R, \] so ist auch richtig \[ P(z_1,z_2)=0\quad\mbox{für alle}\ z_1,z_2\in\mathbb C. \]

Stimmen also zwei absolut konvergente und komplexwertige Doppelreihen für reelle Argumente überein, so stimmen sie auch für komplexe Argumente überein. Im vorigen Satz genügt es also, die Behauptungen für \( x,y\in\mathbb R \) nachzuweisen.

Beweis des Hilfssatzes:\(^*\) Betrachte die Potenzreihe mit reellwertigen Argumenten. Nach Voraussetzung ist \[ 0=\sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell}x_1^kx_2^\ell\quad\mbox{für alle}\ x_1,x_2\in\mathbb R\,. \] Wir argumentieren nun wie folgt:

\[ 0=\sum_{k=1,\ \ell=0}^\infty a_{k\ell}x_1^{k-1}x_2^\ell\,, \]

\[ 0=\sum_{k=0,\ \ell=1}^\infty a_{k\ell}x_1^kx_2^{\ell-1}\,, \]

\[ 0=\sum_{k=r,\ \ell=s}^\infty a_{k\ell}r!s!\,x_1^{k-r}x_2^{\ell-s}\,, \]

Daraus folgt die Behauptung.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.4 Differentiation der trigonometrischen Funktionen

Wir beschränken uns erneut auf reelle Argumente und erhalten auf diese Weise die reellwertigen Winkelfunktionen \( \cos x=\mbox{Re}\,e^{ix} \) und \( \sin x=\mbox{Im}\,e^{ix} \) mit den Potenzreihenentwicklungen

\[ \cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k}\,,\quad \sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}\,. \]

Mit Hilfe des Satzes aus Paragraph 7.4.1 erhalten wir den

Satz: Die reellwertigen Funktionen \( \cos\colon\mathbb R\to\mathbb R \) und \( \sin\colon\mathbb R\to\mathbb R \) sind in ganz \( \mathbb R \) stetig differenzierbar und besitzen die Ableitungen \[ \frac{d}{dx}\,\cos x=-\sin x,\quad \frac{d}{dx}\,\sin x=\cos x,\quad x\in\mathbb R. \]

Einen Beweis überlassen wir auch hier als Übung.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.5 Einführung der Kreiszahl \( \pi \)

Um die Kreiszahl \( \pi\in\mathbb R \) einzuführen, beginnen wir mit dem

Satz: Die Gleichung \[ \cos x=0,\quad x\in(0,2), \] besitzt genau eine Lösung.

Beweis: Wir gehen in vier Schritten vor.

\[ \sin x\gt 0\quad\mbox{für alle}\ x\in(0,2]. \]

\[ \begin{array}{lll} \sin x\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} \\ & = & \negthickspace\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\ldots \\ & = & \negthickspace\displaystyle x\left(1-\frac{x^2}{6}\right)+\frac{x^5}{5!}\left(1-\frac{x^2}{42}\right)+\frac{x^9}{9!}\left(1-\frac{x^2}{110}\right)+\ldots \,\gt\,0, \end{array} \]

\[ \begin{array}{lll} \cos x\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k} \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\frac{x^{12}}{12!}-\ldots \\ & = & \negthickspace\displaystyle \left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)-\frac{x^6}{6!}\left(1-\frac{x^2}{56}\right)-\frac{x^{10}}{10!}\left(1-\frac{x^2}{132}\right)-\ldots \end{array} \]

\[ \cos\xi=0, \]

\[ \frac{d}{dx}\,\cos x=-\sin x \quad\mbox{und}\quad \sin x\gt 0 \quad\mbox{in}\ (0,2) \]

\[ \frac{d}{dx}\,\cos x\lt 0\quad\mbox{in}\ (0,2), \]

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

Definition: Die auf Grund des vorigen Satzes eindeutig bestimmte Lösung \( \xi\in(0,2) \) der Gleichung \( \cos x=0 \) im Intervall \( (0,2)\subset\mathbb R, \) d.h. die erste positive Nullstelle der reellen Kosinusfunktion, schreiben wir in der Form \[ \frac{\pi}{2}:=\xi \] und bezeichnen hierin die Zahl \( \pi=3.14159\ldots \) als Kreiszahl.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.6 Phasenverschiebungen und Monotonie der reellen trigonometrischen Funktionen

Satz: Für alle \( x\in\mathbb R \) gelten \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]

Beweis: Zunächst ist \[ 1=\sin^2\frac{\pi}{2}+\cos^2\frac{\pi}{2}=\sin^2\frac{\pi}{2} \quad\mbox{bzw.}\quad \sin\frac{\pi}{2}=1 \] unter Beachtung von \( \sin x\gt 0 \) für alle \( x\in(0,2] \) und \( \frac{\pi}{2}\in(0,2] \) aus dem vorigen Paragraphen. Das Additionstheorem für den Sinus liefert nun \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right) =\sin\frac{\pi}{2}\cos(-z)+\cos\frac{\pi}{2}\sin(-z) =1\cdot\cos z+0\cdot\sin(-z) =\cos z. \] Das ist die erste Behauptung. Zum Nachweis der zweiten Behauptung setzen wir \( x:=\frac{\pi}{2}-z \) und erhalten \[ \sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right). \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Bemerkung: Wegen \( \cos z=\cos(-z) \) nach Paragraph 7.5.2 folgt \[ \sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right). \] Man sagt, durch eine Phasenverschiebung um den Wert \( \frac{\pi}{2} \) geht die reelle Kosinusfunktion in die reelle Sinusfunktion über.

Einen Beweis unseres nächsten Resultats belassen wir als Übung.

Satz: Die folgenden Aussagen sind richtig:

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.7 Polardarstellung komplexer Zahlen

Satz: Jede komplexe Zahl \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) besitzt eine eindeutige Darstellung \[ z=re^{i\varphi}\quad\mbox{mit}\ r\in(0,\infty),\ \varphi\in(-\pi,+\pi]. \] Dabei heißen \( (r,\varphi) \) die Polarkoordinaten von \( z. \)

Beweis:\(^*\) Wir gehen in zwei Schritten vor.

\[ z=x+iy\quad\mbox{mit}\ x\gt 0\ \mbox{und}\ y\gt 0 \]

\[ r:=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\gt 0,\quad \xi:=\frac{x}{|z|}\,,\quad \eta:=\frac{y}{|z|}\,, \]

\[ z=x+iy =|z|\left(\frac{x}{|z|}+i\,\frac{y}{|z|}\right) =|z|(\xi+i\eta) \]

\[ \xi^2+\eta^2=\frac{x^2+y^2}{|z|^2}=1 \quad\mbox{bzw.}\quad \xi=\sqrt{1-\eta^2}\,. \]

\[ \eta\in[0,1] \quad\mbox{und damit}\quad \eta\in\big[\sin 0,\sin\textstyle\frac{\pi}{2}\big]. \]

\[ \sin\varphi=\eta, \]

\[ \cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\sqrt{1-\eta^2}=\xi. \]

\[ z=r(\xi+i\eta)=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}\,. \]

\[ z=re^{i\varphi}\quad\mbox{und}\quad z=r^*e^{i\varphi^*} \]

\[ r=|z|\quad\mbox{und}\quad r^*=|z|,\quad\mbox{also}\quad r=r^*\,. \]

\[ e^{i(\varphi-\varphi^*)}=1. \]

\[ \varphi-\varphi^*=0\quad\mbox{bzw.}\quad\varphi=\varphi^*. \]

Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.8 Die Periode der komplexwertigen Exponentialfunktion

Satz: Die komplexe Exponentialreihe \( \exp z \) besitzt die Periode \( 2\pi i, \) d.h. es gilt für alle \( z\in\mathbb C \) \[ \exp z=\exp(z+2\pi ik),\quad k\in\mathbb Z. \] Es gilt darüber hinaus \[ \exp z=\exp w\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad w-z=2\pi ik \] mit geeignetem \( k\in\mathbb Z \) richtig ist.

Sie können dieses Resultat sofort auf den Fall der reellen Exponentialfunktion übertragen.

Beweis:\(^*\) Wir gehen in zwei Schritten vor.

\[ \exp z=\exp(z+2\pi i)\quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C \]

\[ e^{\frac{\pi}{2}i} =\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} =i. \]

\[ |e^{\frac{\pi}{2}i}|^2=i^2=-1, \quad\mbox{also auch}\quad e^{2\pi i}=\big(e^{\frac{\pi}{2}i}\big)^4=(-1)^2=1. \]

\[ \exp(z_1+z_2)=\exp z_1\cdot\exp z_2\quad\mbox{für alle}\ z_1,z_2\in\mathbb C \]

\[ \exp(z+2\pi i)=\exp z\cdot\exp(2\pi i)=\exp z\cdot 1=\exp z. \]

\[ \exp(z-w)=1, \quad\mbox{d.h. es ist notwendig}\quad z-w=2k\pi i,\ k\in\mathbb Z. \] Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

Das führt uns unmittelbar zu der

Folgerung: Die komplexwertigen trigonometrischen Funktionen \( \sin z \) und \( \cos z \) besitzen die Periode \( 2\pi. \)

Beweis: Wegen \( e^{2\pi ki}=1 \) beachten wir nämlich \[ \begin{array}{lll} \cos(z+2\pi k)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{2}\left\{e^{i(z+2\pi k)}+e^{-i(z+2\pi k)}\right\} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}) \,=\,\cos z. \end{array} \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.9 Die Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion

Wir beschließen dieses Kapitel mit einer Anwendung unser erlernten Methoden und beweisen den

Satz: Die Nullstellen der komplexwertigen Kosinusfunktion \( \cos z, \) \( z\in\mathbb C, \) sind von der Form \[ z=\frac{\pi}{2}\,(2k+1),\quad k\in\mathbb Z. \]

Beweis: Wir ermitteln nämlich \[ \begin{array}{l} \displaystyle 0=\cos z=\frac{1}{2}\,(e^{iz}+e^{-iz}) \\ \quad\Longleftrightarrow\qquad 0=e^{2iz}+1 \\ \quad\Longleftrightarrow\qquad e^{2iz}=-1=e^{i\pi} \\ \quad\Longleftrightarrow\qquad e^{(2z-\pi)i}=1=e^{2\pi ki}\,,\quad k\in\mathbb Z \\ \quad\Longleftrightarrow\qquad (2z-\pi)i=2\pi ki,\quad k\in\mathbb Z \\ \quad\Longleftrightarrow\qquad \displaystyle z=\frac{\pi}{2}\,(2k+1),\quad k\in\mathbb Z \end{array} \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Bemerkungen: In \( \mathbb R \) sind die Winkelfunktion \( \sin\colon\mathbb R\to\mathbb R \) und \( \cos\colon\mathbb R\to\mathbb R \) beschränkt, d.h. es gelten \[ |\sin x|\le 1,\quad |\cos x|\le 1 \quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] In \( \mathbb C \) gilt jedoch beispielsweise \[ \sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\quad z=x+iy, \] d.h. die komplexe Sinusfunktion \( \sin\colon\mathbb C\to\mathbb C \) ist unbeschränkt.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

7.5.10 Aufgaben

Aufgaben - Definition und Eulersche Relation

Aufgabe 7.5.1: (Eulersche Relation)

Beweisen Sie \[ \cos z+i\sin z=e^{iz}\,,\quad z\in\mathbb C. \]

Aufgabe 7.5.2: (Quadratsumme der reellen trigonometrischen Funktionen)

Beweisen Sie \[ \sin^2x+\cos^2x=1\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]

Aufgaben - Potenzreihenentwicklungen

Aufgabe 7.5.3: (Potenzreihenentwicklung des Sinus)

Beweisen Sie \[ \sin z=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,z^{2k+1}\,,\quad z\in\mathbb C. \]

Aufgabe 7.5.4: (Gerade und ungerade trigonometrische Funktionen)

Beweisen Sie:

Aufgabe 7.5.5: (Approximation der trigonometrischen Funktionen in \( \mathbb C \))

Es sei \( z=x+iy. \) Für \( z\approx 0 \) sind folgenden Approximationsformeln zu beweisen:

Aufgaben - Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln

Aufgabe 7.5.6: (Additionstheoreme für Sinus und Kosinus)

Beweisen Sie, dass für alle \( z_1,z_2\in\mathbb C \) richtig sind:

Aufgabe 7.5.7: (Winkelverdopplungsformeln für Sinus und Kosinus)

Beweisen Sie, dass für alle \( z\in\mathbb C \) richtig sind:

Aufgabe 7.5.8: (Halbwinkelformeln im Komplexen)

Beweisen Sie, dass für alle \( z\in\mathbb C \) richtig sind:

Aufgabe 7.5.9: (Abschätzung der vierten Potenzen von Sinus und Kosinus)

Beweisen Sie ohne Hilfsmittel der Differentialrechnung, dass für beliebiges reelles \( x\in\mathbb R \) gilt \[ \frac{1}{2}\le\sin^4x+\cos^4x\le 1. \]

Aufgaben - Differentiation der trigonometrischen Funktionen

Aufgabe 7.5.10: (Ableitungen der trigonometrischen Funktionen)

Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Identitäten:

Leiten Sie dazu formal die zu den Funktionen gehörigen Potenzreihen ab. Alle Voraussetzungen des Satzes aus Paragraph 7.4.1 seien dabei erfüllt und müssen nicht verifiziert werden.

Aufgabe 7.5.11: (Eine gewöhnliche Differentialgleichung)

Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) zweimal differenzierbar und genüge der Differentialgleichung \[ f''(x)+f(x)=0\quad\mbox{für alle}\ x\in \mathbb R. \]

\[ f_1(x)=\sin x \quad\mbox{und}\quad f_2(x)=\cos x \]

\[ \lambda f_1(x)+\mu f_2(x),\quad x\in\mathbb R, \]

Bemerkung: Dass mit diesen Linearkombinationen auch wirklich alle Lösungen der Differentialgleichung gefunden sind, wird in der Vorlesung Analysis 2 bewiesen.

Aufgabe 7.5.12: (Lösen eines Anfangswertproblems)

Es seien \( f(x) \) und \( g(x) \) zwei in \( \mathbb R \) differenzierbare Funktionen mit \[ f(0)=0,\quad g(0)=1,\quad f'(x)=g(x),\quad g'(x)=-f(x) \quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Zeigen Sie, dass dann gelten \[ f(x)=\sin x,\quad g(x)=\cos x \quad\mbox{in}\ \mathbb R. \] Hinweis: Differenzieren Sie \( h(x):=f(x)\cos x-g(x)\sin x \) und \( \widetilde h(x):=f(x)\sin x+g(x)\cos x. \)

Aufgaben - Einführung der Kreiszahl \( \pi \)

Aufgabe 7.5.13: (Exakte Werte der trigonometrischen Funktionen I)

Wie lauten die exakten Werte der Kosinus- und Sinusfunktion für folgende Argumente.

Aufgabe 7.5.14: (Winkelverdreifachung und trigonometrische Funktionen)

Beweisen Sie die folgenden Identitäten in \( \mathbb R. \)

Aufgabe 7.5.15: (Exakte Werte der trigonometrischen Funktionen II)

Berechnen Sie die exakten Werte der Kosinus- und Sinusfunktion für das Argument \( \displaystyle x=\frac{\pi}{3}. \)

Aufgaben - Phasenverschiebung und Monotonie

Aufgabe 7.5.16: (Die Inversen der trigonometrischen Funktionen)

Die Umkehrfunktionen der reellwertigen trigonometrischen Funktionen \( \sin x \) und \( \cos x \) sind der Arkussinus und der Arkuskosinus \[ \arcsin\quad\mbox{bzw.}\quad\arccos. \]

\[ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\,. \]

Aufgaben - Polardarstellung komplexer Zahlen

Aufgabe 7.5.17: (Betrag und Argument komplexer Zahlen)

Ermitteln Sie Betrag \( r \) und Argument, d.h. Polarwinkel \( \varphi, \) folgender komplexer Zahlen.

Aufgabe 7.5.18: (Die Formel von de Moivre)

Es sei \( z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \) eine komplexe Zahl in Polardarstellung. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),\quad n\in\mathbb N. \]

Aufgabe 7.5.19: (Anwendung der Formel von de Moivre)

Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre:

Aufgaben - Die Periode der komplexwertigen Exponentialfunktion

Aufgabe 7.5.20: (Periodizität der komplexen Sinusfunktion)

Beweisen Sie \[ \sin(z+2k\pi)=\sin z\quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C. \]

Aufgaben - Die Nullstellen der komplexen Kosinusfunktion

Aufgabe 7.5.21: (Unbeschränktheit der komplexen trigonometrischen Funktionen)

Beweisen Sie, dass für alle \( z=x+iy \) folgende Identitäten richtig sind.

Sind die komplexen trigonometrischen Funktion \( \sin z \) und \( \cos z \) auf \( \mathbb C \) beschränkt?

7.5.11 Wiederholungsfragen