Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 7:
Differenzierbare Funktionen - Die allgemeine Potenzfunktionen
Lösungen zu den Natürlicher Logarithmus und die allgemeine Potenzfunktion
Lösung zur Aufgabe 7.2.1 - Auflösen quadratischer Gleichungen
| (i) | Wir ermitteln |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \left(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)^2+p\left(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)+q \\ \qquad\displaystyle \frac{p^2}{4}\mp p\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+\frac{p^2}{4}-q-\frac{p^2}{2}\pm p\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}+q \\ \qquad\displaystyle =\,\left(\frac{p^2}{4}+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{2}\right)\mp p\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\pm p\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}-q+q \,=\,0. \end{array} \]
| (ii) | Wir gehen wie folgt vor |
\[ \begin{array}{l} & x^2+px+q=0 \\ \Longrightarrow & x^2+px=-q \\ \Longrightarrow & \displaystyle x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=-q+\left(\frac{p}{2}\right)^2 \\ \Longrightarrow & \displaystyle \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=-q+\frac{p^2}{4} \end{array} \]
| Hieraus zieht man die Wurzel und stellt nach \( x \) um, wobei nach Wurzelziehen auf das Vorzeichen geachtet werden muss: |
\[ x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \quad\mbox{bzw.}\quad x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Rechenregeln
Lösung zur Aufgabe 7.2.2 - Rechnen mit Potenzen I
| (i) | Es ist |
\[ 2^3-(-2)^3-(-2)^4+(-2)^3 =8-(-8)-16+(-8) =-8. \]
| (ii) | Es ist |
\[ (-x)^4+(-2a)^4-2a^4+(-3x)^4 =x^4+16a^4-2a^4+81x^4 =82x^4+14a^4\,. \]
| (iii) | Es ist |
\[ \begin{array}{l} 18(a-1)^3-3(1-a)^3-16(a-1)^3-4(1-a)^3+3(1-a)^3 \\ \qquad =\,18(a-1)^3+3(a-1)^3-16(a-1)^3+4(a-1)^3-3(a-1)^3 \\ \qquad =\,(18+3-16+4-3)(a-1)^3 \,=\,6(a-1)^3\,. \end{array} \] Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.3 - Rechnen mit Potenzen II
| (i) | Es ist |
\[ \frac{a^{x+3}\cdot b^{x+1}\cdot a^{3+x}\cdot b^{3x-1}}{a^{x+1}\cdot b^{x-2}\cdot a^{3-x}\cdot b^x} =\frac{a^{x+3+3+x}\cdot b^{x+1+3x-1}}{a^{x+1+3-x}\cdot b^{x-2+x}} =\frac{a^{2x+6}\cdot b^{4x}}{a^4\cdot b^{2x-2}} =a^{2x+2}\cdot b^{2x+2}\,. \]
| (ii) | Es ist |
\[ \frac{a^{2n+x}\cdot b^{3n-x}}{a^{2n-x}\cdot b^{n+2x}}\cdot\frac{x^{2n-1}\cdot y^{3n+2}}{x^{n+1}\cdot y^{2n-3}} =a^{2x}\cdot b^{2n-3x}\cdot x^{n-2}\cdot y^{n+5}\,. \]
| (iii) | Es ist |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{21\cdot a^3\cdot b^2\cdot x^{n+1}}{18\cdot c^3\cdot y^2\cdot z^{n-3}}\div\frac{35\cdot a^2\cdot b^3\cdot x^{n+2}}{27\cdot c^2\cdot y^4\cdot z^{n-2}} \\ \qquad\displaystyle =\,\frac{21\cdot 27\cdot a^3\cdot b^2\cdot x^{n+1}\cdot c^2\cdot y^4\cdot z^{n-2}}{18\cdot 35\cdot c^3\cdot y^2\cdot z^{n-3}\cdot a^2\cdot b^3\cdot x^{n+2}} \,=\,\frac{9\cdot a\cdot y^2\cdot z}{10\cdot b\cdot c\cdot x}\,. \end{array} \] Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.4 - Rechnen mit Potenzen III
| (i) | Es ist |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \left(\frac{2a^2x^2}{3b^2y^2}\right)^3\cdot\left(\frac{4b^3x^2}{3a^3y^3}\right)^4\cdot\left(\frac{9a^3y^6}{8b^3x^3}\right)^2 \,=\,\frac{8a^6x^6}{27b^6y^6}\cdot\frac{256b^{12}x^8}{81a^{12}y^{12}}\cdot\frac{81a^6y^{12}}{64b^6x^6} \\ \qquad\displaystyle =\,\frac{8\cdot 256\cdot 81\cdot a^{12}b^{12}x^{14}y^{12}}{27\cdot 81\cdot 64\cdot a^{12}b^{12}x^6y^{18}} \,=\,\frac{32x^8}{27y^6}\,. \end{array} \]
| (ii) | Es ist |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \left(\frac{15a^2x^3}{8b^3y}\right)^2\cdot\left(\frac{2ay^3}{3bx^3}\right)^3\cdot\left(\frac{12b^4x}{25a^3y^3}\right)^2 \,=\,\frac{225a^4x^6}{64b^6y^2}\cdot\frac{8a^3y^9}{27b^3x^9}\cdot\frac{144b^8x^2}{625a^6y^6} \\ \qquad\displaystyle =\,\frac{225\cdot 8\cdot 144\cdot a^7b^8x^8y^9}{64\cdot 27\cdot 625\cdot a^6b^9x^9y^8} \,=\,\frac{6ay}{25bx}\,. \end{array} \] Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.5 - Addition und Subtraktion von Wurzeln
| (i) | Es ist |
\[ \begin{array}{l} 8\,\sqrt[3]{343}-4\,\sqrt[3]{125}+5\,\sqrt[3]{8}-5\,\sqrt[3]{729} =8\cdot 7-4\cdot 5+5\cdot 2-5\cdot 9 \\ \qquad =\,56-20+10-45 \,=\,1. \end{array} \]
| (ii) | Es ist |
\[ \begin{array}{l} 3\,\sqrt[4]{256}-4\,\sqrt{49}-7\,\sqrt[3]{27}+2\,\sqrt[5]{32} =3\cdot 4-4\cdot 7-7\cdot 3+2\cdot 2 \\ \qquad =\,12-28-21+4 \,=\,-33. \end{array} \]
| (iii) | Es ist |
\[ \sqrt[3]{3^3+4^3+5^3} =\sqrt[3]{216} =6. \] Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.6 - Logarithmengesetze
| (i) | Wir setzen \( r:=\log_bxy, \) \( s:=\log_bx, \) \( t:=\log_by. \) Dann haben wir |
\[ xy=b^r\,,\quad x=b^s\,,\quad y=b^t \]
| bzw. nach Multiplikation und Vergleich |
\[ xy=b^sb^t=b^{s+t} \quad\Longleftrightarrow\quad b^r=b^{s+t} \quad\Longleftrightarrow\quad r=s+t. \]
| Dabei folgt aus \( r=s+t \) sofort \( b^r=b^{s+t}, \) während umgekehrt \( r=s+t \) aus \( b^r=b^{s+t} \) folgt aus der, Stetigkeit, Monotonie und Injektivität der Potenzfunktion - ähnlich unsere Diskussion zur Exponentialfunktion. | |
| (ii) | Wir setzen \( r:=\displaystyle\log_b\frac{x}{y}, \) \( s:=\log_bx, \) \( t:=\log_by. \) Dann haben wir |
\[ \frac{x}{y}=b^r\,,\quad x=b^s\,,\quad y=b^t \]
| bzw. nach Multiplikation und Vergleich |
\[ \frac{x}{y}=\frac{b^s}{b^t}=b^{s-t} \quad\Longleftrightarrow\quad b^r=b^{s-t} \quad\Longleftrightarrow\quad r=s-t \]
| mit einer zu (i) analogen Begründung. Also gilt | |
| (iii) | Wir setzen \( r:=\log_b x^y, \) \( s:=\log_bx. \) Dann haben wir |
\[ b^r=x^y=(b^s)^y \quad\Longleftrightarrow\quad b^r=b^{sy} \quad\Longleftrightarrow\quad r=sy \]
| mit einer zu (i) analogen Begründung. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.7 - Umrechnungsformeln für Logarithmen
Wir setzen \( x:=\log_da, \) \(y:=\log_db, \) \( z:=\log_ba \) bzw. äquivalent \( d^x=a, \) \( d^y=b, \) \( b^z=a \) und daher \[ d^x=a=b^z=(d^y)^z=d^{yz} \quad\Longleftrightarrow\quad d^x=d^{yz} \quad\Longleftrightarrow\quad x=yz \quad\Longleftrightarrow\quad z=\frac{x}{y} \] mit einer zu 7.2.6(i) analogen Begründung. Wegen \[ w:=\log_aa\quad\Longleftrightarrow a^w=a\quad\Longleftrightarrow w=1 \] folgt hieraus insbesondere \[ \log_ba=\frac{1}{\log_ab}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.8 - Exponentialgleichungen
| (i) | \( x=6 \) | (ii) | \( x=1 \) | (iii) | \( \displaystyle x=\frac{1}{2} \) |
Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.9 - Logarithmen I
| (i) | \( x=3 \) | (ii) | \( x=3 \) | (iii) | \( x=2 \) |
Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.10 - Logarithmen II
| (i) | \( x=2 \) | (ii) | \( x=0 \) | (iii) | \( \displaystyle x=\frac{1}{3} \) |
Damit sind alle Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.11 - Differentiation von Potenzfunktionen
| (i) | \( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}+14x+\frac{3}{7} \) |
| (ii) | \( \displaystyle f'(x)=3x^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}+\frac{13}{49}\,x^{-\frac{6}{7}} \) |
Damit sind alle Ableitungen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.12 - Logarithmisches Differenzieren
Es handelt sich um die Ableitung der Logarithmusfunktion zusammen mit der Kettenregel: \[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x) =\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 7.2.13 - Zur Regel des logarithmischen Differenzierens
| (i) | Mit \( f(x)=e^x \) auf \( D=\mathbb R \) ermitteln wir |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln e^x=\frac{dx}{dx}=1 \]
| und damit |
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=1 \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=e^x\,. \]
| (ii) | Mit \( f(x)=xe^x \) auf \( D=(0,\infty) \) ermitteln wir |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln xe^x =\frac{(1+x)e^x}{xe^x} \]
| und damit |
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{(1+x)e^x}{xe^x} \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=(1+x)e^x\,. \]
| (iii) | Mit \( f(x)=2^x \) auf \( D=\mathbb R \) ermitteln wir |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln 2^x =\frac{d}{dx}\,x\ln 2 =\ln 2 \]
| und damit |
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=\ln 2 \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=\ln 2^x\ln 2. \]
| (iv) | Mit \( f(x)=4^{x^2} \) auf \( D=\mathbb R \) ermitteln wir |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln 4^{x^2} =\frac{d}{dx}\,x^2\ln 4 =2x\ln 4 \]
| und damit |
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=2x\ln 4 \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=2x4^{x^2}\ln 4. \]
| (v) | Mit \( f(x)=x^{2x} \) auf \( D=(0,\infty) \) ermitteln wir |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln x^{2x} =\frac{d}{dx}\,2x\ln x =2\ln x+2 \]
| und damit |
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=2\ln x+2 \quad\mbox{bzw.}\quad f'(x)=2(1+\ln x)x^{2x}\,. \]
| (vi) | Mit \( f(x)=x^{3x-1} \) auf \( D=(0,\infty) \) ermitteln wir |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln x^{3x-1} =\frac{d}{dx}\,(3x-1)\ln x =3\ln x+\frac{3x-1}{x} \]
| und damit |
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=3\ln x+\frac{3x-1}{x} \quad\mbox{bzw.}\quad \left(3\ln x+\frac{3x-1}{x}\right)x^{3x-1}\,. \] Damit sind alle Ableitungen ermittelt.\( \qquad\Box \)