Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 2:
Elementare Zahlenbereiche - Die ganzen Zahlen
Lösungen zu den Aufgaben Definition der ganzen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.2.1 - Ganze Zahlen und Äquivalenzklassen
| (i) | \( (11,8), \) \( (3,0), \) \( (7,4) \) |
| (ii) | \( (8,11), \) \( (2,5), \) \( (4,7) \) |
| (iii) | \( (13,7), \) \( (6,0), \) \( (20,14) \) |
Lösung zur Aufgabe 2.2.2 - Äquivalenzrelation der ganzen Zahlen
Lösung von Elisabeth Pharo:
Lösung zur Aufgabe 2.2.3 - Eine Äquivalenzrelation auf endlichen Mengen
Es ist \( \sim \) eine Äquivalenzrelation, denn wir verifizieren:
| \( \circ\quad \) | Reflexivität: Wegen \( |M|=|M| \) ist stets \( M\sim M \) erfüllt. |
| \( \circ\quad \) | Symmetrie: Sei \( M_1\sim M_2, \) d.h. \( |M_1|=|M_2|, \) damit auch \( |M_2|=|M_1|, \) also \( M_2\sim M_1. \) |
| \( \circ\quad \) | Transitivität: Seien \( M_1\sim M_2 \) und \( M_2\sim M_3, \) so gilt \( M_1\sim M_3, \) denn |
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Also stellt \( \sim \) eine Äquivalenzrelation dar.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.2.4 - Äquivalenzrelationen und disjunkte Äquivalenzklassen
Sei zunächst \( a\sim b. \) Dann haben wir
| \( \circ \) | \( K_a\subseteq K_b \), denn es ist |
\[ \begin{array}{lll} x\in K_a\quad & \Longrightarrow & \quad x\sim a & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_a \\ & \Longrightarrow & \quad x\sim a\,\wedge\,a\sim b & \quad\mbox{nach Voraussetzung} \\ & \Longrightarrow & \quad x\sim b & \!\!\quad\mbox{wegen Transitivität von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad x\in K_b & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_b \end{array} \]
| \( \circ \) | \( K_b\subseteq K_a, \) denn es ist |
\[ \begin{array}{llll} x\in K_b\quad & \Longrightarrow & \quad x\sim b & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_b \\ & \Longrightarrow & \quad b\sim x & \!\!\quad\mbox{wegen Symmetrie von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad a\sim b\,\wedge\,b\sim x & \quad\mbox{nach Voraussetzung} \\ & \Longrightarrow & \quad a\sim x & \!\!\quad\mbox{wegen Transitivität von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad x\sim a & \!\!\quad\mbox{wegen Symmetrie von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad x\in K_a & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_a \end{array} \] Insgesamt folgt also \( K_a=K_b. \) Sei nun umgekehrt \( K_a=K_b. \) Wir schließen auf analoge Weise \[ \begin{array}{l} a\in K_a=K_b\quad\Longrightarrow\quad a\in K_b\quad\Longrightarrow\quad a\sim b \\ b\in K_b=K_a\quad\Longrightarrow\quad b\in K_a\quad\Longrightarrow\quad b\sim a\quad\Longrightarrow\quad a\sim b. \end{array} \] Insgesamt folgt also \( a\sim b. \) Damit ist die Behauptung bewiesen.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Addition und Multiplikation ganzer Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.2.5 - Wohldefiniertheit der Addition in \( \mathbb Z \)
Es seien \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) bzw. nach Definition \[ k+\ell'=\ell+k'\,,\quad m+n'=n+m'\,. \] Es folgt \[ \begin{array}{cl} & k+\ell'=\ell+k' \\ \Longrightarrow & k+\ell'+m=\ell+k'+m \\ \Longrightarrow & k+\ell'+m+n'=\ell+k'+m+n' \\ \Longrightarrow & k+\ell'+m+n'=\ell+k'+n+m' \end{array} \] und damit \[ (k+m,\ell+n)\sim_{\mathbb Z}(k'+m',\ell'+n') \] bzw. \[ [(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z}=[(k'+m',\ell'+n')]_{\mathbb Z}\,. \] Das zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.2.6 - Wohldefiniertheit der Multiplikation in \( \mathbb Z \)
Es seien \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) bzw. nach Definition \[ k+\ell'=\ell+k'\,,\quad m+n'=n+m'\,. \tag{\( * \)} \]
| \( \circ \) | Wir multiplizieren die erste Identität in \( (*) \) mit \( m \) sowie \( n, \) d.h. |
\[ (k+\ell')m=(\ell+k')m,\quad (k+\ell')n=(\ell+k')n \]
| und damit nach Addition |
\[ (k+\ell')m+(\ell+k')n=(\ell+k')m+(k+\ell')n. \]
| Ausmultiplizieren und Umsortieren bringt |
\[ (km+\ell n)+(\ell'm+k'n)=(kn+\ell m)+(k'm+\ell'n) \]
| und daher nach Definition |
\[ (km+\ell n,kn+\ell m)\sim_{\mathbb Z}(k'm+\ell'n,\ell'm+k'n). \]
| Das bedeutet aber |
\[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z}=[(k',\ell')]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z}\,. \]
| \( \circ \) | Wir multiplizieren die zweite Identität in \( (*) \) mit \( k' \) sowie \( \ell', \) d.h. |
\[ (m+n')k'=(n+m')k'\,,\quad (m+n')\ell'=(n+m')\ell' \]
| und damit nach Addition |
\[ (m+n')k'+(n+m')\ell'=(n+m')k'+(m+n')\ell'\,. \]
| Ausmultiplizieren und Umsortieren bringt |
\[ (k'm+\ell'n)+(k'n'+\ell'm') =(k'm'+\ell'n')+(\ell'm+k'n) \]
| und daher nach Definition |
\[ (k'm+\ell'n,\ell'm+k'n) \sim_{\mathbb Z}(k'm'+\ell'n',k'n'+\ell'm'). \]
| Das bedeutet aber |
\[ [(k',\ell')]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z}=[(k',\ell')]_{\mathbb Z}\cdot[(m',n')]_{\mathbb Z}\,. \]
| (ii) | Die Beweispunkte (i) und (ii) zusammengefasst, haben wir |
\[ \begin{array}{l} (km+\ell n,kn+\ell m)\sim_{\mathbb Z}(k'm+\ell'n,\ell'm+k'n), \\ (k'm+\ell'n,\ell'm+k'n) \sim_{\mathbb Z}(k'm'+\ell'n',k'n'+\ell'm'). \end{array} \]
| Da \( \sim_{\mathbb Z} \) als Äquivalenzrelation transitiv ist, schließen wir |
\[ (km+\ell n,kn+\ell m)\sim_{\mathbb Z}(k'm'+\ell'n',k'n'+\ell'm') \]
| und somit |
\[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z}=[(k',\ell')]_{\mathbb Z}\cdot[(m',n')]_{\mathbb Z}\,. \] Das zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.2.7 - Umschreiben von ganzen Zahlen
| (i) | \( 5, \) \( 7, \) \( 9 \) |
| (ii) | \( -2, \) \( -2, \) \( -7 \) |
Lösung zur Aufgabe 2.2.8 - Ausführbarkeit der Subtraktion in \( \mathbb Z \)
Wir ermitteln \[ \begin{array}{ll} & [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+x=[(m,n)]_{\mathbb Z} \\ \Longleftrightarrow & [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(\ell,k)]_{\mathbb Z}+x=[(m,n)]_{\mathbb Z}+[(\ell,k)]_{\mathbb Z} \\ \Longleftrightarrow & [(k+\ell,\ell+k)]_{\mathbb Z}+x=[(m+\ell,n+k)]_{\mathbb Z} \\ \Longleftrightarrow & [(0,0)]_{\mathbb Z}+x=[(m+\ell,n+k)]_{\mathbb Z} \\ \Longleftrightarrow & x=[(m+\ell,n+k)]_{\mathbb Z} \end{array} \] Das beweist die Behauptung.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.2.9 - 5. Spezialistenlager Junger Mathematiker 1966, Aufgabe W(9)94
Es seien \( p=2m+1 \) und \( q=2n+1 \) ungerade Zahlen. Zu zeigen ist, dass \[ x^3+(2m+1)x+2n+1=0 \] keine ganzzahligen Lösungen besitzt.
| \( \circ \) | Angenommen, es existiert eine gerade Lösung \( x=2s. \) Dann erhalten wir mit |
\[ \begin{array}{lcl} 0\negthickspace & = & \negthickspace (2s)^3+2s(2m+1)+(2n+1) \\ & = & \negthickspace 8s^3+4ms+2s+2n+1 \\ & = & \negthickspace 2(4s^3+2ms+s+n)+1, \end{array} \]
| einen Widerspruch, denn \( 0 \) ist nicht Summe einer geraden und einer ungeraden ganzen Zahl. | |
| \( \circ \) | Angenommen, es existiert eine ungerade Lösung \( x=2s+1. \) Dann erhalten wir mit |
\[ \begin{array}{lcl} 0\negthickspace & = & \negthickspace (2s+1)^3+(2s+1)(2m+1)+(2n+1) \\ & = & \negthickspace 8s^3+12s^2+6s+1+4ms+2s+2m+1+2n+1 \\ & = & \negthickspace 2(4s^3+6s^2+3s+2ms+s+m+n)+3, \end{array} \]
| einen Widerspruch, denn \( 0 \) ist nicht Summe einer geraden und einer ungeraden ganzen Zahl. |
Das beweist die Behauptung.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.2.10 - 5. Spezialistenlager Junger Mathematiker 1966, Aufgabe W(10)94
Nach dem Satz von Vieta gelten \[ -p=x_1+x_2\,,\quad 36=x_1x_2\,. \] Es folgt zusammen mit der Forderung \( x_1^2+x_2^2=153 \) \[ p^2 =x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 =x_1^2+72+x_2^2 =153+72 =225 \] und damit die beiden, durch Probe bestätigten Lösungen \( p=-15 \) und \( p=15.\qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.2.11 - nach Monoid 137, Aufgabe 1235
Tritt eine der beiden Farben rot (r) oder blau (b) nur endlich oft auf, finden wir ein hinreichend großes \( n_1\in\mathbb N \) der anderen Farbe und \( n_3=n_2+1=n_1+2 \) mit den geforderten Eigenschaften. Wir können also annehmen, dass beide Farben unendlich oft auftreten und gehen wie folgt vor:
| \( \circ \) | Wähle ein \( n\in\mathbb N \) und ein \( n+d\in\mathbb N, \) \( d\in\mathbb N, \) beide von der Farbe \( b: \) |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{\ } \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ } \) |
| Die Zahl \( n \) unterstreichen wir im Folgenden aus Gründen der Übersicht doppelt. | |
| \( \circ \) | Die Zahl \( n-d \) (im Schema die Zahl links von \( n \)) ist entweder \( b \) oder \( r, \) d.h. |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{b}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{\ } \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{\ } \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ } \) | |
| Im ersten Fall sind wir fertig, es verbleibt, den zweiten Fall zu betrachten. | |
| \( \circ \) | Die Zahl \( n+2d \) ist entweder \( b \) oder \( r, \) d.h. |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{b} \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ } \) |
| Im ersten Fall sind wir fertig, es verbleibt, den zweiten Fall zu betrachten. | |
| \( \circ \) | Die Zahl \( n+5d \) ist entweder \( b \) oder \( r, \) d.h. |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{b}\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\ } \) |
| Im zweiten Fall sind wir fertig, es verbleibt, den ersten Fall zu betrachten. | |
| \( \circ \) | Nach Füllen der beiden sind folgende Fälle zu unterscheiden: |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{b}\,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{r}\,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{\ }\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{\ } \) |
| In den ersten drei Fällen sind wir fertig, es verbleibt, den vierten Fall zu betrachten. | |
| \( \circ \) | Die Zahl \( n-2d \) ist entweder \( b \) oder \( r, \) d.h. |
| \( \qquad \underline{b}\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{\ } \) | |
| \( \qquad \underline{r}\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{\ } \) | |
| Im ersten Fall sind wir fertig, es verbleibt, den zweiten Fall zu betrachten. | |
| \( \circ \) | Die Zahl \( n+6d \) ist entweder \( b \) oder \( r, \) d.h. |
| \( \qquad \underline{r}\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{b} \) | |
| \( \qquad \underline{r}\,\underline{r}\,\underline{\underline{b}}\,\underline{b}\,\underline{r} \,\underline{r}\,\underline{b}\,\underline{b}\,\underline{r} \) | |
| Jetzt sind wir in beiden Fällen. |
Damit ist die Behauptung bewiesen.\( \qquad\Box \)