Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 2:
Elementare Zahlenbereiche - Die rationalen Zahlen
Lösungen zu den Aufgaben Definition der rationalen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.3.1 - Äquivalenzrelation der rationalen Zahlen
Wir verifizieren die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation:
| \( \circ \) | Reflexivität: Für alle \( (k,\ell)\in\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}) \) gilt |
\[ (k,\ell)\sim_{\mathbb Q}(k,\ell), \]
| \( \circ \) | denn es ist \( k\cdot\ell=\ell\cdot k. \) |
| \( \circ \) | Symmetrie: Für alle \( (k,\ell),(m,n)\in\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}) \) gilt |
\[ (k,\ell)\sim_{\mathbb Q}(m,n) \quad\mbox{genau dann, wenn}\quad (m,n)\sim_{\mathbb Q}(k,\ell), \]
| \( \circ \) | denn es ist \( k\cdot n=\ell\cdot m \) genau dann, wenn \( m\cdot\ell=n\cdot k, \) |
| \( \circ \) | Transitivität: Sei \( m\not=0. \) Für alle \( (k,\ell),(m,n),(r,s)\in\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}) \) gilt |
\[ (k,\ell)\sim_{\mathbb Q}(m,n)\ \mbox{und}\ (m,n)∼Q(r,s),\quad\mbox{dann}\quad(k,\ell)\sim_{\mathbb Q}(r,s), \]
| \( \circ \) | denn aus \( k\cdot n=\ell\cdot m \) und \( m\cdot s=n\cdot r \) folgt \( ksmn=\ell rmn \) und damit unter Beachtung von \( m,n\not=0 \) nach Kürzen \( ks=\ell r. \) Den Fall \( m=0 \) belassen wir als Übung. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Addition und Multiplikation rationaler Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.3.2 - Wohldefiniertheit der Addition in \( \mathbb Q \)
Es seien \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q},[(m,n)]_{\mathbb Q},[(k',\ell')]_{\mathbb Q},[(m',n')]_{\mathbb Q}\in Q \) mit \( \ell,\ell',n,n'\not=0 \) und \[ (k,\ell)\sim_{\mathbb Q}(k',\ell'),\quad (m,n)\sim_{\mathbb Q}(m',n') \] bzw. nach Definition \[ k'\ell=\ell'k,\quad m'n=n'm. \] Die Addition wurde in der Vorlesung wie folgt definiert \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(kn+\ell m,\ell n)]_{\mathbb Q}\,. \] Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten: Wir ermitteln nämlich \[ \begin{array}{l} \displaystyle (k\ell')(nn')+(m'n)(\ell\ell') \,=\,(k\ell')(nn')+(m'n)(\ell\ell') \\ \qquad\Longleftrightarrow\qquad (k'\ell)(nn')+(m'n)(\ell\ell') \,=\,(k\ell')(nn')+(mn')(\ell\ell') \\ \qquad\Longleftrightarrow\qquad (k'n')(\ell n)+(\ell'm')(\ell n) \,=\,(\ell'n')(kn)+(\ell'n')(\ell m) \\ \qquad\Longleftrightarrow\qquad (k'n'+\ell'm')(\ell n) \,=\,(\ell'n')(kn+\ell m) \\ \qquad\Longleftrightarrow\qquad (k'n'+\ell'm',\ell'n')\sim_{\mathbb Q}(kn+\ell m,\ell n) \end{array} \] und damit auch \[ [(kn+\ell m,\ell n)]_{\mathbb Q}=[(k'n'+\ell'm',\ell'n')]_{\mathbb Q}\, \] womit die Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten gezeigt ist.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.3.3 - Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind I
| (i) | \( \displaystyle x=9 \) | (ii) | \( \displaystyle x=\frac{27}{2} \) |
Lösung zur Aufgabe 2.3.4 - Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind II
| (i) | \( \displaystyle x=\frac{1386}{97} \) | (ii) | \( \displaystyle x=\frac{160}{7} \) |
Lösung zur Aufgabe 2.3.5 - Eine weitere Aufgabe mit vollständiger Induktion
Zu zeigen ist die Richtigkeit von \[ \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
| (i) | Induktionsanfang: Die Aussage gilt für \( n=1, \) denn |
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| (ii) | Induktionsschluss: Die Aussage gelte für ein \( n\in\mathbb N. \) Dann ist |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}\negthickspace & = & \displaystyle\negthickspace \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \,=\,2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \\ & = & \displaystyle\negthickspace 2-\frac{2(n+2)-(n+1)}{2^{n+1}} \,=\,2-\frac{n+3}{2^{n+1}}\,. \end{array} \] Die Behauptung ist vermittels vollständiger Induktion bewiesen.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.3.6 - Auflösen expliziter Summenausdrücke
Wir ermitteln \[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} \\ \qquad\displaystyle =\,\frac{2-1}{1\cdot 2}+\frac{3-2}{2\cdot 3}+\frac{4-3}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{n-(n-1)}{(n-1)\cdot n} \\ \qquad\displaystyle =\,\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{2}{2\cdot 3}+\frac{4}{3\cdot 4}-\frac{3}{3\cdot 4} +\ldots+\frac{n}{(n-1)\cdot n}-\frac{n-1}{(n-1)\cdot n} \\ \qquad\displaystyle =\,1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \\ \qquad\displaystyle =\,1-\frac{1}{n}\,. \end{array} \] Im Fall \( n\to\infty \) konvergiert \( S_n \) gegen den Wert \( 1.\qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.3.7 - Die Fakultät als untere und obere Grenze
Wir betrachten zunächst die Fälle (Induktionsanfang)
| \( \circ \) | \( n=1:\quad \) dann erfüllt \( k=1 \) die Forderung |
| \( \circ \) | \( n=2:\quad \) dann erfüllt \( k=2 \) die Forderung |
Zu \( n\in\mathbb N \) sei nun ein \( k\in\mathbb N \) mit \( k!\le n\le(k+1)! \) gegeben. Es gibt zwei Fälle (Induktionsschluss)
| \( \circ \) | es ist \( (k+1)!\ge n+1, \) dann erfüllt dieses \( k \) die Forderung, denn |
\[ k!\le n\le n+1\le(k+1)! \]
| \( \circ \) | es ist \( (k+1)!\lt n+1, \) dann ist wegen der Voraussetzung \( n\le(k+1)! \) |
\[ (k+1)!\lt n+1\le(k+1)!+1\le 2(k+1)!+k(k+1)!=(2+k)(k+1)!=(k+2)! \]
| und \( k':=k+1 \) erfüllt die Forderung, denn |
\[ k'!\le n+1\le(k'+1)! \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Mächtigkeit von Mengen
Lösung zur Aufgabe 2.3.8 - Galileis Paradoxon
Betrachte das folgende Schema:
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Man überlegt sich nun, dass dieses Schema eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der Quadratzahlen veranschaulicht. Also sind beide Mengen gleichmächtig.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.3.9 - Satz von Cantor über die Mächtigkeit der Potenzmenge
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
| (1) | Seien \( M \) und \( {\mathcal P}(M) \) gleichmächtig, d.h. es existiert eine Bijektion \( f\colon M\to{\mathcal P}(M). \) Es ist |
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| Die Bildmenge \( {\mathcal P}(M) \) lässt sich also in folgende disjunkte Teilmengen aufspalten | |
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| Jedes Element in \( {\mathcal P}(M) \) ist entweder in \( B_1 \) oder in \( B_2 \) enthalten. | |
| (2) | Betrachte nun die Menge |
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| Da \( f \) bijektiv und \( N\subseteq{\mathcal P}(M), \) existiert ein \( \mu\in M \) mit | |
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| (3) | Beide letztgenannten Alternativen führen aber zu einem Widerspruch: |
\[ \begin{array}{l} \mbox{ist}\ \mu\in N,\ \mbox{so}\ \mu\not\in f(\mu)\ \mbox{nach Definition von}\ N, \ \mbox{also}\ \mu\not\in N,\ \mbox{da}\ f(\mu)=N, \\ \mbox{ist}\ \mu\not\in N,\ \mbox{so}\ \mu\in f(\mu)\ \mbox{nach Definition von}\ N, \ \mbox{also}\ \mu\in N,\ \mbox{da}\ f(\mu)=N. \end{array} \] Es existiert also keine Bijektion \( f\colon M\to{\mathcal P}(M).\qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 2.3.10 - Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen
Es handelt sich zunächst um abzählbar unendlich viele Mengen, d.h. es existiert eine Abzählung der Mengen \[ M_1\,,\quad M_2\,,\quad M_3 \quad\mbox{usw.} \] Jede dieser Mengen selbst besitzt abzählbar unendlich viele Elementen, d.h. jede dieser Menge kann in der Form dargestellt werden \[ M_k=\{m_{k1},m_{k2},m_{k3},\ldots\}\,. \] Die Elemente \( m_{k\ell} \) stellen wir nun in einem quadratischen Schema dar und wenden darauf das erste Cantorsche Diagonalverfahren an:
| \( m_{11} \) | \( \to \) | \( m_{12} \) | \( m_{13} \) | \( \to \) | \( m_{14} \) | \( m_{15} \) | \( \cdots \) | |||
| \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | ||||||||
| \( m_{21} \) | \( m_{22} \) | \( m_{23} \) | \( m_{24} \) | \( m_{25} \) | \( \cdots \) | |||||
| \( \downarrow \) | \( \nearrow \) | |||||||||
| \( m_{31} \) | \( m_{32} \) | \( m_{33} \) | \( m_{34} \) | \( m_{35} \) | \( \cdots \) |
Die Pfeile geben eine mögliche Abzählung an.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Abzählbarkeit der rationalen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 2.3.11 - Abzählbarkeit der nicht negativen rationalen Zahlen
Auch hier gehen wir wie im Vorlesungsmanuskript vor:
| \( 0 \) | \( \to \) | \( \displaystyle\frac{1}{1} \) | \( \to \) | \( \displaystyle\frac{2}{1} \) | \( \displaystyle\frac{3}{1} \) | \( \to \) | \( \displaystyle\frac{4}{1} \) | \( \displaystyle\frac{5}{1} \) | \( \cdots \) | |||
| \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | ||||||||||
| \( \displaystyle\frac{1}{2} \) | \( \displaystyle\frac{2}{2} \) | \( \displaystyle\frac{3}{2} \) | \( \displaystyle\frac{4}{2} \) | \( \displaystyle\frac{5}{2} \) | \( \cdots \) | |||||||
| \( \downarrow \) | \( \nearrow \) | |||||||||||
| \( \displaystyle\frac{1}{3} \) | \( \displaystyle\frac{2}{3} \) | \( \displaystyle\frac{3}{3} \) | \( \displaystyle\frac{4}{3} \) | \( \displaystyle\frac{5}{3} \) | \( \cdots \) |