2. Elementary types of numbers

2.1 Natural numbers

2.2 Integers

2.3 Rational numbers

2.4 Introduction into the theory of fields

Einleitung

Im zweiten Kapitel unserer Vorlesung lernen wir die elementaren Zahlenbereiche kennen, d.h. die natürli-chen, die ganzen und die rationalen Zahlen.

Dritte Vorlesungseinheit: Die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen führen wir vermittels eines Axiomensystems ein. Dieser Zahlenbereich wird nicht also definiert, sondern durch die Axiome charakterisiert. Der Isomorphiesatz von Dedekind sichert die Eindeutigkeit des Systems, falls es denn existiert. Achten Sie insbesondere darauf, dass Addition und Mul-tiplikation nicht explizit im Axiomensystem aufgenommen werden, sondern ihre Existenz und Eindeu-tigkeit ein mathematischer Satz ist. Schließlich ist das Induktionsaxiom für uns von zentraler Bedeutung, denn aus ihm gewinnen wir das wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Außerdem fügen wir die wichtigsten Rechenregeln für natürliche Zahlen an.

Vierte Vorlesungseinheit: Die ganzen Zahlen

Mit Hilfe der natürlichen Zahlen konstruieren dann wir vermittels einer speziellen Äquivalenzklassenkon-struktion den Bereich der ganzen Zahlen. Die Begriffe "Äquivalenzrelation" und "Äquivalenzklasse" stehen hier für unsere Betrachtungen im Zentrum. Wir definieren eine Addition und eine Multiplikation zwischen Elementen solcher Klassen, und unsere Konstruktion erlaubt nun eine Subtraktion zwischen Zahlen. Schließlich erläutern wir, wie sich die natürlichen Zahlen im Bereich der ganzen Zahlen einbetten.

Fünfte/Sechste Vorlesungseinheit: Die rationalen Zahlen

Einen ähnlichen Weg wählen wir zur Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Eine geeignete Äquivalenzklassenkonstruktion ermöglicht nun auch eine Division. Neu hinzu kommen nun aber zahlentheoretische Untersuchungen zur Mächtigkeit, womit wir an Kapitel anschließen: Wir werden durch ein auf G. Cantor zurückgehendes Schema aufzeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig ist zur Menge der natürlichen Zahlen.

Sechste/Siebte Vorlesungseinheit: Einführung in die Körpertheorie

Das Kapitel beschließen wir mit allgemeinen Betrachtungen zu mathematischen Körpern, worin sich die Menge der rationalen Zahlen unterordnet. Wir stellen insbesondere Regeln für den Umgang mit Ungleich-heitsrelationen zusammen und lernen den wichtigen Begriff des Archimedisch angeordneten Körpers ken-nen - beachten Sie bitte hier das angeführte Beispiel. Der abschließende Paragraph zum Absolutbetrag wird eine zentrale Rolle in der gesamten Mathematik spielen.

2.1 Natural numbers

2.1.1 Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen

Nach G. Peano und R. Dedekind lassen sich die natürlichen Zahlen \( \mathbb N_0 \) (mit der Zahl \( 0 \)) wie folgt rein axiomatisch einführen.

Axiom PA 1: Die Zahl \( 0 \) ist eine natürliche Zahl, d.h. \( 0\in\mathbb N_0. \)

Axiom PA 2: Jede natürliche Zahl \( n\in\mathbb N_0 \) besitzt genau einen Nachfolger \( n'\in\mathbb N_0, \) d.h. \[ \forall\,n,m\in\mathbb N_0\,(n=m\longrightarrow n'=m'). \]

Axiom PA 3: Die Zahl \( 0 \) ist nicht Nachfolger irgend einer natürlichen Zahl, d.h. \[ \forall\,n\in\mathbb N_0\,(n'\not=0). \]

Axiom PA 4: Natürliche Zahlen mit gleichen Nachfolgern sind selbst gleich, d.h. \[ \forall\,n,m\in\mathbb N_0\,(n'=m'\longrightarrow n=m). \]

Axiom PA 5: Enthält eine Teilmenge \( M \) von \( \mathbb N_0 \) die Zahl \( 0 \) und mit jeder natürlichen Zahl auch deren Nachfolger, so ist \( M=\mathbb N_0, \) d.h. \[ \forall\,M\subseteq\mathbb N_0\,[0\in M\wedge(n\in M\to n'\in M)\longrightarrow M=\mathbb N_0]. \]

Eine Menge \( M, \) welche die Zahl \( 0 \) und mit jedem \( m\in M \) auch ihren Nachfolger \( m'\in M \) enthält, heißt eine induktive Menge. Das Axiom PA 5 bezeichnet man auch als Induktionsaxiom.

Eine Menge, die durch diese fünf Axiome definiert ist, ist nach dem Dedekindschen Isomorphiesatz sogar eindeutig bestimmt im folgenden Sinn: Zwei durch diese Axiome definierte Mengen sind isomorph, d.h. „bedeutungsgleich“ durch eine Abbildung ineinander überführbar.

Im Folgenden benutzen wir natürlich die bekannten Schreibweisen \[ 1:=0'\,,\quad 2:=1'=0''\,,\quad 3:=2'=1''=0''' \quad\mbox{usw.} \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.1.2 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen

Die Addition und die Multiplikation zwischen natürlichen Zahlen werden aus den Peano-Dedekindschen Axiomen gewonnen. Für die folgenden Aussagen sowie deren Beweise, die wir in unserer Vorlesung auslassen (siehe aber nachstehende Aufgaben), verweisen wir auf E. Landaus Lehrbuch Grundlagen der Analysis, Kapitel 1.

Definition und Satz: Auf genau eine Art lässt sich zwei natürlichen Zahlen \( m,n\in\mathbb N_0 \) eine natürliche Zahl \( m+n\in\mathbb N_0 \) zuordnen, so dass gelten

Es heißt \( m+n \) die Summe von \( m \) und \( n. \)

Definition und Satz: Auf genau eine Art lässt sich zwei natürlichen Zahlen \( m,n\in\mathbb N_0 \) eine natürliche Zahl \( m\cdot n\in\mathbb N_0 \) zuordnen, so dass gelten

Es heißt \( m\cdot n \) das Produkt von \( m \) und \( n. \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.1.3 Das Prinzip der vollständigen Induktion

Das Axiom PA 5 hat das wichtige Beweisverfahren der vollständigen Induktion zur Folge.

Satz: Für jedes \( n\in\mathbb N_0 \) sei eine Aussage \( A_n \) derart gegeben, dass gelten:

Dann gilt \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N_0. \)

Beweis: Definiere die Menge \[ M:=\{n\in\mathbb N_0\,:\,A_n\ \mbox{ist richtig}\}\subseteq\mathbb N_0\,. \] Diese Menge ist nichtleer, da \( 0\in M \) nach (i) gilt. Ist ferner \( m\in M, \) d.h. ist \( A_m \) richtig, dann ist auch \( A_{m+1} \) richtig nach (ii), und \( M \) ist induktiv. Nach PA 5 folgt \( M=\mathbb N_0. \) \(\quad\Box \)

Die Voraussetzungen (i) und (ii) des Satzes bezeichnen wir als Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss.

Andere Bezeichnungen: (i) heißt auch Induktionsanfang (Aussage gilt für \( n=0\, \)), (ii) fasst die Induktionsvoraussetzung (Aussage gilt für ein \( n \) ) und den Induktionsschluss (dann gilt die Aussage auch für \( n+1, \) denn ...) zusammen.

Die Induktionsvoraussetzung (i) kann auch für eine Aussage \( A_k \) mit irgend einem \( k\in\mathbb N \) formuliert sein, und zu beweisen ist dann die Richtigkeit aller \( A_n \) mit \( n\ge k, \) wie in folgendem Beispiel:

Beispiel: Es ist zu zeigen, dass für alle \( n\in\mathbb N:=\mathbb N_0\setminus\{0\} \) folgende Gaußsche Summenformel gilt \[ A_n\,:\ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2} \tag{\(*\)} \] unter Verwendung des Summenzeichens \[ \sum_{k=1}^n\alpha_k:=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\ldots+\alpha_{n-1}+\alpha_n\,,\quad n\in\mathbb N. \] Zum Beweis verwenden wir das Prinzip der vollständigen Induktion.

\[ \sum_{k=1}^1k=1 \quad\mbox{und}\quad \frac{n(n+1)}{2}\,\Big|_{n=1}=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1. \]

\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1}k\negthickspace & = & \displaystyle\negthickspace \sum_{k=1}^mk+(m+1) \,=\,\frac{m(m+1)}{2}+(m+1) \\ & = & \displaystyle\negthickspace \frac{m(m+1)+2(m+1)}{2} \,=\,\frac{(m+1)(m+2)}{2}\,, \end{array} \]

und dass ist die Aussage \( A_{m+1}. \) Aus der Richtigkeit von \( A_m \) folgt also die Richtigkeit von \( A_{m+1}, \) und nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N \) richtig.\( \qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.1.4 Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

Die nachstehenden Rechenregeln sind fundamental für alle weiteren Betrachtungen.

Satz: Die folgenden Aussagen sind richtig:

Beweis: Wir zeigen zur Veranschaulichung nur (A2). Zu festen \( k,m\in\mathbb N_0 \) betrachte dazu \[ M:=\{n\in\mathbb N_0\,:\,k+(m+n)=(k+m)+n\}\,. \]

\[ k+(m+0)=k+m=(k+m)+0. \]

\[ (k+m)+n'=[(k+m)+n]'=[k+(m+n)]'=k+(m+n)'=k+(m+n'), \]

Nach dem Induktionsaxiom PA 5 folgt \( M=\mathbb N_0.\qquad\Box \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.1.5 Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

Definition: Wir schreiben

Ohne Beweis erwähnen wir noch das folgende Monotoniegesetz \[ m\le n\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad m+k\le n+k\quad\mbox{für alle}\ k\in\mathbb N_0\,. \]

Wir schreiben schließlich \( n\ge m \) bzw. \( n\gt m, \) falls \( m\le n \) bzw. \( m\lt n. \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.1.6 Aufgaben

Aufgaben - Peano-Dedekind-Axiomatik der natürlichen Zahlen

Aufgabe 2.1.1: (Umkehrung von Axiom PA 2)

Beweisen Sie, dass aus \( m\not=n \) stets folgt \( m'\not=n'. \)

Aufgaben - Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen

Aufgabe 2.1.2: (Eindeutigkeit der Addition)

Beweisen Sie die Eindeutigkeit der in Definition und Satz gegebenen Operation \( +\colon\mathbb N_0\times\mathbb N_0\to\mathbb N_0 \) der Addition.

Aufgabe 2.1.3: (Existenz der Addition)

Beweisen Sie die Existenz der in Definition und Satz gegebenen Operation \( +\colon\mathbb N_0\times\mathbb N_0\to\mathbb N_0 \) der Addition.

Aufgaben - Das Prinzip der vollständigen Induktion

Aufgabe 2.1.4: (Gaußsche Summenformel anschaulich)

Beweisen Sie die explizite Darstellungsformel \[ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\,,\quad n\in\mathbb N, \] auf irgend eine anschauliche Art und Weise, also insbesondere ohne vollständige Induktion.

Aufgabe 2.1.5: (Binomische Formeln)

Ermitteln Sie jeweils die explizite Form von \[ (a+b)^k\quad\mbox{für}\ k=1,2,3,4,5. \]

Aufgabe 2.1.6\(^*\): (Summe der ersten \( n \) Quadrate)

Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ S_2(n):=\sum_{k=1}^nk^2\,,\quad n\in\mathbb N. \] Vorgehensweise: Berechnen Sie zunächst \( (k+1)^3-k^3 \) für \( k=1,2,\ldots,n, \) und ermitteln Sie dann durch geschicktes Summieren \( (n+1)^3-1=3\cdot(1^2+2^2+\ldots+n^2)+3\cdot(1+2+\ldots+n)+n. \)

Aufgabe 2.1.7\(^*\): (Summe der ersten Quadratzahlen induktiv)

Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion die Richtigkeit von \[ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]

Aufgabe 2.1.8\(^*\): (Teilbarkeiten)

Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion:

Aufgaben - Das Rechnen mit natürlichen Zahlen

Aufgabe 2.1.9: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 5, DDR)

Ersetzen Sie die fehlenden Ziffern:

Aufgabe 2.1.10: (1. Schulolympiade 1961/62, Klassenstufe 6, DDR)

Kann die Summe von vier beliebigen, aber aufeinanderfolgenden, positiven, natürlichen Zahlen eine Primzahl sein? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgaben - Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen

Aufgabe 2.1.11: (6. Kreisolympiade 1966, Klassenstufe 5, DDR)

Gesucht ist die Menge aller natürlichen Zahlen \( n, \) die folgende Bedingungen genügen:

2.1.7 Wiederholungsfragen

2.2 Integers

2.2.1 Definition der ganzen Zahlen

Unser Ziel ist die Einführung einer Subtraktion neben der bisher bekannten Addition und Multiplikation. Dazu werden wir den Bereich der natürlichen Zahlen erweitern zu dem Bereich der ganzen Zahlen.

Innerhalb dieses neuen Bereiches wird gelten \[ m_1-n_1=m_2-n_2\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad m_1+n_2=m_2+n_1\,. \] Die zweite Identität kann aber vollständig im Rahmen der natürlichen Zahlen formuliert werden, was wir uns jetzt zu Nutze machen.

Definition: Es seien \( (m_1,n_1),(m_2,n_2)\in\mathbb N_0\times\mathbb N_0. \) Wir setzen \[ (m_1,n_1)\sim_{\mathbb Z}(m_2,n_2)\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad m_1+n_2=n_1+m_2\,. \]

Beispiel: Es ist \( (5,2)\sim_{\mathbb Z}(11,8). \)

Bei \( \sim_{\mathbb Z} \) handelt es sich um eine sogenannte zweistellige Relation auf der Menge \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0. \)

Bemerkung: Unter einer zweistelligen Relation \( {\mathcal R} \) auf einer Menge \( A \) versteht man eine Teilmenge \( {\mathcal R}\subseteq A\times A. \) Gilt \( (a,b)\in{\mathcal R}, \) so stehen \( a \) und \( b \) in Relation \( {\mathcal R}. \) Statt \( (a,b)\in{\mathcal R} \) schreiben wir \( a\sim b. \)

Uns interessieren im Folgenden spezielle - und ohne es zu betonen: stets zweistellige - Relationen.

Definition: Eine Relation \( \sim \) auf einer Menge \( A \) heißt eine Äquivalenzrelation, \( A, \) falls sie

Achten Sie auf die unterschiedlichen Voraussetzungen in diesen Punkten.

Satz: Die Relation \( \sim_{\mathbb Z} \) ist eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0. \)

Vermöge der Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Z} \) wird die Menge \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) in disjunkte Äquivalenzklassen eingeteilt \[ [(m,n)]_{\mathbb Z}:=\{(k,\ell)\in\mathbb N_0\times\mathbb N_0\,:\,(m,n)\sim_{\mathbb Z}(k,\ell)\}\,. \]

Beispiel: Es ist \( (5,2)\sim_{\mathbb Z}(11,8), \) d.h. es gelten \[ (5,2)\in[(5,2)]_{\mathbb Z}\,,\quad (11,8)\in[(5,2)]_{\mathbb Z}\,, \] aber auch \[ (5,2)\in[(11,8)]_{\mathbb Z}\,,\quad (11,8)\in[(11,8)]_{\mathbb Z}\,. \] Wir können beispielsweise \( (5,2) \) als Repräsentanten der Äquivalenzklasse \( [(5,2)]_{\mathbb Z} \) wählen, d.h. als ein Element, welches die Klasse repräsentiert, denn jedes andere Element der Klasse ist (nicht gleich, aber) äquivalent zum Repräsentanten. Und daher ist auch \( (11,8) \) ein Repräsentant dieser Klasse usw.

Definition: Als die Menge \( \mathbb Z \) der ganzen Zahlen erklären wir \[ \mathbb Z:=\{[(m,n)]_{\mathbb Z}\,:\,(m,n)\in\mathbb N_0\times\mathbb N_0\}\,. \] Die Elemente von \( \mathbb Z \) heißen ganze Zahlen.

Ganze Zahlen sind für uns also Menge äquivalenter Zahlenpaare unter der Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Z}. \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.2.2 Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

Unter Verwendung der Operationen \( + \) und \( \cdot \) zwischen natürlichen Zahlen können wir nun die grundlegenden Rechenoperationen zwischen ganzen Zahlen erklären. Ganze Zahlen hatten wir im vorigen Abschnitt als Äquivalenzklassen und damit als Mengen eingeführt.

Definition: Die Addition \( + \) und die Multiplikation \( \cdot \) in \( \mathbb Z \) sind erklärt vermöge \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z}:=[(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z} \] sowie \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z}:=[(k\cdot m+\ell\cdot n,k\cdot n+\ell\cdot m)]_{\mathbb Z}\,. \]

Diese Definition ist so zu lesen:

Rechtsseitig werden also zunächst die bekannten Operationen auf die Komponenten ausgewählter Repräsentanten angewendet, um dann zu Klassen überzugehen.

Wir unterscheiden die verschiedenen Bedeutungen von \( + \) und \( \cdot \) links und rechts symbolisch nicht. In den Übungen werden wir uns außerdem davon überzeugen, dass unsere Definitionen nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängen - in diesem Sinn sind die neuen Objekte wohldefiniert.

Beispiele: Wir ermitteln \[ \begin{array}{l} [(2,1)]_{\mathbb Z}+[(3,1)]_{\mathbb Z}=[(5,2)]_{\mathbb Z}=[(3,0)]_{\mathbb Z}\,, \\ [(2,1)]_{\mathbb Z}\cdot[(3,1)]_{\mathbb Z}=[(7,5)]_{\mathbb Z}=[(2,0)]_{\mathbb Z}\,. \end{array} \]

Satz: Die Addition und die Multiplikation in \( \mathbb Z \) sind kommutativ und assoziativ, und sie genügen dem Distributivgesetz. Ferner gelten die Kürzungsregeln der Addition und Multiplikation.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.2.3 Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

Um mit natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen auf einer „gemeinsamen arithmetischen Ebene“ arbeiten zu können, interpretieren wir die natürlichen Zahlen und die dort bewiesenen arithmetischen Operationen um. Genauer schreiben wir unter der Annahme \( n\gt 0 \)

und bezeichnen nichtnegative ganze Zahlen forthin als natürliche Zahlen. Beachten Sie aber, dass es sich um eine „Uminterpretation“ handelt. In diesem Sinn bilden sie dann auch eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen: \[ \mathbb N\subset\mathbb N_0\subset\mathbb Z. \]

Insbesondere ist \( [(n,0)]_{\mathbb Z} \) das zu \( [(0,n)]_{\mathbb Z} \) additive Inverse, d.h. es gilt \[ [(0,n)]_{\mathbb Z}+[(n,0)]_{\mathbb Z} =[(n,n)]_{\mathbb Z} =[(0,0)]_{\mathbb Z} \] oder kurz: \( -n+n=0 \) mit dem neutralen Element der Addition \( [(0,0)]_{\mathbb Z} \) bzw. \( 0. \)

Beispiele: Wir schreiben \[ 1\ \mbox{für}\ [(3,2)]_{\mathbb Z}=[(1,0)]_{\mathbb Z}\,,\quad -1\ \mbox{für}\ [(2,3)]_{\mathbb Z}=[(0,1)]_{\mathbb Z}\,,\quad 0\ \mbox{für}\ [(2,2)]_{\mathbb Z}=[(0,0)]_{\mathbb Z}\,. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.2.4 Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

Definition: Für \( a,b\in\mathbb Z \) schreiben wir

Wir schreiben \( b\ge a \) bzw. \( b\gt a, \) falls \( a\le b \) bzw. \( a\lt b. \)

Die ganze Zahl \( -a, \) d.h. die zur ganzen Zahl \( a\in\mathbb Z \) additive Inverse, ist die eindeutig bestimmte Lösung \( x\in\mathbb Z \) der Gleichung \[ a+x=0. \] Innerhalb der natürlichen Zahlen ist diese Gleichung i.A. nicht lösbar.

Die Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen geht in die Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen ein. Jedoch besitzt in \( \mathbb Z \) jede ganze Zahl einen Vorgänger und einen Nachfolger.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.2.5 Aufgaben

Aufgaben - Definition der ganzen Zahlen

Aufgabe 2.2.1: (Ganze Zahlen und Äquivalenzklassen)

Geben Sie drei verschiedene Elemente der folgenden Äquivalenzklassen an:

Aufgabe 2.2.2\( ^* \): (Äquivalenzrelation der ganzen Zahlen)

Beweisen Sie, dass \( \sim_{\mathbb Z} \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) darstellt.

Aufgabe 2.2.3: (Eine Äquivalenzrelationen auf endlichen Mengen)

Es sei \( X \) die Menge aller endlichen Teilmengen \( M \) einer unendlichen Obermenge \( N, \) und es bezeichne \( |M| \) die Anzahl der Elemente einer Menge \( M\in X. \) Betrachten Sie auf \( X \) die Relation \[ M_1\sim M_2\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad |M_1|=|M_2|. \] Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf \( X \) darstellt.

Aufgabe 2.2.4\( ^* \): (Äquivalenzrelationen und disjunkte Äquivalenzklassen)

Es seien \( M \) eine nichtleere Menge und \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf \( M\times M. \) Ferner bezeichne \[ K_a:=\{x\in M\,:\,x\sim a\} \] die zu \( a\in M \) gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass dann für alle \( a,b\in M \) gilt \[ a\sim b\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad K_a=K_b. \]

Aufgaben - Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

Aufgabe 2.2.5: (Wohldefiniertheit der Addition in \( \mathbb Z \))

Beweisen Sie, dass die durch \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z}:=[(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z} \] definierte Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist, d.h. mit \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) gilt insbesondere \[ [(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z}=[(k'+m',\ell'+n')]_{\mathbb Z}\,. \]

Aufgabe 2.2.6: (Wohldefiniertheit der Multiplikation in \( \mathbb Z \))

Beweisen Sie, dass die durch \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z}:=[(km+\ell n,kn+\ell m)]_{\mathbb Z} \] definierte Multiplikation ganzer Zahlen wohldefiniert ist, d.h. genauer, dass mit \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) gilt \[ [(km+\ell n,kn+\ell m)]_{\mathbb Z}=[(k'm'+\ell'n',k'n'+\ell'm')]_{\mathbb Z}\,. \]

Aufgaben - Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen

Aufgabe 2.2.7: (Umschreiben von ganzen Zahlen)

Um welche positiven bzw. negativen natürlichen Zahlen handelt es sich?

Aufgabe 2.2.8: (Ausführbarkeit der Subtraktion in \( \mathbb Z \))

Beweisen Sie, dass die Gleichung \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+x=[(m,n)]_{\mathbb Z} \] die folgende eindeutig bestimmte und ganzzahlige Lösung besitzt \[ x=[(m+\ell,k+n)]_{\mathbb Z}\,. \]

Aufgabe 2.2.9: (5. Spezialistenlager Junger Mathematiker 1966, Aufgabe W(9)94)

Es ist zu beweisen, dass die Gleichung \[ x^3+px+q=0 \] keine ganzzahligen Lösungen besitzt, wenn \( p \) und \( q \) ungerade Zahlen sind.

Aufgabe 2.2.10: (5. Spezialistenlager Junger Mathematiker 1966, Aufgabe W(10)94)

Bei welchen Werten des Koeffizienten \( p \) hat die Gleichung \[ x^2-px+36=0 \] Lösungen \( x_1, \) \( x_2, \) die die Bedingung \( x_1^2+x_2^2=153 \) erfüllen?

Aufgaben - Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen

Aufgabe 2.2.11: (nach Monoid 137, Aufgabe 1235)

Jeder ganzen Zahl \( n\in\mathbb N \) denken wir uns auf irgend eine Art und Weise genau eine der beiden Farben rot oder blau zugeordnet. Beweisen Sie, dass dann drei ganze Zahlen \( n_1,n_2,n_3\in\mathbb N \) gleicher Farbe existieren mit den Eigenschaften \[ 1\le n_1\lt n_2\lt n_3\quad\mbox{und}\quad n_3-n_2=n_2-n_1. \]

2.2.6 Wiederholungsfragen

2.3 Rational numbers

2.3.1 Definition der rationalen Zahlen

Unser nächstes Ziel ist die Einführung einer Division. Dazu beginnen wir auch hier mit

Definition: Es seien \( (m_1,n_1),(m_2,n_2)\in\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}). \) Wir setzen \[ (m_1,n_1)\sim_{\mathbb Q}(m_2,n_2)\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad m_1\cdot n_2=m_2\cdot n_1\,. \]

Beispiel: Es ist \( (5,2)\sim_{\mathbb Q}(15,6). \)

Satz: Die Relation \( \sim_{\mathbb Q} \) ist eine Äquivalenzrelation.

Vermöge \( \sim_{\mathbb Q} \) wird \( \mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}) \) in disjunkte Äquivalenzklassen eingeteilt \[ [(m,n)]_{\mathbb Q}:=\{(k,\ell)\in\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\})\,:\,(m,n)\sim_{\mathbb Q}(k,\ell)\}\,. \]

Definition: Als die Menge \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen erklären wir \[ \mathbb Q:=\{[(m,n)]_{\mathbb Q}\,:\,(m,n)\in\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\})\}\,. \] Die Elemente von \( \mathbb Q \) heißen rationale Zahlen.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.3.2 Addition und Multiplikation rationaler Zahlen

Wir greifen auf die bekannten Operationen zwischen ganzen Zahlen zurück.

Definition: Die Addition \( + \) und die Multiplikation \( \cdot \) in \( \mathbb Q \) sind definiert vermöge \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(k\cdot n+\ell\cdot m,\ell\cdot n)]_{\mathbb Q} \] sowie \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(k\cdot m,\ell\cdot n)]_{\mathbb Q}\,. \]

Im Fall \( m\not=0 \) existiert zur rationalen Zahl \( [(m,n)]_{\mathbb Q} \) eine eindeutige multiplikative Inverse \[ [(m,n)]_{\mathbb Q}^{-1}:=[(n,m)]_{\mathbb Q} \] mit der Eigenschaft \[ [(m,n)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Q}^{-1}=[(1,1)]_{\mathbb Q}\,. \] Die Zahl \( [(1,1)]_{\mathbb Q} \) heißt das neutrale Element der Multiplikation.

Addition und Multiplikation sind wohdefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.

Satz: Die Addition und die Multiplikation in \( \mathbb Z \) sind kommutativ und assoziativ, und sie genügen dem Distributivgesetz. Ferner gelten die Kürzungsregeln der Addition und Multiplikation.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.3.3 Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen

Wir identifizieren

Desweiteren benutzen wir fortan die übliche Schreibweise \[ \frac{m}{n}:=[(m,n)]_{\mathbb Q}\,,\quad m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb Z\setminus\{0\}\,. \]

Das begründet das Überführen gleicher Brüche ineinander durch Kürzungsregeln.

Die Rechenregeln aus dem vorigen Abschnitt schreiben wir noch einmal in Bruchschreibweise:

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.3.4 Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen

Sei \( p=[(m,n)]_{\mathbb Q} \) mit \( n\gt 0. \) Dann heißt

Definition: Für \( p,q\in\mathbb Q \) schreiben wir

Entsprechend sind \( \ge \) und \( \gt \) erklärt.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.3.5 Mächtigkeit von Mengen

Wir schließen nun an unsere Untersuchungen aus dem ersten Kapitel an.

Definition: Eine nichtleere Menge \( M \) heißt

\[ f\colon M\longrightarrow\{1,\ldots,n\} \]

\[ f\colon M\longrightarrow\mathbb N \]

Bemerkung: Der leeren Menge \( \emptyset \) ordnen wir die Mächtigkeit \( |\emptyset|:=0 \) zu.

Im ersten Fall voriger Definition einer abzählbar endlichen Mengen \( M \) schreiben wir \[ |M|=n\lt\infty \] für deren Mächtigkeit, im zweiten Fall \( |M|=\infty \) bzw. genauer \[ |M|=\aleph_0 \] mit der „kleinsten unendlichen Zahl“ \( \aleph_0 \) - der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen.

Beispiel: Die Menge \( \mathbb N \) der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich. Die notwendige Bijektion wird vermittelt durch die identische Abbildung \[ f(n)=n,\quad n\in\mathbb N. \]

Schließlich wiederholen wir: Zwei Mengen \( A \) und \( B \) heißen gleichmächtig, wenn eine Bijektion \( f\colon A\to B \) existiert.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.3.6 Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

Ein zentrales Ergebnis der Theorie der elementaren Zahlenbereiche ist der

Satz: Die Menge \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Beweis: Wir betrachten das folgende, auf G. Cantor zurückgehende Schema:

Die Pfeile kennzeichnen eine mögliche Abzählung, beginnend bei der rationalen Zahl \( 0. \) Auf Grund der Kürzungsregel mehrfach auftretende Brüche werden vor erneutem Durchlauf aus dem Schema gestrichen bzw. übersprungen.\( \qquad\Box \)

Das im Beweis verwendete Schema heißt erstes Cantorsches Diagonalverfahren. Für unsere Zwecke genügt dieser schematische Beweis des Satzes ohne explizite Angabe einer Bijektion. Für mehr Details studieren Sie bitte den Wikipedia-Artikel zur Cantorschen Paarungsfunktion.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.3.7 Aufgaben

Aufgaben - Definition der rationalen Zahlen

Aufgabe 2.3.1: (Äquivalenzrelation der rationalen Zahlen)

Beweisen Sie, dass \( \sim_{\mathbb Q} \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\} ) \) darstellt.

Aufgaben - Addition und Multiplikation rationaler Zahlen

Aufgabe 2.3.2: (Wohldefiniertheit der Addition in \( Q \) )

Beweisen Sie, dass die Addition rationaler Zahlen \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,n)]_{\mathbb Q}=[(k\cdot n+\ell\cdot m,\ell\cdot n)]_{\mathbb Q} \] unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.

Aufgaben - Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen

Aufgabe 2.3.3: (Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind I)

In den Aufgaben 28 und 29 des Papyrus Rhind ist jeweils - hier in moderner Notation - die Unbekannte \( x \) gesucht:

Bestimmen Sie \( x. \)

Aufgabe 2.3.4: (Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind II)

In den Aufgaben 30 und 34 des Papyrus Rhind ist jeweils - hier in moderner Notation - die Unbekannt \( x \) gesucht. Im Vergleich zur vorigen Aufgabe beachte man den erhöhten Schwierigkeitsgrad.

Bestimmen Sie \( x. \)

Aufgabe 2.3.5: (Eine weitere Aufgabe mit vollständiger Induktion)

Es sei \( n\in\mathbb N \) eine natürliche Zahl. Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n}\,. \]

Aufgabe 2.3.6\(^*\): (Aufstellen expliziter Summenausdrücke)

Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für die Summe \[ S_n:=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}\quad\mbox{mit}\quad n\in\mathbb N,\ n\ge 2. \] Gegen welchen Wert konvergiert \( S_n \) im Grenzfall \( n\to\infty? \)

Aufgaben - Ordnungsstruktur der rationalen Zahlen

Aufgabe 2.3.7\(^*\): (Die Fakultät als untere und obere Grenze)

Die Fakultät \( n! \) einer natürlichen Zahl \( n\in\mathbb N_0 \) ist definiert als \[ 0!:=1,\quad n!:=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n\ \mbox{für}\ n\ge 1. \] Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl \( n\in\mathbb N \) ein \( k\in\mathbb N \) existiert mit \[ k!\le n\le(k+1)! \]

Aufgaben - Mächtigkeit von Mengen

Aufgabe 2.3.8: (Galileis Paradoxon)

Einerseits gibt es weniger Quadratzahlen, d.h. Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in\mathbb N, \) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich sind, aber z.B. die Zahl \( 3 \) keine Quadratzahl ist. Andererseits, so argumentierte Galileo Galilei, gibt es „genauso viele“ Quadratzahlen wie natürliche Zahlen. Wie könnte er argumentiert haben? Gibt es einen Widerspruch?

Aufgabe 2.3.9: (Satz von Cantor über die Mächtigkeit der Potenzmenge)

Es sei \( M \) eine beliebige Menge. Beweisen Sie, dass dann die Potenzmenge \( {\mathcal P}(M) \) stets mächtiger als \( M \) ist, d.h. es existiert eine Bijektion von \( M \) auf eine echte Teilmenge von \( {\mathcal P}(M), \) aber keine Bijektion von \( M \) auf \( {\mathcal P}(M) \) selbst.

Aufgabe 2.3.10\(^*\): (Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen)

Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ebenfalls abzählbar unendlich ist.

Aufgaben - Abzählbarkeit der rationalen Zahlen

Aufgabe 2.3.11: (Abzählbarkeit der nicht negativen rationalen Zahlen)

Beweisen Sie durch ein geeignetes Schema die Abzählbarkeit der Menge der nicht negativen rationalen Zahlen.

2.3.8 Wiederholungsfragen

2.4 Introduction into the theory of fields

2.4.1 Definition eines Körpers

Die Menge \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen ist ein Beispiel eines mathematischen Körper, wie in der allgemeinen

Definition: Eine Menge \( \mathbb K \) heißt ein Körper, falls zu jedem \( x,y\in\mathbb K \)

derart erklärt sind, dass folgende Körperaxiome erfüllt sind:

Satz: Die neutralen Elemente \( 0, \) \( 1 \) sowie die inversen Elemente bez. der Addition und der Multiplikation sind eindeutig.

Satz: Die rationalen Zahlen \( \mathbb Q \) mit den für diese Menge speziell definierten Operationen \( + \) und \( \cdot \) bilden einen Körper.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.4.2 Rechnen in Körpern

Der folgende Satz fasst grundlegende Rechentechniken in Körpern zusammen, die unter Verwendung der Definition eines Körpers bewiesen werden können (siehe untenstehende Übungsaufgaben). Der Körper \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen ordnet sich hier als Spezialfall unter.

Satz: Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Dann sind folgende Aussagen richtig:

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.4.3 Angeordnete Körper

Definition: Ein Körper \( \mathbb K \) heißt angeordnet, falls mit zwei zweistelligen Relationen \( = \) und \( \gt \) folgende Anordnungsaxiome erfüllt sind:

\[ x=0,\quad x\gt 0\quad\mbox{oder}\quad -x\gt 0. \]

\[ x+y\gt 0 \quad\mbox{und}\quad x\cdot y\gt 0. \]

Die Forderung \( (A1) \) bezeichnet man auch als Trichotomie.

Im Speziellen gilt auch hier

Satz: Der Körper \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen ist angeordnet.

Wir fassen schließlich wichtige Regeln für die Verwendung der Relation \( \gt \) zusammen:

Satz: Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper.

\[ \mbox{falls}\quad z\gt y\quad\mbox{und}\quad y\gt x,\quad\mbox{dann}\quad z\gt x. \]

\[ \mbox{falls}\quad y\gt x,\quad\mbox{dann}\quad y+z\gt x+z. \]

\[ \mbox{falls}\quad y\gt x,\quad\mbox{dann}\quad y\cdot z\gt x\cdot z. \]

\[ \mbox{falls}\quad y\gt x,\quad\mbox{dann}\quad -x\gt -y. \]

\[ \mbox{falls}\quad y\gt x\gt 0,\quad\mbox{dann}\quad\frac{1}{x}\gt\frac{1}{y}\gt 0.\]

Der Ausdruck \( x\lt y \) ist als \( y\gt x \) zu verstehen. Ein Element \( x\in\mathbb K \) bezeichnen wir als positiv, falls \( x\gt 0 \) richtig ist, und als negativ, falls \( x\lt 0. \)

Satz: Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper.

\[ x\cdot y\gt 0,\quad\mbox{dann}\ x,y\gt 0\ \mbox{oder}\ x,y\lt 0. \]

\[ x\cdot y\lt 0,\quad\mbox{dann}\ x\lt 0,\ y\gt 0\ \mbox{oder}\ x\gt 0,\ y\lt 0. \]

Schließlich schreiben wir \[ x\ge y,\quad\mbox{falls}\ x\gt y\ \mbox{oder}\ x=y. \] Entsprechend verstehen wir \( x\le y. \)

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.4.4 Das Archimedische Axiom

Definition: Ein angeordneter Körper \( \mathbb K \) heißt archimedisch angeordnet, falls folgendes Archimedische Axiom gilt:

\[ y\lt n\cdot x. \]

Satz: Der Körper \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen ist archimedisch angeordnet.

Beispiel: Ist \( x=1, \) \( y=\frac{1}{\varepsilon} \) mit positivem, aber „beliebig kleinem“ \( \varepsilon\gt 0, \) so existiert ein \( n\in\mathbb N \) mit \[ \frac{1}{n}\lt\varepsilon. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.4.5 Der Absolutbetrag

Die folgende Funktion ist für die gesamte Mathematik von zentraler Bedeutung:

Definition: Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Dann heißt \[ |x| :=\left\{ \begin{array}{cl} x, & \mbox{falls}\ x\gt 0 \\ 0, & \mbox{falls}\ x=0 \\ -x, & \mbox{falls}\ x\lt 0 \end{array} \right. \] der Absolutbetrag von \( x\in\mathbb K. \)

Satz: Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Dann sind folgende Aussagen richtig.

\[ |x|\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb K. \]

\[ |x|\le a\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad -a\le x\le a. \]

\[ |x\cdot y|=|x|\cdot|y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]

\[ |x+y|\le|x|+|y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]

\[ |x-y|\ge\big||x|-|y|\big|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]

\[ \left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb K\setminus\{0\}. \] Desweiteren ist die Aussage richtig:

\[ x^2=(-x)^2=|x|^2\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb K. \]

Aufgaben zu diesem Abschnitt

2.4.7 Aufgaben

Aufgaben - Definition eines Körpers

Aufgabe 2.4.1: (Neutrales Element der Addition)

Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie, dass das neutrale Element \( 0 \) der Addition eindeutig ist.

Aufgaben - Rechnen in Körpern

Aufgabe 2.4.2: (Folgerungen aus den Körperaxiomen)

Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie unter Verwendung der Körperaxiome:

Aufgaben - Angeordnete Körper

Aufgabe 2.4.3\(^*\): (Erste Form der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie die Ungleichung \[ 2xy\le x^2+y^2\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]

Aufgabe 2.4.4: (Eine weitere Ungleichung)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y\in\mathbb K \) mit \( x,y\ge 0 \) und \( x+y\lt 1 \) richtig ist \[ (1+x)(1+y)\le\frac{1}{1-(x+y)}\,. \]

Aufgaben - Das Archimedische Axiom

Aufgabe 2.4.5: (Folgerung aus dem Archimedischen Axiom I)

Beweisen Sie, dass für jedes \( p\in\mathbb Q \) ein \( n\in\mathbb N \) existiert mit \( n\gt p. \)

Aufgabe 2.4.6\(^*\): (Folgerung aus dem Archimedischen Axiom II)

Für zwei rationale Zahlen \( p,q\in\mathbb Q \) gelte \[ p\le q+\frac{1}{n}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \( p\le q. \)

Aufgaben - Der Absolutbetrag

Aufgabe 2.4.7: (Eigenschaften der Betragsfunktion)

Es seien \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper und \( a\in\mathbb K \) mit \( a\gt 0. \) Beweisen Sie \[ |x|\le a\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad -a\le x\le a. \]

Aufgabe 2.4.8\(^*\): (Dreiecksungleichung)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie die Dreiecksungleichung \[ |x+y|\le|x|+|y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \] Interpretieren Sie diese Ungleichung geometrisch.

Aufgabe 2.4.9: (Inverse Dreiecksungleichung)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie die inverse Dreiecksungleichung \[ |x-y|\ge\big||x|-|y|\big|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]

Aufgabe 2.4.10: (Produkt beschränkter Zahlentripel)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Ferner seien \( a,b,c,x,y,z\in\mathbb K \) mit \[ a^2+b^2+c^2\le 1,\quad x^2+y^2+z^2\le 1. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ |ax+by+cz|\le 1. \]

Aufgabe 2.4.11: (Summen und Produkte)

Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie: Ist \( n\ge 2 \) eine natürliche Zahl, und sind \( x_i\in\mathbb K \) mit \( |x_i|\lt 1 \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt \[ \sum_{i=1}^nx_i^2\ge n\prod_{i=1}^nx_i \] mit dem Produktzeichen \( \prod_{i=1}^nx_i=x_1\cdot\ldots\cdot x_n. \)

2.1.8 Wiederholungsfragen