Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 4:
Komplexe Zahlen - Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
Lösungen zu den Aufgaben Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im Komplexen
Lösung zur Aufgabe 4.2.1 - Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im \( \mathbb R^2 \)
Unter Beachtung von \[ 0\le(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \quad\mbox{bzw.}\quad 2xy\le x^2+y^2\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R \] schätzen wir wie folgt ab \[ \begin{array}{lll} (u_1v_1+u_2v_2)^2\negthickspace & = & \negthickspace u_1^2v_1^2+2u_1u_2v_1v_2+u_2^2v_2^2 \,\le\,u_1^2v_1^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2+u_2^2v_2^2 \\ & = & \negthickspace (u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2). \end{array} \] Das ist die gewünschte Ungleichung.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 4.2.2 - Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im \( \mathbb R^n \)
Die Behauptung ist für \( n=1 \) und \( n=2 \) wahr (Induktionsanfang). Es gelte nun für ein \( n\in\mathbb N \) \[ \left(\sum_{i=1}^nu_iv_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^nu_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nv_i^2\right). \] Damit folgt \[ \left(\sum_{i=1}^{n+1}u_iv_i\right)^2 =\left(\sum_{i=1}^nu_iv_i+u_{n+1}v_{n+1}\right)^2 \le\left(\sqrt{\sum_{i=1}^nu_i^2}\,\sqrt{\sum_{i=1}^nv_i^2}+u_{n+1}v_{n+1}\right)^2\,. \] Hierauf wenden wir den Fall \( n=2 \) an, genauer \[ (x_1y_1+x_2y_2)^2\le(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2) \] mit den speziellen Setzungen \[ x_1=\sqrt{\sum_{i=1}^nu_i^2}\,,\quad x_2=u_{n+1}\,,\quad y_1=\sqrt{\sum_{i=1}^nv_i^2}\,,\quad y_2=v_{n+1}\,, \] und erhalten \[ \left(\sum_{i=1}^{n+1}u_iv_i\right)^2 \le\left(\sum_{i=1}^nu_i^2+u_{n+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^nv_i^2+v_{n+1}^2\right) =\left(\sum_{i=1}^{n+1}u_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n+1}v_i^2\right). \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 4.2.3 - Die Ungleichung von Engel
| (i) | Wir schätzen wie folgt ab |
\[ 2abxy=2(ay)(bx)\le a^2y^2+b^2x^2 \]
| bzw. |
\[ xy(a^2+2ab+b^2)\le a^2xy+b^2xy+a^2y^2+b^2x^2=a^2y(x+y)+b^2x(x+y) \]
| und somit nach Umstellen |
\[ \frac{xy}{x+y}\,(a^2+2ab+b^2) =\frac{xy}{x+y}\,(a+b)^2 \le a^2y+b^2x\,. \]
| Es folgt die behauptete Ungleichung |
\[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{(a+b)^2}{x+y}\,. \]
| (ii) | Mit \( u:=a+b \) und \( v:=x+y \) erhalten wir aus (i) |
\[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \ge\frac{(a+b)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z} =\frac{u^2}{v}+\frac{c^2}{z} \ge\frac{(u+c)^2}{v+z} =\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\,. \]
| Das zeigt die Zwischenbehauptung (ii). | |
| (iii) | Die Behauptung ist für \( n=1,2,3 \) nach (i), (ii) richtig (Induktionsvoraussetzung). Sie gelte nun für ein |
| \( n\in\mathbb N. \) Setze |
\[ u:=a_1+\ldots+a_n\,,\quad v:=x_1+\ldots+x_n\,. \]
| Es folgt |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{a_1^2}{x_1}+\ldots\frac{a_n^2}{x_n}+\frac{a_{n+1}^2}{x_{n+1}} & \ge & \negthickspace\displaystyle \frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{x_1+\ldots+x_n}+\frac{a_{n+1}^2}{x_{n+1}} \ge\frac{u^2}{v}+\frac{a_{n+1}^2}{x_{n+1}} \\[3ex] & \ge & \negthickspace\displaystyle \frac{(u+a_{n+1})^2}{v+x_{n+1}} =\frac{(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1})^2}{x_1+\ldots+x_n+x_{n+1}}\,. \end{array} \]
| Das zeigt (iii). |
Damit sind alle Behauptungen gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 4.2.4 - Ungleichung von Engel und Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Wir wenden die Ungleichung von Engel an und erhalten \[ \begin{array}{lll} \displaystyle a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{(a_1b_1)^2}{b_1^2}+\frac{(a_2b_2)^2}{b_2^2}+\ldots+\frac{(a_nb_n)^2}{b_n^2} \\ & \ge & \negthickspace\displaystyle \frac{(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2}{b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2} \end{array} \] bzw. nach Umstellen \[ a_1b_1+\ldots+a_nb_n\le(a_1^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+\ldots+b_n^2). \] Das ist die gesuchte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 4.2.5 - Anwendungen der Ungleichung von Engel
| (i) | Mit Hilfe der Ungleichung von Engel ist nämlich |
\[ \frac{a_1}{b_1}+\ldots+\frac{a_n}{b_n} =\frac{a_1^2}{a_1b_1}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_nb_n} \ge\frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{a_1b_1+\ldots+a_nb_n}\,. \]
| Das zeigt (i). | |
| (ii) | Auch hier ist mit Hilfe der Ungleichung von Engel |
\[ \frac{a_1}{b_1^2}+\ldots+\frac{a_n}{b_n^2} =\frac{\frac{a_1}{b_1}}{b_1}+\ldots+\frac{\frac{a_n}{b_n}}{b_n} \ge\frac{1}{b_1+\ldots+b_n}\left(\frac{a_1}{b_1}+\ldots+\frac{a_n}{b_n}\right)^2\,. \]
| Das zeigt (ii). |
Damit sind alle Behauptungen gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 4.2.6 - Aus der Asian Pacific Mathematical Olympiad 1991
Mit Hilfe der Ungleichung von Engel schätzen wir wie folgt ab \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\negthickspace & \ge & \negthickspace\displaystyle \frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{a_1+b_1+\ldots+a_n+b_n} =\frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{2(a_1+\ldots+a_n)} \\ & = & \displaystyle \frac{a_1+\ldots+a_n}{2}\,. \end{array} \] Das zeigt die Behauptung.\( \qquad\Box \)