Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 3:
Reelle Zahlen - Rationale und nichtrationale Zahlen
Lösungen zu den Aufgaben Existenz nichtrationaler Zahlen
Lösung zur Aufgabe 3.1.1 - \( \sqrt{3} \) ist nicht rational
Angenommen, es existiert eine rationale Zahl \( x=\frac{p}{q} \) mit teilerfremden Zahlen \( p,q\in\mathbb N\setminus\{0\}, \) so dass \( x^2=3. \) Es folgt \[ 3=x^2=\frac{p^2}{q^2} \quad\mbox{bzw.}\quad p^2=3q^2\,. \] Also ist \( p^2 \) durch \( 3 \) teilbar, damit auch \( p. \) Wir können nämlich \( p=3k+r \) mit geeigneten \( k\in\mathbb N \) und \( r\in\{0,1,2\} \) schreiben, was bedeutet \[ \begin{array}{lcl} r=0, & \quad\mbox{dann} & \quad p^2=9k^2\,, \\ r=1, & \quad\mbox{dann} & \quad p^2=9k^2+6k+1, \\ r=2, & \quad\mbox{dann} & \quad p^2=9k^2+12k+4. \end{array} \] Es ist also \( p^2 \) nur dann durch \( 3 \) teilbar, wenn \( r=0 \) erfüllt ist. Mit einem geeigneten \( a\in\mathbb N \) gilt also \( p=3a \) und daher \[ 9a^2=p^2=3q^2\quad\mbox{bzw.}\quad q^2=3a^2\, \] Also ist \( q^2 \) durch \( 3 \) teilbar, damit auch \( q, \) d.h. \( p \) und \( q \) sind nicht teilerfremd im Widerspruch zur Voraussetzung. Ein \( x\in\mathbb Q \) mit \( x^2=3 \) existiert somit nicht.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 3.1.2 - \( \sqrt{2}+\sqrt{6} \) ist nicht rational
Angenommen, \( \sqrt{2}+\sqrt{6} \) ist rational. Dann ist auch rational \[ \big(\sqrt{2}+\sqrt{6}\big)^2=2+2\,\sqrt{2}\,\sqrt{6}+6=8+2\,\sqrt{2}\,\sqrt{6}\,, \] und damit sind auch rational \( 2\,\sqrt{2}\,\sqrt{6} \) sowie \( \sqrt{2}\,\sqrt{6}, \) und wegen \( \sqrt{6}=\sqrt{2}\,\sqrt{3} \) sind auch rational \( \sqrt{2}\,\sqrt{2}\,\sqrt{3}=2\,\sqrt{3} \) bzw. \( \sqrt{3}. \) Das ist ein Widerspruch zu Aufgabe 3.1.1. Es folgt die Behauptung.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 3.1.3 - Dedekinds Verallgemeinerung
Wäre \( \sqrt{k}\gt 0\) rational, so gibt es eine kleinste Zahl \( n\in\mathbb N, \) so dass das Produkt \( n\sqrt{k}\gt 0 \) ganzzahlig ist. Bezeichnen wir mit \( [a] \) die größte ganze Zahl kleiner oder gleich \( a, \) so genügt die nach Voraussetzung an \( k \) (denn \( k \) ist keine Quadratzahl) positive Zahl \[ m:=\big(\sqrt{k}-\big[\sqrt{k}\big]\big)n \] der Ungleichung \( 0\lt m\lt n, \) und daher ist auch \[ m\sqrt{k}=\big(\sqrt{k}-\big[\sqrt{k}\big]\big)\sqrt{k}\,n=kn-\big[\sqrt{k}\big]\sqrt{k}\,n \] positiv und ganzzahlig im Widerspruch zur Wahl von \( n. \) Also ist \( \sqrt{k} \) nicht rational.\( \qquad\Box \)
(nach R. Dedekind, 1861)
Lösungen zu den Aufgaben Erster Schritt: Wahl einer approximierenden Zahlenfolge
Lösung zur Aufgabe 3.1.4 - Beispiele von Dezimalentwicklungen
| (i) | Es ist \( \sqrt{2}=1.41421\ldots, \) also |
\[ \sqrt{2}=1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{1}{10^5}+\ldots \]
| sowie |
\[ x_0=1,\quad x_1=1.4,\quad x_2=1.41,\quad x_3=1.414,\quad x_4=1.4142,\quad x_5=1.41421. \]
| (ii) | Es ist \( e=2.71828\ldots, \) also |
\[ e=2+\frac{7}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{8}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{8}{10^5}+\ldots \]
| sowie |
\[ x_0=2,\quad x_1=2.7,\quad x_2=2.71,\quad x_3=2.718,\quad x_4=2.7182,\quad x_5=2.71828. \]
| (iii) | Es ist \( \pi=3.14159\ldots, \) also |
\[ \pi=3+\frac{1}{10}+\frac{4}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{5}{10^4}+\frac{9}{10^5}+\ldots \]
| sowie |
\[ x_0=3,\quad x_1=3.1,\quad x_2=3.14,\quad x_3=3.141,\quad x_4=3.1415,\quad x_5=3.14159. \]
Lösungen zu den Aufgaben Zweiter Schritt: Die geometrische Summenformel
Lösung zur Aufgabe 3.1.5 - Geometrische Reihen I
Die gesamte Figur baut sich im Wesentlichen nach dem Strahlensatz auf. Insbesondere gilt nach der als Hinweis bemerkten Ähnlichkeit \[ \frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots \]
Lösung zur Aufgabe 3.1.6 - Geometrische Reihen II
| (i) | Im Einheitsintervall \( [0,1] \) werden folgende Teilintervalle markiert: |
\[ \begin{array}{lll} \mbox{das Teilintervall} & \displaystyle\left[0,\frac{1}{2}\right] & \mbox{der Länge}\ \displaystyle\frac{1}{2} \\ \mbox{das Teilintervall} & \displaystyle\left[\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right] & \mbox{der Länge}\ \displaystyle\frac{1}{4} \\ \mbox{das Teilintervall} & \displaystyle\left[\frac{3}{4},\frac{7}{8}\right] & \mbox{der Länge}\ \displaystyle\frac{1}{8}\quad\mbox{usw.} \end{array} \]
| Zusammengesetzt ergeben sie das gesamte Ausgangsintervall \( [0,1], \) d.h. es gilt |
\[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots=1. \]
| Das verifiziert die geometrische Summenformel |
\[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}-1=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2-1=1. \]
| (ii) | Die Skizze setzt sich zusammen aus |
\[ \begin{array}{l} \mbox{3 Quadraten der Seitenlänge 0.5, eines davon grau markiert} \\ \mbox{3 Quadraten der Seitenlänge 0.25, eines davon grau markiert} \\ \mbox{3 Quadraten der Seitenlänge 0.125, eines davon grau markiert}\quad\mbox{usw.} \end{array} \]
| Die markierten Flächen umfassen also \( \frac{1}{3} \) des Inhalts des ursprünglichen Einheitsquadrates. Tatsächlich gilt |
\[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4^k} =\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{4^k}−1 =\frac{1}{1−\frac{1}{4}}-1 =\frac{4}{3}−1 =\frac{1}{3}\,. \]
Lösung zur Aufgabe 3.1.7 - Die Cantorsche Mittel-Drittel-Menge
Wir ermitteln für die Längen \( \ell(C_k) \) der Mengen \( C_k, \) \( k=0,1,2,\ldots, \)
| \( \circ \) | \( \displaystyle\ell(C_0)=1=\frac{2^0}{3^0} \) |
| \( \circ \) | \( \displaystyle\ell(C_1)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{2^1}{3^1} \) |
| \( \circ \) | \( \displaystyle\ell(C_2)=\frac{2}{3}-\frac{2}{9}=\frac{4}{9}=\frac{2^2}{3^2} \) |
| \( \circ \) | \( \displaystyle\ell(C_3)=\frac{4}{9}-\frac{4}{27}=\frac{8}{27}=\frac{2^3}{3^3} \) |
bzw. allgemein \[ \ell(C_k)=\frac{2^k}{3^k}\quad\mbox{mit}\quad\lim_{k\to\infty}\ell(C_k)=0. \] Also ist \( \ell(C)=0.\qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 3.1.8 - Die Kochsche Schneeflocke
Es bezeichne \( K_n \) die Figur zum \( n \)-ten Iterationsschritt, d.h. \( K_1 \) ist das im Bild linke Dreieck, \( K_2 \) die mittlere Figur im Bild usw.
| \( \circ \) | Es ist \( K_n \) aufgebaut aus \( 3\cdot 4^{n-1} \) Segmenten der Länge \( \frac{1}{3^{n-1}}, \) d.h. |
\[ \ell(K_n)=3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \]
| bedeutet den Umfang von \( K_n. \) Der Umfang der Kochschen Schneeflocke ist demnach |
\[ \lim_{n\to\infty}\ell(K_n)=\lim_{n\to\infty}3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}=\infty\,. \]
| \( \circ \) | Die Inhalte der Figuren \( K_n \) ermitteln wir zu |
\[ \begin{array}{lll} A(K_1)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\,, \\ A(K_2)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}+3\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\,, \\ A(K_3)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}+3\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(\frac{1}{9}\right)^2 \end{array} \]
| usw. Allgemein erhalten wir also |
\[ A(K_n)=\frac{\sqrt{3}}{4}+3\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\frac{4^k}{3^{2(n+1)}} =\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{4}{9}\right)^k\,, \]
| so dass sich im Grenzfall \( n\to\infty \) mit dem binomischen Lehrsatz ergibt |
\[ \lim_{n\to\infty}A(K_n) =\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{1}{1-\frac{4}{9}} =\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{9}{5} =\frac{2\,\sqrt{3}}{5}\,. \]
Lösungen zu den Aufgaben Definition reeller Zahlen
Lösung zur Aufgabe 3.1.9 - Die Äquivalenzrelation der reellen Zahlen
Wir verifizieren die drei charakterisierenden Eigenschaften einer äquivalenzrelation.
| \( \circ \) | Reflexivität: Sei \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) eine rationale Cauchyfolge. Dann ist zu \( \varepsilon\gt 0 \) beliebig |
\[ |x_n-x_n|=0\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n=0,1,2,\ldots \]
| Also folgt \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) | |
| \( \circ \) | Symmetrie: Sei \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) rationale Cauchyfolgen mit |
\[ \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \]
| d.h. zu vorgelegtem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |x_n-y_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]
| Dann ist aber auch |
\[ |y_n-x_n|=|x_n-y_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon), \]
| und es folgt \( \{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) | |
| \( \circ \) | Transitivität: Seien \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}, \) \( \{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) und \( \{z_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) rationale Cauchyfolgen mit |
\[ \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \quad\mbox{und}\quad \{y_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{z_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \]
| d.h. zu \( \varepsilon\gt 0 \) existieren \( N_1(\varepsilon),N_2(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ \begin{array}{l} |x_n-y_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N_1(\varepsilon), \\ |y_n-z_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N_2(\varepsilon). \end{array} \]
| Wir wählen |
\[ N(\varepsilon) :=\max\{N_1(\varepsilon),N_2(\varepsilon)\} :=\left\{\begin{array}{ll} N_1(\varepsilon), & \mbox{falls}\ N_1(\varepsilon)\ge N_2(\varepsilon) \\ N_2(\varepsilon) & \mbox{sonst} \end{array}\right. \]
| als den größeren der beiden Zahlen \( N_1(\varepsilon) \) und \( N_2(\varepsilon) \) und erhalten |
\[ |x_n-y_n|,|y_n-z_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]
| Wir wenden nun die Dreiecksungleichung an |
\[ |x_n-z_n| =|x_n-y_n+y_n-z_n| \le|x_n-y_n|+|y_n-z_n| \lt 2\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]
| Also folgt \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{z_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) |
Damit ist gezeigt, dass es sich bei \( \sim_{\mathbb R} \) um eine Äquivalenzrelation handelt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 3.1.10 - Beispiele rationaler Cauchyfolgen
| (i) | Wegen |
\[ |x_m-x_n|=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\le\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \]
| existiert nach dem Archimedischen Axiom zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) so dass |
\[ |x_m-x_n|\le\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \]
| Also stellt die vorgelegte Folge eine rationale Cauchyfolge dar. | |
| (ii) | Diese Folge stellt keine rationale Cauchyfolge dar. Wählen wir nämlich \( \varepsilon=\frac{1}{2}, \) so ist |
\[ |x_m-x_n|=|m-n|\lt\varepsilon=\frac{1}{2} \]
| nur im Fall \( m=n \) erfüllt. | |
| (iii) | Wegen |
\[ |x_m-x_n| =\left|\frac{m}{1+m^2}-\frac{n}{1+n^2}\right| \le\frac{m}{1+m^2}+\frac{n}{1+n^2} \le\frac{m}{m^2}+\frac{n}{n^2} =\frac{1}{m}+\frac{1}{m} \]
| existiert wie in Aufgabenteil (i) zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |x_m-x_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \]
| Also stellt die vorgelegte Folge eine rationale Cauchyfolge dar. | |
| (iv) | Zunächst ist |
\[ x_n=\frac{n}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{n^3}{1+n^2}\,. \]
| Wir zeigen, dass die vorgelegte Folge keine Cauchyfolge ist. Angenommen, sie wäre eine Cauchyfolge. Zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert dann ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) so dass |
\[ |x_m-x_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \]
| Insbesondere existiert zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |x_{2n}-x_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]
| Nun schätzen wir aber für alle \( n=1,2,\ldots \) wie folgt ab |
\[ \begin{array}{lll} |x_{2n}-x_n| & = & \displaystyle \left|\frac{8n^3}{1+4n^2}-\frac{n^3}{1+n^2}\right| =\frac{7n^3+4n^5}{(1+n^2)(1+4n^2)} \ge\frac{4n^5}{(1+4n^2)^2} \\ & = & \displaystyle \frac{4n^5}{1+8n^2+16n^4} \ge\frac{4n^5}{16n^4+16n^4+16n^4} =\frac{4}{48}\cdot\frac{n^5}{n^4} =\frac{4}{48}\cdot n \ge\frac{4}{48}\,. \end{array} \]
| Wählen wir also \( \varepsilon\lt\frac{4}{48}, \) so existiert kein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \( |x_{2n}-x_n|\lt\varepsilon \) für alle \( n\ge N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) d.h. die vorgelegte Folge ist keine Cauchyfolge. |
Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 3.1.11 - Beispiel einer rekursiven rationalen Cauchyfolge
| (i) | Wir ermitteln |
\[ x_1=1,\quad x_2=\frac{1}{2}\,,\quad x_3=\frac{2}{3}\,,\quad x_4=\frac{3}{5}\,,\quad x_5=\frac{5}{8}\,. \]
| (ii) | Es ist \( x_1=1. \) Außerdem ist \( x_n\ge 0 \) für alle \( n=1,2,\ldots \) Daher ist |
\[ x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}\le\frac{1}{1}=1,\quad n=1,2,3,\ldots\,, \]
| und damit schätzen wir ab |
\[ x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}\ge\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\,,\quad n=1,2,3,\ldots \]
| (iii) | Zunächst ist |
\[ \begin{array}{lll} |x_{n+1}-x_n|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left|\frac{1}{1+x_n}-\frac{1}{1+x_{n+1}}\right| \,=\,\left|\frac{(1+x_{n-1})-(1+x_n)}{(1+x_n)(1+x_{n-1})}\right| \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{|x_n-x_{n-1}|}{(1+x_n)(1+x_{n-1})} \,\le\,\frac{|x_n-x_{n-1}|}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)} \,=\,\frac{4}{9}\cdot|x_n-x_{n-1}|. \end{array} \]
| Damit erhalten wir |
\[ |x_{n+1}-x_n|\le\left(\frac{4}{9}\right)^2|x_{n-1}-x_{n-2}|\le\left(\frac{4}{9}\right)^3|x_{n-2}-x_{n-3}|\le\ldots\le\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|x_2-x_1|. \]
| (iv) | Zunächst wenden wir die Dreiecksungleichung an |
\[ \begin{array}{lll} |x_{n+k}-x_n|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle |x_{n+k}-x_{n+k-1}+x_{n+k-1}-x_{n+k-2}+\ldots-x_{n+1}+x_{n+1}-x_n| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle |x_{n+k}-x_{n+k-1}|+|x_{n+k-1}-x_{n+k-2}|+\ldots+|x_{n+1}-x_n|. \end{array} \]
| Beweispunkt (iii) und die geometrische Summenformel liefern dann |
\[ \begin{array}{lll} |x_{n+k}-x_n|\negthickspace & \le & \negthickspace\displaystyle \left\{\left(\frac{4}{9}\right)^{n+k-2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{n+k-3}+\ldots+\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right\}|x_2-x_1| \\ & = & \negthickspace\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\left\{\left(\frac{4}{9}\right)^{k-1}+\left(\frac{4}{9}\right)^{k-2}+\ldots+1\right\}|x_2-x_1| \\ & = & \negthickspace\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\sum_{\ell=0}^{k-1}\left(\frac{4}{9}\right)^\ell|x_2-x_1| \,=\,\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\cdot\frac{1-\left(\frac{4}{9}\right)^k}{1-\frac{4}{9}}\cdot|x_2-x_1| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{1-\frac{4}{9}}\cdot|x_2-x_1| \,=\,\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\cdot\frac{9}{5}\cdot|x_2-x_1| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle 2\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|x_2-x_1|. \end{array} \]
| (v) | Wir setzen |
\[ C:=2\left(\frac{4}{9}\right)^{-1}|x_2-x_1|=\frac{9}{2}\,|x_2-x_1| \]
| und erhalten |
\[ |x_{n+k}-x_n|\le C\left(\frac{4}{9}\right)^n\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ n\to\infty\,. \]
| Zu vorgelegtem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert also ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) so dass mit \( m:=n+k \) |
\[ |x_m-x_n|\le\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \]
| Also ist \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine rationale Cauchyfolge. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen
Lösung zur Aufgabe 3.1.12 - Rationale Zahlen als reelle Zahlen
| (i) | \( \{1,1,1,\ldots\} \) bzw. \( \{x_n\}_{0,1,2,\ldots} \) mit \( x_n=1 \) für alle \( n=0,1,2,\ldots \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\ldots\right\} \) bzw. \( \{x_n\}_{0,1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{1}{3} \) für alle \( n=0,1,2,\ldots \) |