Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 6:
Stetige Funktionen - Der Raum der stetigen Funktionen
Lösungen zu den Aufgaben Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen
Lösung zur Aufgabe 6.2.1 - Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen
Im Folgenden seien \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt und \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D\setminus\{x_0\} \) eine reelle Zahlenfolge mit \( x_n\to x_0 \) für \( n\to\infty. \) Wir benutzen die aus Paragraph 3.4.2 bekannten Rechenregeln für Grenzwerte reeller Zahlenfolgen.
| (i) | Wir ermitteln |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}h(x_n)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{n\to\infty}\big\{f(x_n)+g(x_n)\} \,=\,\lim_{n\to\infty}f(x_n)+\lim_{n\to\infty}g(x_n) \\ & = & \negthickspace\displaystyle f(x_0)+g(x_0) \,=\,h(x_0), \end{array} \]
| d.h. \( h(x) \) ist in \( x_0\in D \) stetig. | |
| (ii) | Wir ermitteln |
\[ \lim_{n\to\infty}h(x_n) =\lim_{n\to\infty}\lambda g(x_n) =\lambda\cdot\lim_{n\to\infty}g(x_n) =\lambda g(x_0) =h(x_0), \]
| d.h. \( h(x) \) ist in \( x_0\in D \) stetig. | |
| (iii) | Wir ermitteln |
\[ \lim_{n\to\infty}h(x_n) =\lim_{n\to\infty}f(x_n)g(x_n) =\lim_{n\to\infty}f(x_n)\cdot\lim_{n\to\infty}g(x_n) =f(x_0)g(x_0) =h(x_0), \]
| d.h. \( h(x) \) ist in \( x_0\in D \) stetig. | |
| (iv) | Wir ermitteln |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}h(x_n) & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)} \,=\,\lim_{n\to\infty}f(x_n)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{g(x_n)} \\ & = & \negthickspace\displaystyle f(x_0)\frac{1}{g(x_0)} \,=\,\frac{f(x_0)}{g(x_0)} \,=\,h(x_0), \end{array} \]
| d.h. \( h(x) \) ist in \( x_0\in D \) stetig. |
Damit sind alle Behauptungen bewiesen.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 6.2.2 - Regularisieren nichtstetiger Funktionen
| (i) | Ein Beispiel zweier solcher, in \( x_0=0 \) nicht stetigen Funktionen ist |
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} -1, & x\le 0 \\ 1, & x\gt 0 \end{array}\right.,\quad g(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & x\le 0 \\ -1, & x\gt 0 \end{array}\right. \]
| mit einer in ganz \( \mathbb R \) stetigen Summe |
\[ f(x)+g(x)=0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
| (ii) | Ein Beispiel zweier solcher, in \( x_0=0 \) nicht stetigen Funktionen ist |
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 1, & x=0 \end{array}\right.,\quad g(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0, & x=0 \end{array}\right. \]
| mit einem in ganz \( \mathbb R \) stetigen Produkt |
\[ f(x)\cdot g(x)=0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
Lösungen zu den Aufgaben Der Vektorraum der stetigen Funktionen
Lösung zur Aufgabe 6.2.3 - Die stetigen Funktionen bilden einen Vektorraum
Wir benutzen bei den folgenden Rechnungen die Resultate aus Aufgabe 6.2.2. Die Vektoraddition ist die Addition zwischen Funktion, definiert durch \[ (f+g)(x):=f(x)+g(x),\quad f,g\in C^0(D,\mathbb R), \] und die Skalarmultiplikation ist die Multiplikation mit reellen Zahlen, definiert durch \[ (\lambda f)(x):=\lambda f(x),\quad\lambda\in\mathbb R,\ f\in C^0(D,\mathbb R). \] Kommutativgesetz \( f+g=g+f \) und Assoziativgesetz \( (f+g)+h=f+(g+h) \) folgen direkt aus den entsprechenden Regeln in \( \mathbb R, \) und ferner bilden \( f=0 \) das neutrale Element und \( -f \) das zu \( f \) inverse Element. Genauso sieht man ein \[ \lambda(f+g)=\lambda f+\lambda g,\quad \lambda\in\mathbb R,\ f,g\in C^0(D,\mathbb R), \] sowie \[ (\lambda+\mu)f=\lambda f+\mu f,\quad (\lambda\mu)f=\lambda(\mu f),\quad \lambda,\mu\in\mathbb R,\ f\in C^0(D,\mathbb R). \] Schließlich gilt \( 1\cdot f=f \) mit dem Einselement \( 1\in\mathbb R. \) Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Offene, abgeschlossene und kompakte Menge
Lösung zur Aufgabe 6.2.4 - Offen, abgeschlossen oder kompakt I
| (i) | \( \Omega=[0,1] \) ist kompakt, d.h. abgeschlossen und beschränkt |
| (ii) | \( \Omega=(0,1] \) ist beschränkt, aber weder abgeschlossen noch kompakt |
| (iii) | \( \Omega=(0,1) \) ist beschränkt, aber weder abgeschlossen noch kompakt |
Lösung zur Aufgabe 6.2.5 - Offen, abgeschlossen oder kompakt II
| (i) | \( \Omega=\mathbb N \) ist abgeschlossen, aber weder offen noch beschränkt, also auch nicht kompakt |
| (ii) | \( \Omega=\mathbb Q \) ist weder offen noch abgeschlossen, nicht beschränkt, also auch nicht kompakt |
| (iii) | \( \Omega=\mathbb R \) ist sowohl offen als auch abgeschlossen, aber nicht beschränkt, also auch nicht kompakt |
Lösung zur Aufgabe 6.2.6 - Offene Bälle sind offen
Sei \( x_0\in B_\varepsilon(x) \) beliebig gewählt. Da \( B_\varepsilon(x)\subseteq B_\varepsilon(x), \) nehmen wir dabei \( x_0\not=x \) an. Setze \[ \nu:=\min\{|x-x_0|,|x+\varepsilon-x_0|\}\,. \] Dann gilt \[ B_\frac{\nu}{2}(x_0)\subset B_\varepsilon(x), \] d.h. \( x_0 \) ist ein innerer Punkt von \( B_\varepsilon(x). \) Da \( x_0\in B_\varepsilon(x) \) beliebig war, folgt die Behauptung.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Stetigkeit der Umkehrfunktion
Lösung zur Aufgabe 6.2.7 - Stetige Funktionen und ihre Umkehrung
| (ii) | Seien \( x,y\in[0,1] \) mit \( x\lt y. \) Dann haben wir |
\[ \begin{array}{lcl} x\lt y & \Longleftrightarrow & x+xy\lt y+xy \\ & \Longleftrightarrow & x(1+y)\lt y(1+x) \\ & \Longleftrightarrow & \displaystyle\frac{x}{1+x}\lt\frac{y}{1+y} \end{array} \]
| Also ist \( f \) streng monoton wachsend und damit injektiv. | |
| (iii) | Umstellen von \( y=f(x) \) nach \( x=g(y) \) liefert |
\[ g(y)=\frac{y}{1-y}\,,\quad y\in\left[0,\frac{1}{2}\right]. \]
| Als rationale Funktion mit nicht verschwindendem Nenner ist diese Funktion stetig auf \( \left[0,\frac{1}{2}\right]. \) |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)