Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 6:
Stetige Funktionen - Funktionenfolgen
Lösungen zu den Aufgaben Konvergenzbegriffe
Lösung zur Aufgabe 6.4.1 - Beispiele punktweise konvergenter Funktionenfolgen
| (i) | \( \displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=x \) |
| (ii) | \( \displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=0 \) |
| (iii) | \( \displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & 0\le x\lt 1 \\ 1, & x=1 \end{array}\right. \) |
Damit sind alle Grenzwerte bestimmt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 6.4.2 - Beispiele gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen
| (i) | Der punktweise Grenzwert der Folge \( \{f_k(x)\}_{k=1,2,\ldots} \) lautet |
\[ f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=0\quad\mbox{punktweise in}\ [0,1]. \]
| Die Konvergenz ist gleichmäßig, denn zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |f_k(x)-f(x)| =|f_k(x)| =\frac{1}{k}\lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ k\ge N(\varepsilon)\ \mbox{und alle}\ x\in[0,1], \]
| und daher gilt |
\[ \lim_{k\to\infty}\,\sup_{x\in[0,1]}|f_k(x)-f(x)|=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}=0. \]
| (ii) | Der punktweise Grenzwert der Folge \( \{f_k(x)\}_{k=1,2,\ldots} \) lautet |
\[ f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=0\quad\mbox{punktweise in}\ [0,1]. \]
| Die Konvergenz ist gleichmäßig, denn zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |f_k(x)-f(x)| =|f_k(x)| =\frac{x+1}{k} \le\frac{2}{k} \lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ k\ge N(\varepsilon)\ \mbox{und alle}\ x\in[0,1]. \]
| und daher gilt |
\[ \lim_{k\to\infty}\,\sup_{x\in[0,1]}|f_k(x)-f(x)|\le\lim_{k\to\infty}\frac{2}{k}=0. \]
| (iii) | Der punktweise Grenzwert der Folge \( \{f_k(x)\}_{k=1,2,\ldots} \) lautet |
\[ f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=0\quad\mbox{punktweise in}\ \left[0,\frac{1}{2}\right], \]
| denn wir schätzen wie folgt ab |
\[ |f_k(x)|\le|x|^k\le\frac{1}{2^k}\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ k\to\infty \]
| und für alle \( x\in\left[0,\frac{1}{2}\right], \) d.h. die Konvergenz ist gleichmäßig, genauer |
\[ \lim_{k\to\infty}\,\sup_{x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]}|f_k(x)-f(x)|\le\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2^k}=0. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 6.4.3 - Punktweise und gleichmäßige Konvergenz I
| (i) | Der punktweise Grenzwert \( f(x) \) der Folge lautet |
\[ f(x)=\lim_{k\to\infty}(x^k-x^{2k})=0\quad\mbox{punktweise in}\ [0,1], \]
| denn wir haben \( f_k(0)=f_k(1)=0 \) für alle \( k=1,2,\ldots, \) und ansonsten gilt |
\[ |f_k(x)|=|x^k-x^{2k}|=x^k(1-x^k)\le x^k\longrightarrow 0\quad\mbox{für alle}\ 0\le x\lt 1. \]
| Beachte daber, dass auch gilt |
\[ f_k(x)=x^k-x^{2k}=\frac{1}{4}\quad\mbox{für}\ x=\sqrt[k]{\frac{1}{2}}\,,\quad k=1,2,\ldots \]
| Wählen wir also \( \varepsilon=\frac{1}{8}, \) so existiert für alle \( k=1,2,\ldots \) ein \( x\in[0,1] \) mit |
\[ |f_k(x)-f(x)|=f_k(x)=\frac{1}{4}\gt\varepsilon. \]
| Die Konvergenz ist also nicht gleichmäßig. | |
| (ii) | Der punktweise Grenzwert \( f(x) \) der Folge lautet |
\[ f(x)=\lim_{k\to\infty}\sqrt{x^2+\frac{1}{k^2}}=x\quad\mbox{punktweise}\ [0,1]. \]
| Für alle \( x\in[0,1] \) schätzen wir nun wie folgt ab |
\[ |f_k(x)-f(x)| =\left|\,\sqrt{x^2+\frac{1}{k^2}}-x\right| =\sqrt{x^2+\frac{1}{k^2}}-x \le x+\frac{1}{k}-x =\frac{1}{k}\,. \]
| Im Grenzfall \( k\to\infty \) erhalten wir daher |
\[ \lim_{k\to\infty}\,\sup_{x\in[0,1]}|f_k(x)-f(x)|\le\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}=0, \]
| d.h. die Konvergenz ist gleichmäßig. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösung zur Aufgabe 6.4.4 - Punktweise und gleichmäßige Konvergenz II
| (ii) | Es gilt |
\[ f(x)=\lim_{k\to\infty}f_k(x)=0\quad\mbox{punktweise in}\ [0,1]. \]
| Denn es ist \( f_k(0)=0 \) für alle \( k=1,2,\ldots, \) und im Fall \( x\gt 0 \) gilt \( f_k(x)=0, \) falls \( k\gt\frac{2}{x}. \) | |
| (iii) | Die Konvergenz ist aber nicht gleichmäßig, denn es ist für alle \( k=1,2,\ldots \) |
\[ f_k(x)=1\quad\mbox{für}\ x=\frac{1}{k}\,. \]
| Wähle also \( \varepsilon=\frac{1}{2}. \) Für alle \( k=1,2,\ldots \) existiert dann ein \( x\in[0,1] \) mit |
\[ |f_k(x)-f(x)|=f_k(x)=1\gt\varepsilon. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz
Lösung zur Aufgabe 6.4.5 - Beispiele zum Cauchykriterium zur gleichmaessigen Konvergenz
| (i) | Angenommen, es ist \( k\le\ell. \) Dann schätzen wir wie folgt ab |
\[ |f_k(x)-f_\ell(x)| =\left|\frac{x+1}{k}-\frac{x+1}{\ell}\right| =\frac{x+1}{k}-\frac{x+1}{\ell} \le\frac{x+1}{k} \le\frac{2}{k}\,. \]
| Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert also ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) so dass |
\[ |f_k(x)-f_\ell(x)|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k,\ell\ge N(\varepsilon)\ \mbox{und alle}\ x\in[0,1]. \]
| Daher ist die Funktionenfolge nach dem Cauchykriterium gleichmäßig konvergent. | |
| (ii) | Betrachte den Fall \( \ell=2k. \) Wir erhalten |
\[ |f_k(x)-f_\ell(x)| =|f_k(x)-f_{2k}(x)| =|x^k-x^{2k}| =x^k-x^{2k} =x^k(1-x^k). \]
| Es gilt aber |
\[ x^k(1-x^k)=\frac{1}{4}\quad\mbox{für} x=\sqrt[k]{\frac{1}{2}}\ \mbox{und}\ \mbox{für alle}\ k=1,2,\ldots \]
| Wählen wir also \( \varepsilon=\frac{1}{8}\,, \) so folgt |
\[ |f_k(x)-f_{2k}(x)|=\frac{1}{4}\gt\varepsilon\quad\mbox{für}\ x=\sqrt[k]{\frac{1}{2}}\,, \]
| d.h. das Cauchykriterium ist nicht erfüllt, und die Funktionenfolge ist nicht gleichmäßig konvergent. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Lösungen zu den Aufgaben Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit
Lösung zur Aufgabe 6.4.6 - Beispiele zur gleichmaessigen Konvergenz und Stetigkeit
| (i) | Die Funktionenfolge \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) konvergiert punktweise und gleichmäßig gegen die Funktion |
\[ f(x)=0\quad\mbox{in}\ [0,1]. \]
| Diese Grenzfunktion ist auch stetig. | |
| (ii) | Die Funktionenfolge \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Funktion |
\[ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & 0\le x\lt 1 \\ 1, & x=1 \end{array}\right.. \]
| Diese Grenzfunktion ist im Punkt \( x_0=1 \) nicht stetig. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)