5. Theorie der Reihen
Einleitung
In diesem Kapitel untersuchen wir reell- wie auch komplexwertige Reihen und lernen wichtige Eigenschaf-ten konvergenter Reihen kennen.
Konvergente und divergente Reihen
Zunächst definieren wir in Paragraph 5.1.1 den Begriff einer konvergenten Reihe über die Konvergenz ihrer zugehörigen Folge der Partialsummen und daran anschließend den Begriff der divergenten Reihe. Für unsere Zwecke ist eine Formulierung der Konvergenz durch ein Cauchykriterium von zentraler Bedeutung, worauf wir in Paragraph 5.1.2 eingehen. Als wichtigstes Beispiel einer konvergenten Reihe dient uns die geometrische Reihe, als wichtigstes Beispiel einer divergenten Reihe die harmonische Reihe. Diese beiden Reihen schließen den ersten Abschnitt dieses Kapitels ab.
Konvergenzkriterien für Reihen
In diesem Abschnitt stellen wir wichtige Kriterien vor, mit denen auf Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen geschlossen werden kann: Das Majorantenkriterium und das daraus folgende Minorantenkriterium, das Leibnizkriterium für alternierende Reihen, und schließlich das Wurzelkriterium und ableitend das Quotien-tenkriterium.
Umordnung von Reihen
Die Glieder einer unendlichen Reihe dürfen nicht vertauscht werden, wie wir es von endlichen Summen kennen, für welche das Kommutativgesetz gilt. Vielmehr benötigen wir einen schärferen Konvergenzbegriff, der das Umordnen der Reihenglieder erlaubt, ohne den Wert der Reihe zu ändern. Aus unserer Perspektive stehen hinter diesen Fragen der erste und der zweite Riemannsche Umordnungssatz, die Inhalt des Ab-schnitts 5.3 sind.
Doppelreihen
Das Multiplizieren zweier unendlicher Reihen führt auf eine Doppelreihe. Durch Abzählen des Mengen-produktes der natürlichen Zahlen mit sich selbst überführen wir solche Doppelreihen in gewöhnliche Reihen und können so unsere bisher gelernten Methoden auf Doppelreihen anwenden. Zu klären ist dabei die Frage, wie sich die gewählte Abzählung der Paare natürlicher Zahlen auf den Wert einer Doppelreihe auswirkt.
Potenzreihen
Besonders für die Analyse von Funktionen einer reellen bzw. komplexen Veränderlichen ist das Studium von Potenzreihen unerlässlich. Wir übertragen daher unsere Methoden und Resultate der vorigen Ab-schnitte auf komplexwertige Potenzreihen und bereiten auf diese Weise die nachfolgenden Kapitel unserer Vorlesung vor.
5.1.1 Reihen und ihre Partialsummen
Die Theorie der unendlichen Reihen bauen wir auf der Theorie der Zahlenfolgen auf, wobei wir jetzt reelle wie auch komplexwertige Zahlenfolgen zulassen. Der zentrale Begriff ist dabei der Begriff der Partialsumme. Wir beginnen dazu mit der
Definition: Es sei \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) eine komplexwertige Zahlenfolge. Dann heißt \[ S_n:=\sum_{k=0}^na_k=a_0+a_1+a_2+\ldots+a_n\,,\quad n\in\mathbb N_0\,, \] die \( n \)-te Partialsumme der Folge \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots} \) Die Folge \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) der Partialsummen heißt die zu der Folge \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots} \) gehörige Reihe, in Zeichen \[ \sum_{k=0}^\infty a_k:=\left\{\sum_{k=0}^na_k\right\}_{n=0,1,2,\ldots} \]
Definition: Sei \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) eine Reihe mit Partialsummen \( S_n\in\mathbb C, \) \( n=0,1,2,\ldots \) Dann heißt die Reihe
| \( \circ \) | beschränkt, falls die Folge \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) beschränkt ist; |
| \( \circ \) | konvergent, falls die Folge \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) konvergent ist; |
| \( \circ \) | divergent, falls sie nicht konvergent ist. |
Konvergenz komplexwertiger Zahlenfolgen definieren wir dabei analog zur Konvergenz reeller Zahlenfolgen. Den Begriff der Divergenz verwenden wir vorerst nur im Falle von Nicht-Konvergenz - eine Differenzierung divergenter Reihen diskutieren wir später.
Im Falle der Konvergenz der Partialsummen \( S_n \) gegen ein \( S\in\mathbb C \) schreiben wir \[ S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_k=\sum_{k=0}^\infty a_k\,. \] Wir schreiben aber auch beispielsweise \[ \sum_{k=0}^\infty k=+\infty\,, \quad\mbox{da}\quad \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty k=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2}=+\infty\,. \] Wir verwenden also die Bezeichnung \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) nicht in eindeutiger Art und Weise.
5.1.2 Das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen
Grundlegend für die Konvergenzuntersuchungen unendlicher Reihen ist folgendes Cauchysche Konvergenzkriterium.
Satz: Die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) ist konvergent genau dann, wenn zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit \[ \left|\,\sum_{k=m+1}^na_k\right|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\gt m\ge N(\varepsilon). \]
Beweis: Konvergiert die Folge \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) der Partialsummen, so existiert zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ |S_m-S_n| =\left|\,\sum_{k=0}^ma_k-\sum_{k=0}^na_k\right| \lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \] Dieses Cauchysche Vollständigkeitskriterium für \( \mathbb R \) ist notwendig und hinreichend für die Konvergenz der Partialsummen. Es folgt die Behauptung.\( \qquad\Box \)
Als direkte Folge dieses Kriteriums erhalten wir den als Übung zu beweisenden
Satz: Konvergiert die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k, \) so bilden notwendig
| (i) | \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) eine Nullfolge, |
| (ii) | \( \{R_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle R_n:=\sum_{k=n}^\infty a_k \) eine Nullfolge. |
Für alle \( z\in\mathbb C\setminus\{1\} \) gilt die geometrische Summenformel \[ \sum_{k=0}^nz^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\,,\quad n\in\mathbb N_0\,, \] woraus wir im Grenzfall \( n\to\infty \) entnehmen \[ \sum_{k=0}^\infty z^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^nz^k=\frac{1}{1-z}\quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C\ \mbox{mit}\ |z|\lt 1. \] Die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty z^k \) heißt geometrische Reihe.
Die harmonische Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots \] konvergiert nicht, denn wir können wie folgt abschätzen: \[ 1\ge 1\,,\quad \frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\,,\quad \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\,,\quad \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\ge\frac{1}{2} \quad\mbox{usw.} \] Es folgt für \( \ell=1,2,3,\ldots \) \[ \sum_{k=1}^{2^\ell}\frac{1}{k} =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^\ell} \ge 1+\frac{\ell}{2} \longrightarrow\infty\quad\mbox{für}\ \ell\to\infty\,. \] Dieses Resultat sowie die vorgeführte Beweismethode stammen von N. Oresme aus dem Jahr 1360, siehe auch dieses Kalenderblatt von spektrum.de.
Aufgaben zu Reihen und ihre Partialsummen
Aufgabe 5.1.1: (Bestimmen von Reihen aus Partialsummen)
Bestimmen Sie jeweils die Reihe, deren Partialsummenfolgen wie folgt gegeben sind:
| (i) | \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots}=\{1,0,1,0,1,0,1,0,\ldots\} \) |
| (ii) | \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots}=\{1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots}=\left\{\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16},\frac{31}{32},\ldots\right\} \) |
Sind die gefundenen Reihen eindeutig?
Aufgaben zu Das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen
Aufgabe 5.1.2: (Folgerung aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium)
Die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k, \) \( a_k\in\mathbb C, \) sei konvergent.
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \{a_n\}_{n=0,2,\ldots,}\subset\mathbb C \) eine Nullfolge bildet. |
| (ii) | Geben Sie ein Gegenbeispiel dafür, dass die Umkehrung dieser Aussage falsch ist. |
Aufgabe 5.1.3: (Anwendung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums)
Beweisen Sie unter Anwendung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums, dass die folgende harmonische Reihe divergiert \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots \]
Aufgaben zu Die geometrische Reihe
Aufgabe 5.1.4: (Beispiele reellwertiger geometrischer Reihen)
Um welche geometrische Reihen handelt es sich im Folgenden? Berechnen Sie ihre Werte.
| (i) | \( \displaystyle 2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\ldots \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{7}{3}+\frac{7}{30}+\frac{7}{300}+\frac{7}{3000}+\ldots \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{3}{2}+\frac{3}{8}+\frac{3}{32}+\frac{3}{128}+\ldots \) |
| (iv) | \( \displaystyle\frac{5}{3}+\frac{5}{24}+\frac{5}{192}+\frac{5}{1536}+\ldots \) |
Aufgaben zu Die harmonische Reihe
Aufgabe 5.1.5: (Abschätzung der harmonischen Reihe nach oben)
Beweisen Sie, dass für alle \( n\in\mathbb N \) gilt \[ \sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k}\le n. \]
Aufgabe 5.1.6: (Abschätzung der harmonischen Reihe nach unten)
Beweisen Sie, dass für alle \( n\in\mathbb N \) gilt \[ \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\ge 1+\frac{n}{2}\,. \] (Prof. M. Schottenloher, LMU München, Analysis 1, WS 2006)
| 1. | Was versteht man unter einer Reihe? |
| 2. | Wann heißt eine Reihe beschränkt, konvergent oder divergent? |
| 3. | Wie lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen? |
| 4. | Wie lautet die geometrische Reihe? |
| 5. | Wie lautet die harmonische Reihe? |
Aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen gewinnen wir den
Satz: Es seien \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) eine komplexwertige Reihe und \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_k \) eine konvergente, reellwertige Reihe mit \( b_k\in\mathbb R \) für alle \( k=0,1,2,\ldots \) Ferner gebe es ein \( N\in\mathbb N \) mit \[ |a_n|\le b_n\quad\mbox{für alle}\ n\ge N. \] Dann konvergiert auch \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k, \) in Zeichen \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k\lt\infty\,. \)
Beweis: Nach dem Cauchy-Kriterium aus Paragraph 5.1.2 existiert zu \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ \sum_{k=m}^nb_k\lt\varepsilon\quad\mbox{für}\ n\ge m\ge N(\varepsilon). \] Wir wählen \( N(\varepsilon)\ge N \) und schätzen mit der Dreiecksungleichung wie folgt ab \[ \left|\,\sum_{k=m}^na_k\right| \le\sum_{k=m}^n|a_k| \le\sum_{k=m}^nb_k \lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ n\ge m\ge N(\varepsilon). \] Also ist auch \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) konvergent.\( \qquad\Box \)
Mit der geometrischen Reihe als Majorante gewinnen wir hieraus das
Beispiel: Die komplexwertige Zahlenfolge \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots} \) genüge \[ |a_n|\le cq^n\quad\mbox{für alle}\ n=0,1,2,\ldots \] mit einem \( c\ge 0 \) und \( q\in[0,1). \) Dann ist \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) konvergent.
In den Übungen beweisen wir den
Satz: Die reellwertigen Zahlenfolgen \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \[ 0\le b_n\le a_n\quad\mbox{für alle}\ n=0,1,2,\ldots \] seien gegeben. Divergiert nun die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_k, \) so divergiert auch \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k. \)
Beispiel: In Paragraph 5.1.4 haben wir bereits die Divergenz der harmonischen Reihe nach dem Minorantenkriterium bewiesen \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\ge 1+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2}=\infty\,. \]
Satz: Ist die reellwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) alternierend, d.h. sind die Folgenglieder \( a_k \) abwechselnd positiv und negativ, und gilt \[ |a_0|\ge|a_1|\ge|a_2|\ge\ldots\longrightarrow 0\quad\mbox{im Grenzfall,} \] so konvergiert die Reihe.
Beispiel: Nach G.W. Leibniz (1682) gilt \[ 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots=\frac{\pi}{4}\,. \]
Beweis: Wir gehen in mehreren Schritten vor.
| 1. | Ohne Einschränkung dürfen wir annehmen |
\[ a_k=(-1)^kb_k\quad\mbox{mit}\ b_k\ge 0,\ k=0,1,2,\ldots \]
| Die Monotonievoraussetzung impliziert \( b_0\ge b_1\ge b_2\ge\ldots \) | |
| 2. | Wir setzen \( \displaystyle S_n:=\sum_{k=0}^na_k. \) Die Partialsummen |
\[ \begin{array}{lll} S_{(2k)}\negthickspace & = & \negthickspace a_0+(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+\ldots+(a_{2k-1}+a_{2k}) \\ & = & \negthickspace b_0-(b_1-b_2)-(b_3-b_4)-(b_5-b_6)-\ldots-(b_{2k-1}-b_{2k}) \end{array} \]
| mit geradem Index \( 2k \) sind monoton fallend, und insbesondere gilt \( S_{2k}\le b_0, \) während die Partialsummen |
\[ \begin{array}{lll} S_{(2k+1)}\negthickspace & = & \negthickspace (a_0+a_1)+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+\ldots+(a_{2k}+a_{2k+1}) \\ & = & \negthickspace (b_0-b_1)+(b_2-b_3)+(b_4-b_5)+\ldots+(b_{2k}-b_{2k+1}) \end{array} \]
| mit ungeradem Index \( 2k+1 \) nichtnegativ und monoton wachsend sind (jeder Klammerausdruck ist nichtnegativ). Damit ist wegen \( b_{2k+1}\ge 0 \) |
\[ \begin{array}{lll} 0\negthickspace & \le & \negthickspace S_{(2k+1)} \,=\,b_0-b_1+b_2-b_3+b_4-\ldots-b_{2k-1}+b_{2k}-b_{2k+1} \\ & = & \negthickspace S_{2k}-b_{2k+1}\le S_{2k}\le b_0\,, \end{array} \]
| d.h. die beiden Teilfolgen \( \{S_{(2k)}\}_{k=0,1,2,\ldots} \) und \( \{S_{(2k+1)}\}_{k=0,1,2,\ldots} \) sind nach unten durch \( 0 \) und nach oben durch \( b_0 \) beschränkt. | |
| 3. | Beschränktheit und Monotonie sichern die Existenz der Grenzwerte |
\[ S_g:=\lim_{k\to\infty}S_{(2k)}\quad\mbox{und}\quad S_u:=\lim_{k\to\infty}S_{(2k+1)}\,. \]
| Die Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen liefern nach Voraussetzung des Satzes |
\[ \begin{array}{lll} S_g-S_u\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{k\to\infty}S_{(2k+2)}-\lim_{k\to\infty}S_{(2k+1)} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{k\to\infty}\big\{S_{(2k+2)}-S_{(2k+1)}\big\} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \lim_{k\to\infty}b_{2k+2} \,=\,0. \end{array} \]
| Es gilt also \( S:=S_g=S_u. \) | |
| 4. | Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( \widetilde N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) so dass |
\[ |S_{2k}-S|\lt\varepsilon,\quad |S_{2k+1}-S|\lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ k\ge\widetilde N(\varepsilon) \]
| bzw. mit \( N(\varepsilon):=2\widetilde N(\varepsilon) \) |
\[ |S_m-S|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m\ge N(\varepsilon). \]
| Also besitzt \( \{S_m\}_{m=0,1,2,\ldots} \) den Grenzwert \( S\in\mathbb R, \) und \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) ist konvergent. |
Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)
Auf A.-L. Cauchy geht folgendes Wurzelkriterium zurück:
Satz: Es sei \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) eine komplexwertige Reihe mit \( a_k\in\mathbb C \) für \( k=0,1,2,\ldots \) Dann sind die folgenden Aussagen richtig:
| (i) | Ist \( \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\lt 1, \) so konvergiert die Reihe. |
| (ii) | Ist \( \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\gt 1, \) so divergiert die Reihe. |
Bemerkung: Im Fall \( \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1 \) ist keine allgemeine Aussage möglich, wie wir uns durch Beispiel klar machen können.
Beweis des Satzes: Es sind zwei Aussagen zu zeigen.
| (i) | Zunächst betrachten wir den Fall |
\[ r:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\lt 1. \]
| Zu beliebigem \( q\in(r,1) \) existiert stets ein \( N(q)\in\mathbb N \) mit |
\[ \sqrt[n]{|a_n|}\le q\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(q) \]
| bzw. nach Umstellen |
\[ |a_n|\le q^n\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(q). \]
| Die Konvergenz der Reihe folgt aus der Konvergenz der geometrischen Reihe. | |
| (ii) | Es sei nun |
\[ r:=\limsup_{n\to\infty}r_n\gt 1\quad\mbox{mit}\quad r_n:=\sqrt[n]{|a_n|}\,. \]
| Es existiert eine Teilfolge \( \{r_{n_k}\}_{k=1,2,\ldots}\subset\{r_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( r_{n_k}\to r \) für \( n\to\infty. \) Da \( r>1, \) existiert ein \( K\in\mathbb N, \) so dass |
\[ r_{n_k}=\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}\gt 1\quad\mbox{bzw.}\quad|a_{n_k}|\gt 1\quad\mbox{für alle}\ k\ge K. \]
| Daher ist \( \{a_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) keine Nullfolge, und die Reihe konvergiert nicht. |
Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)
Auf J.-B. de Rond d'Alembert geht das folgende Quotientenkriterium zurück, dessen Beweis wir als Übung belassen.
Satz: Es sei \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) eine komplexwertige Reihe mit \( a_k\in\mathbb C \) für \( k=0,1,2,\ldots \) Ferner existiere ein \( N\in\mathbb N \) mit \[ a_n\not=0\quad\mbox{für alle}\ n\ge N. \] Dann sind die folgenden Aussagen richtig:
| (i) | Ist \( \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1, \) so konvergiert die Reihe. |
| (ii) | Ist \( \displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1 \) für alle \( n\ge M\in\mathbb N \) mit \( M\ge N, \) so divergiert die Reihe. |
Aufgaben zu Das Majorantenkriterium
Aufgabe 5.2.1: (Die geometrische Reihe als Majorante)
Beweisen Sie unter Verwendung der geometrischen Reihe als Majorante die Konvergenz der Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\,. \]
Aufgabe 5.2.2: (Anwendung des Majorantenkriteriums)
Beweisen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen unter Verwendung des Majorantenkriteriums.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2k-1}{2k^3+k^2+2k+1} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k^4+k^3+7k^2-k-1} \) | (iv) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^\alpha} \) mit \( \alpha\in\mathbb N, \) \( \alpha\ge 2 \) |
Verwenden Sie ggf. Aufgabe 5.2.1.
Aufgabe 5.2.3\(^*\): (Teleskopreihen)
Unter einer Teleskopreihe versteht man eine Reihe der Form \[ \sum_{k=1}^\infty(a_k-a_{k+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie den Wert der Reihe |
\[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}\,, \]
| indem Sie zunächst eine explizite Formel für die Partialsummen finden (Partialbruchzerlegung) und dann den Grenzwert bilden. | |
| (ii) | Folgern Sie, dass die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) konvergiert. |
Aufgaben zu Das Minorantenkriterium
Aufgabe 5.2.4: (Beweis des Minorantenkriteriums)
Beweisen Sie: Die reellwertigen Folgen \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \[ 0\le b_n\le a_n\quad\mbox{für alle}\ n=0,1,2,\ldots \] seien gegeben. Divergiert die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_k, \) so divergiert auch \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k. \)
Aufgabe 5.2.5\(^*\): (Anwendung des Minorantenkriteriums)
Verifizieren Sie mit Hilfe des Minorantenkriteriums, dass die folgenden Reihen divergieren.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+2}{k(k+1)} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3k}{k+1} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{n^2+2n}{5n^2+3n+7} \) | (iv) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \) |
| (v) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(-k+\sqrt{k^2+1}\right) \) |
Aufgaben zu Das Leibnizkriterium
Aufgabe 5.2.6: (Beispiele alternierender Reihen)
Begründen Sie, dass folgende Reihen konvergieren.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{5k+1} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt{k(k+2)}} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{1+3^k} \) | (iv) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\,\frac{k+2}{4^k-1} \) |
Aufgabe 5.2.7\(^*\): (Leibnizkriterium und die Reihe von Catalan)
Bereits E.C. Catalan (1814-1894) wies anhand des folgenden Beispiels \[ \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{4}-1}-\frac{1}{\sqrt{4}+1}\pm\ldots \] darauf hin, dass für das Leibnizsche Konvergenzkriterium für Reihen die Monotonievoraussetzung wesentlich ist. Diskutieren Sie Catalans Beispiel.
Aufgabe 5.2.8: (Restgliedabschätzung bei alternierenden Reihen)
Es sei \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) eine gegen \( S\in\mathbb R \) konvergierende, alternierende Reihe mit Partialsummen \( \displaystyle S_n=\sum_{k=0}^na_k, \) \( n=0,1,2,\ldots \) Beweisen Sie \[ |R_m|\le|a_{m+1}|,\quad m=1,2,\ldots, \] für das Restglied \( R_m:=S-S_m \) der Ordnung \( m. \)
Aufgaben zu Das Wurzelkriterium
Aufgabe 5.2.9\(^*\): (Anwendung des Wurzelkriteriums)
Untersuchen Sie vermittels des Wurzelkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{3^{2k}} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(5k^2+2)^k}{(7k)^{2k}} \) | (iv) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^k+5^{k+3}}{7\cdot 13^k} \) |
Aufgaben zu Das Quotientenkriterium
Aufgabe 5.2.10\(^*\): (Anwendung des Quotientenkriteriums)
Untersuchen Sie mittels des Quotientenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k+1)!}{(3k)!} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^4}{7^k} \) | (iv) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}{k} \) |
Aufgabe 5.2.11: (Beweis des Quotientenkriteriums)
Beweisen Sie das Quotientenkriterium aus dem Satz aus Paragraph 5.2.5.
| 1. | Wie lautet das Majorantenkriterium? |
| 2. | Wie lautet das Minorantenkriterium? |
| 3. | Wie lautet das Leibnizkriterium? |
| 4. | Wie lautet das Wurzelkriterium? |
| 5. | Wie lautet das Quotientenkriterium? |
5.3.1 Absolute und bedingte Konvergenz
Zur Formulierung der Riemannschen Umordnungssätze bednötigen wir zwei Begriffe:
Definition: Es sei \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) eine komplexwertige Zahlenfolge. Die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) heißt absolut konvergent, wenn die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty|a_k| \) konvergiert, in Zeichen \[ \sum_{k=0}^\infty|a_k|\lt\infty\,. \]
Als Übung beweisen wir den
Satz: Eine absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.
Definition: Es sei \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) eine komplexwertige Zahlenfolge. Die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) heißt dann bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
5.3.2 Der Begriff der Umordnung
Definition: Die komplexwertige Zahlenfolge \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) werde vermittels der Bijektion \[ \pi\colon\mathbb N\longrightarrow\mathbb N,\quad k\mapsto\pi(k)=:n_k\in\mathbb N_0\,, \] bijektiv auf die Folge \( \{a_k'\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) abgebildet, genauer \[ a_k':=a_{n_k}=a_{\pi(k)}\,,\quad k\in\mathbb N_0\,. \] Dann heißt die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k' \) eine Umordnung von \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k. \)
5.3.3 Der erste Riemannsche Umordnungssatz
Satz: Es sei \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine reelle Zahlenfolge. Die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) konvergiere bedingt. Dann existiert zu jeder reellen Zahl \( s\in\mathbb R \) eine Umordnung \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k' \) von \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k, \) so dass gilt \[ \sum_{k=0}^\infty a_k'=s. \]
Einen Beweis dieses Satzes lernen wir in den Übungen kennen.
5.3.4 Der zweite Riemannsche Umordnungssatz
Auch den Beweis unseres nächsten Umordnungssatzes belassen wir als Übung.
Satz: Es sei \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) eine komplexwertige Zahlenfolge. Die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) konvergiere absolut. Ferner sei \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k' \) eine Umordnung von \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k. \) Dann konvergiert auch diese Umordnung absolut, und es gilt die Gleichheit \[ \sum_{k=0}^\infty a_k=\sum_{k=0}^\infty a_k'\,. \]
Aufgaben zu Absolute und bedingte Konvergent
Aufgabe 5.3.1: (Beispiele absolut und bedingt konvergenter Reihen)
Welche der folgenden Reihen ist
| \( \circ \) | absolut konvergent, |
| \( \circ \) | bedingt konvergent, |
| \( \circ \) | nicht konvergent, und damit auch nicht absolut konvergent? |
Begründen Sie kurz.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \) | (iv) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} \) |
| (v) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{3^k} \) |
Aufgabe 5.3.2: (Beispiel einer absolut konvergenten Reihe)
Es sei \( 0\lt x\lt y\lt 1. \) Zeigen Sie, dass die Reihe \[ x+y+x^2+y^2+x^3+y^3+x^4+y^4+\ldots \] konvergent und sogar absolut konvergent ist.
(T. de Jong: Analysis in einer reellen Veränderlichen, Aufgabe 5.19)
Aufgabe 5.3.3: (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz)
Beweisen Sie: Eine absolut konvergente Reihe ist auch konvergent. Geben Sie ein Gegenbeispiel dafür, dass die Umkehrung dieser Aussage im Allgemeinen nicht richtig ist.
Aufgaben zu Der Begriff der Umordnung
Aufgabe 5.3.4: (Umordnung der harmonischen Reihe)
Wir betrachten die harmonische Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\quad\mbox{mit}\ a_k:=\frac{1}{k}\ \mbox{für}\ k=1,2,\ldots \]
| (i) | Ermitteln Sie die Glieder |
\[ a_k'=a_{\pi(k)}\quad\mbox{mit}\ \pi(2k-1):=2k,\ \pi(2k):=2k-1\ \mbox{für}\ k=1,2,\ldots \]
| Was ist also die Umordnung der ursprünglichen Reihe? | |
| (ii) | Was können Sie über die Konvergenz dieser Umordnung aussagen? Begründen Sie kurz. |
Aufgabe 5.3.5: (Umordnung einer alternierenden Reihe)
Wir betrachten die Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty a_k\quad\mbox{mit}\ a_k=(-1)^{k+1}\,,\ k=1,2,\ldots \]
| (i) | Zeigen Sie, dass diese Reihe weder absolut noch bedingt konvergiert. |
| (i) | Geben Sie eine Umordnung dieser Reihe an mit der Eigenschaft |
\[ \sum_{k=1}^\infty a_k'=\infty\,. \]
| Begründen Sie. |
Aufgaben zu Der erste Riemannsche Umordnungssatz
Aufgabe 5.3.6: (Beweis des ersten Riemannschen Umordnungssatzes)
Beweisen Sie den ersten Riemannschen Umordnungssatz.
Aufgabe 5.3.7\(^*\): (Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe I)
Wir betrachten die alternierende harmonische Reihe \[ S:=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}\,. \]
| (i) | Verifizieren Sie |
\[ \frac{1}{2}\lt S\lt\frac{5}{6}\,. \]
| (ii) | Verifizieren Sie, dass die Umordnung |
\[ \left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}\right)+\ldots \]
| jedoch echt größer ist als \( \frac{5}{6}. \) |
Bemerkung: Es gilt genauer \( S=\ln 2=0.69314\ldots \) mit dem natürlichen Logarithmus \( \ln. \)
Aufgabe 5.3.8: (Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe II)
Die alternierende harmonische Reihe \[ S:=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k} \quad\mbox{mit}\quad \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln 2\approx 0.69314\ldots \] und dem natürlichen Logarithmus \( \ln \) werde wie folgt umgeordnet \[ \left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right) +\ldots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)+\ldots \] Bezeichnet \( S_n' \) die \( n \)-te Partialsumme dieser Umordnung, s gilt \[ S_{3n}'=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right). \] Achten Sie dabei insbesondere auf den Index \( 3n, \) um mit wachsendem Index auch wirklich vollständige Klammerausdrücke zu addieren.
| (i) | Zeigen Sie, dass die Folge \( \{S_{3n}'\}_{n=1,2,\ldots} \) monoton wächst. |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ S_{3n}'\lt\frac{1}{2}\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \] Es existiert also ein \( S'\in\mathbb R \) mit \[ S'=\lim_{n\to\infty}S_{3n}'\,. \]
| (iii) | Verifizieren Sie |
\[ S_{2n}=2S_{3n}'\,,\quad n=1,2,3,\ldots, \]
| und folgern Sie |
\[ S'=\frac{1}{2}\cdot\ln 2. \]
Aufgaben zu Der zweite Riemannsche Umordnungssatz
Aufgabe 5.3.9: (Beweis des zweiten Riemannschen Umordnungssatzes)
Beweisen Sie den zweiten Riemannschen Umordnungssatz.
Aufgabe 5.3.10: (Zur Basler Reihe)
Ausgehend von (L. Euler, 1735) \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\approx 1.644934 \] sind die die exakten Werte folgender Reihen zu ermitteln:
| (i) | \( \displaystyle 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\frac{1}{81}+\ldots \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}+\frac{1}{100}+\ldots \) |
Bemerkung und Hinweis: Die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \) bezeichnet man als auch Basler Reihe. Zur Lösung von (i) betrachten Sie eventuell die Teilreihen \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}\quad\mbox{und}\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k)^2}\,. \]
| 1. | Was versteht man unter einer absolut konvergenten Reihe? |
| 2. | Was versteht man unter einer bedingt konvergenten Reihe? |
| 3. | Was versteht man unter einer Umordnung einer Reihe? |
| 4. | Wie lautet der erste Riemannsche Umordnungssatz? |
| 5. | Wie lautet der zweite Riemannsche Umordnungssatz? |
5.4.1 Der Begriff der Doppelreihe
Wir betrachten nun komplexwertige Doppelfolgen \[ a_{k\ell}:=\gamma(k,\ell)\quad\mbox{vermöge einer Abbildung}\ \gamma\colon\mathbb N_0\times\mathbb N_0\longrightarrow\mathbb C, \] in Zeichen \[ \{a_{k\ell}\}_{k,\ell=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C. \] Diese Setzung macht nur Sinn, wenn wir uns im Voraus auf eine Abzählung \[ \{(k_0,\ell_0),(k_1,\ell_1),(k_2,\ell_2),(k_3,\ell_3),\ldots\} \] der Menge \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) festlegen.
Beispiel: Eine Abzählung, angelehnt an der Cantorschen Methode zur Abzählung der rationalen Zahlen, ist
| \( a_{00} \) | \( \to \) | \( a_{01} \) | \( a_{02} \) | \( \to \) | \( a_{03} \) | \( a_{04} \) | \( \to \) | \( a_{05} \) | \( a_{06} \) | ||||
| \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | ||||||||
| \( a_{10} \) | \( a_{11} \) | \( a_{12} \) | \( a_{13} \) | \( a_{14} \) | \( a_{15} \) | ||||||||
| \( \downarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | ||||||||
| \( a_{20} \) | \( a_{21} \) | \( a_{22} \) | \( a_{23} \) | \( a_{24} \) | \( a_{25} \) |
mit den Indizes \[ (k_0,\ell_0)=(0,0),\quad (k_1,\ell_1)=(0,1),\quad (k_2,\ell_2)=(1,0) \quad\mbox{usw.,} \] und \( (a_{k\ell})_{k,\ell=0,1,2,\ldots} \) durchläuft \[ a_{00}\,,\quad a_{01}\,,\quad a_{10}\,,\quad a_{20}\quad\mbox{usw.} \]
Definition: Es seien \( \{a_{k\ell}\}_{k,\ell=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) eine komplexwertige Zahlenfolge und \[ A:=\{(k_0,\ell_0),(k_1,\ell_1),(k_2,\ell_2),\ldots\} \] eine Abzählung von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0. \)
| \( \circ \) | Es heißt |
\[ S_n:=\sum_{m=0}^na_{k_m\ell_m}\,,\quad n\in\mathbb N_0\,, \]
| die \( n \)-te Partialsumme von \( \{a_{k\ell}\}_{k,\ell=0,1,2,\ldots} \) bez. der Abzählung \( A. \) | |
| \( \circ \) | Die Folge \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) heißt die zu \( \{a_{k\ell}\}_{k,\ell=0,1,2,\ldots} \) gehöhrige Doppelreihe bez. \( A, \) |
| in Zeichen |
\[ \sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell}:=\left\{\sum_{m=0}^na_{k_m\ell_m}\right\}_{n=0,1,2,\ldots} \]
Wie auch einfachen Reihen benutzen wir das Symbol \( \displaystyle\sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell} \) mehrdeutig.
5.4.2 Absolut konvergente Doppelreihen
Definition: Es sei \( \{a_{k\ell}\}_{k,\ell=0,1,2,\ldots} \) eine komplexwertige Folge. Wir sagen, die Doppelreihe \( \displaystyle\sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell} \) konvergiert absolut, wenn gilt \[ \sum_{m=0}^\infty|a_{k_m\ell_m}|\lt\infty \] für jede Abzählung \( \{(k_0,k_1),(k_1,\ell_1),(k_2,\ell_2),\ldots\} \) von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0. \)
Nach dem zweiten Riemannschen Umordnungssatz ist der Wert einer absolut konvergenten Doppelreihe unabhängig von der gewählten Abzählung von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0. \)
5.4.3 Der Cauchysche Produktsatz
Satz: Es seien \( \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) und \( \{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset\mathbb C \) zwei komplexwertige Zahlenfolgen. Die zugehörigen Reihen \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k \) und \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_k \) konvergieren beide absolut. Dann konvergiert auch die Doppelreihe \( \displaystyle\sum_{k,\ell=0}^\infty a_kb_\ell \) absolut, und es gilt die Produktdarstellung \[ \sum_{k,\ell=0}^\infty a_kb_\ell =\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right)\cdot\left(\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell\right) =\sum_{m=0}^\infty c_m \] mit den Koeffizienten \[ c_\ell:=\sum_{k=0}^\ell a_kb_{\ell-k}=\sum_{k=0}^\ell a_{\ell-k}b_k\,,\quad\ell=0,1,2,\ldots \] Dabei gilt außerdem \[ \sum_{\ell=0}^\infty|c_\ell|\lt\infty\,. \]
Veranschaulichung: Wir können die Koeffizienen
| \( \circ \) | \( c_0=a_0b_0 \) |
| \( \circ \) | \( c_1=a_0b_1+a_1b_0=a_1b_0+a_0b_1 \) |
| \( \circ \) | \( c_2=a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2 \) |
| \( \circ \) | \( c_3=a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0=a_3b_0+a_2b_1+a_1b_2+a_0b_3 \) |
usw. in einem an das Cantorsche Schema zur Abzählung der rationalen Zahlen angelehntes Schema wie folgt abtragen, wobei wir nur zusammengehörige Summanden durch Pfeile verbinden:
| \( a_0b_0 \) | \( \cdots \) | \( a_0b_1 \) | \( a_0b_2 \) | \( \cdots \) | \( a_0b_3 \) | \( a_0b_4 \) | \( \cdots \) | \( a_0b_5 \) | \( a_0b_6 \) | ||||
| \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | ||||||||
| \( a_1b_0 \) | \( a_1b_1 \) | \( a_1b_2 \) | \( a_1b_3 \) | \( a_1b_4 \) | \( a_1b_5 \) | ||||||||
| \( \vdots \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | ||||||||
| \( a_2b_0 \) | \( a_2b_1 \) | \( a_2b_2 \) | \( a_2b_3 \) | \( a_2b_4 \) | \( a_2b_5 \) |
Einen Beweis des Satzes verschieben wir auf die Übungen.
Aufgaben zu Der Begriff der Doppelreihe
Aufgabe 5.4.1: (Beispiel einer Doppelreihe)
Betrachten Sie die wie folgt gegebene Doppelfolge \[ \begin{array}{l} \displaystyle a_{11}=\frac{1}{1}\,,\quad a_{12}=-\,\frac{1}{1}\,,\quad a_{13}=-\,\frac{1}{3}\,,\quad a_{14}=\frac{1}{4}\,,\quad\ldots \\ \displaystyle a_{21}=\frac{1}{2}\,,\quad a_{22}=\frac{1}{3}\,,\quad a_{23}=-\,\frac{1}{4}\,,\quad a_{24}=-\,\frac{1}{7}\,,\quad\ldots \end{array} \] zusammen mit der nachstehend dargestellten Abzählung:
| \( \displaystyle\frac{1}{1} \) | \( \to \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{1} \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{3} \) | \( \to \) | \( \displaystyle\frac{1}{4} \) | \( \displaystyle\frac{1}{8} \) | \( \to \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{8} \) | \( \displaystyle\frac{1}{16} \) | ||||
| \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | ||||||||
| \( \displaystyle\frac{1}{2} \) | \( \displaystyle\frac{1}{3} \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{4} \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{7} \) | \( \displaystyle\frac{1}{9} \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{15} \) | ||||||||
| \( \downarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | \( \swarrow \) | \( \nearrow \) | ||||||||
| \( \displaystyle-\,\frac{1}{2} \) | \( \displaystyle\frac{1}{5} \) | \( \displaystyle\frac{1}{7} \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{9} \) | \( \displaystyle\frac{1}{15} \) | \( \displaystyle-\,\frac{1}{17} \) |
Wie lauten die Koeffizienten \( a_{k_m\ell_m} \) für \( m=1,\ldots,8? \)
Aufgaben zu Absolut konvergente Doppelreihen
Aufgabe 5.4.2: (Umordnung einer absolut konvergenten Doppelreihe)
Beweisen Sie, dass der Wert einer absolut konvergenten Doppelreihe \( \displaystyle\sum_{k,\ell=1}^\infty a_{k\ell} \) unabhängig ist von der Wahl der Abzählung von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0. \)
Aufgabe 5.4.3: (Zeilen- und Spaltensummen absolut konvergenter Doppelreihen)
Es sei \( \displaystyle\sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell} \) eine absolut konvergente Doppelreihe. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \sum_{k,\ell=0}^\infty a_{k\ell}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{\ell=0}^\infty a_{k\ell}=\sum_{\ell=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty a_{k\ell}\,. \]
Aufgabe 5.4.4: (Beispiele absolut konvergenter Doppelreihen)
Beweisen Sie, dass folgende Doppelreihen absolut konvergent sind.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k,\ell=1}^\infty\frac{1}{k^4+\ell^4} \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k,\ell=2}^\infty\frac{1}{k^\ell} \) |
Hinweis zu (i): Es gilt \( 2k^2\ell^2\le k^4+\ell^4 \) für alle \( k,\ell\in\mathbb N. \)
Aufgaben zu Der Cauchysche Produktsatz
Aufgabe 5.4.5: (Berechnung des Cauchyprodukts von Reihen)
Berechnen Sie das Cauchyprodukt folgender Reihen:
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\quad\mbox{und}\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3^k}\quad\mbox{und}\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3^k} \) |
Aufgabe 5.4.6: (Ein spezielles Cauchyprodukt)
Wir betrachten die durch \[ a_k=b_k=\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}\,,\quad k=1,2,\ldots \] gegebenen Zahlenfolgen \( \{a_k\}_{k=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{b_k\}_{k=1,2,\ldots}\subset\mathbb R. \)
| (i) | Beweisen Sie, dass die Reihen \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k \) und \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty b_k \) konvergieren. |
| (ii) | Berechnen Sie das Cauchyprodukt der beiden Reihen. Konvergiert oder divergiert dieses Produkt? |
Aufgabe 5.4.7: (Ein Cauchyprodukt divergenter Reihen)
Betrachten Sie die beiden Reihen \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k\quad\mbox{mit}\quad\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\big\{2,2,2^2,2^3,2^4,\ldots\big\}\,, \\ \displaystyle \sum_{k=0}^\infty b_k\quad\mbox{mit}\quad\{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\big\{-1,1,1,1,1,\ldots\big\}\,. \end{array} \]
| (i) | Konvergieren oder divergieren die Reihen? |
| (ii) | Beweisen Sie, dass ihr Cauchyprodukt konvergiert. |
Aufgabe 5.4.8: (Beweis des Cauchyschen Produktsatzes)
Beweisen Sie den Cauchyschen Produktsatz aus Paragraph 5.4.3.
| 1. | Was versteht man unter einer komplexwertigen Doppelreihe? |
| 2. | Wann heißt eine Doppelreihe absolut konvergent? |
| 3. | Warum ist der Wert einer absolut konvergenten Doppelreihe unabhängig von der Abzählung? |
| 4. | Wie lautet der Cauchysche Produktsatz? |
5.5.1 Definition und die komplexe Exponentialreihe
Wir beginnen diesen Abschnitt mit der
Definition: Eine Zuordnung \[ P\colon\mathbb C\longrightarrow\mathbb C,\quad \quad P(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k\ \mbox{mit}\ a_k\in\mathbb C\ \mbox{für alle}\ k=0,1,2,\ldots, \] heißt eine komplexwertige Potenzreihe.
Eine der wichtigsten komplexwertigen Potenzreihen der Mathematik ist die komplexe Exponentialreihe.
Definition: Die komplexe Exponentialreihe lautet \[ \exp z:=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}\,,\quad z\in\mathbb C. \]
Nach dem Quotientenkriterium ist \( \exp z \) für alle \( z\in\mathbb C \) konvergent, denn wir ermitteln für alle \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) (die Konvergenz im Punkt \( z=0 \) ist offensichtlich) \[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|z|^{n+1}\cdot n!}{|z|^n\cdot(n+1)!} =\lim_{n\to\infty}\,\frac{|z|}{n+1} =0. \]
5.5.2 Der Satz von Cauchy-Hadamard
Aus dem Wurzelkriterium für unendliche Reihen gewinnen wir den folgenden Satz von Cauchy-Hadamard.
Satz: Es sei \( \displaystyle P(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \) eine komplexe Potenzreihe, und es sei \[ \alpha:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,. \] Weiter setzen wir \[ R :=\left\{ \begin{array}{cl} +\infty, & \mbox{falls}\ \alpha=0 \\ \alpha^{-1}\,, & \mbox{falls}\ \alpha\in(0,+\infty) \\ 0, & \mbox{falls}\ \alpha=\infty \end{array} \right.. \] Dann gilt: \[ P(z)\quad\mbox{ist}\quad \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{konvergent} & \quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C\ \mbox{mit}\ |z|\lt R \\ \mbox{divergent} & \quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C\ \mbox{mit}\ |z|\gt R \end{array} \right.. \]
Bemerkung: Beachten Sie, dass die Potenzreihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \) stets in \( z=0 \) konvergiert. Im Fall \( R=0 \) konvergiert sie also nur in \( z=0. \)
Beweis: Wir betrachten nur den Fall \( |z|\lt R, \) also \[ |z|\lt\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \quad\mbox{bzw.}\quad |z|\cdot\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\lt 1 \quad\mbox{bzw.}\quad \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_nz^n|}\lt 1. \] Das Wurzelkriterium beweist die behauptete Konvergenz.\( \qquad\Box \)
5.5.3 Konvergenzradius, Konvergenzgebiet und Konvergenzbereich
Definition: Die Zahl \( R\ge 0 \) aus dem Satz von Cauchy-Hadamard heißt Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe \( P(z). \) Die offene Kreisscheibe \[ \{z\in\mathbb C\,:\,|z|\lt R\} \] heißt ihr Konvergenzgebiet, die Menge \[ \{z\in\mathbb C\,:\,P(z)\ \mbox{ist konvergent}\} \] ihr Konvergenzbereich.
Beispiel: Die komplexwertige geometrische Reihe \[ \displaystyle\sum_{k=0}^\infty z^k \] besitzt den Konvergenzradius \( R=1 \) und damit das Konvergenzgebiet \( \{z\in\mathbb C\,:\,|z|\lt 1\}. \) Sie konvergiert für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\lt 1, \) aber sie divergiert für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\ge 1. \) Ihr Konvergenzbereich lautet daher ebenfalls \( \{z\in\mathbb C\,:\,|z|\lt 1\}. \)
Aus der Konvergenz in einem einzelnen Punkt lässt wie folgt sich auf die Existenz eines gesamten Konvergenzgebietes schließen.
Satz: Die komplexe Potenzreihe \( P(z) \) konvergiere in einem Punkt \( z_0\in\mathbb C\setminus\{0\}. \) Dann ist \( P(z) \) absolut konvergent für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\lt|z_0|. \)
Beweis: Es ist nach Voraussetzung \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kz_0^k\lt \infty, \) so dass notwendig gilt \[ a_kz_0^k\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ k\to\infty\,, \] d.h. \( \{a_kz_0^k\}_{k=0,1,2,\ldots} \) bildet eine Nullfolge. Es existiert also ein \( C\in(0,\infty) \) mit \[ |a_nz_0^n|\le C\quad\mbox{für alle}\ n=0,1,2,\ldots \] Für \( |z|\lt|z_0| \) folgt damit für alle \( n=0,1,2,\ldots \) \[ \begin{array}{lll} |a_nz^n|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left|\,a_n\cdot z_0^n\cdot\frac{z^n}{z_0^n}\right| \,=\,|a_nz_0^n|\cdot\left|\,\frac{z^n}{z_0^n}\right| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle C\cdot\left|\,\frac{z^n}{z_0^n}\right| \,=:\,C\cdot q^n \end{array} \] mit \( q:=\left|\frac{z}{z_0}\right|\lt 1. \) Die geometrische Reihe als Majorante liefert die Behauptung.\( \qquad\Box \)
5.5.4 Der Cauchysche Produktsatz für Potenzreihen
Der Cauchysche Produktsatz für Reihen überträgt sich auch auf komplexe Potenzreihen.
Satz: Die Potenzreihen \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \) und \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_kz^k \) konvergieren für alle \( |z|\lt R \) absolut mit einem \( R\in(0,\infty]. \) Dann gilt \[ \left(\sum_{k=0}^\infty a_kz^k\right)\left(\sum_{k=0}^\infty b_kz^k\right)=\sum_{k=0}^\infty c_kz^k \quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C\ \mbox{mit}\ |z|\lt R \] und mit den Koeffizienten \[ c_n:=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}=\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k\,,\quad n=0,1,2,\ldots \]
Einen Beweis diese Satzes überlassen wir dem Leser.
5.5.5 Die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe
Satz: Die komplexe Exponentialreihe ist absolut konvergent auf ganz \( \mathbb C. \) Insbesondere gilt die Funktionalgleichung \[ \exp(z_1+z_2)=\exp z_1\cdot\exp z_2\quad\mbox{für alle}\ z_1,z_2\in\mathbb C. \]
Beweis: Der Cauchysche Produktsatz zusammen mit dem binomischen Lehrsatz liefern \[ \begin{array}{l} \displaystyle \exp z_1\cdot\exp z_2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left(\sum_{k=0}^\infty\frac{z_1^k}{k!}\right)\left(\sum_{\ell=0}^\infty\frac{z_2^\ell}{\ell!}\right) \,=\,\sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{\ell=0}^k\frac{z_1^\ell z_2^{k-\ell}}{\ell!(k-\ell)!}\right) \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(\sum_{\ell=0}^k\binom{k}{\ell}z_1^\ell z_2^{k-\ell}\right) \,=\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^k}{k!} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \exp(z_1+z_2), \end{array} \] was zu beweisen war.\( \qquad\Box \)
Aufgaben zu Definition und die komplexe Exponentialreihe
Aufgabe 5.5.1: (Abschätzen der komplexwertigen Exponentialreihe)
Finden Sie ein \( C\in(0,\infty) \) mit der Eigenschaft \[ \exp 1=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\le C. \]
Aufgaben zu Der Satz von Cauchy-Hadamard
Aufgabe 5.5.2: (Potenzreihen mit verschwindendem Konvergenzradius)
Beweisen Sie, dass die Potenzreihe \[ P(z)=\sum_{k=0}^\infty k^kz^k \] mit der Setzung \( 0^0:=1 \) für kein \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) konvergiert.
Aufgaben zu Konvergenzradius, Konvergenzgebiet und Konvergenzbereich
Aufgabe 5.5.3: (Noch eine Anwendung des binomischen Lehrsatzes)
| (i) | Sei \( x\in\mathbb R \) mit \( x\gt 0. \) Beweisen Sie die Richtigkeit von |
\[ (1+x)^n\ge 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\,x^2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N,\ n\ge 2. \]
| (ii) | Es sei nun \( x\gt 1. \) Folgern Sie aus (i) |
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n}=\infty\,. \]
Aufgabe 5.5.4: (Bestimmen von Konvergenzradius, Konvergenzgebiet und Konvergenzbereich)
Bestimmen Sie die Konvergenzradien, die Konvergenzgebiete und die Konvergenzbereiche folgender reellwertiger Potenzreihen.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k \) | (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^{2k} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k} \) |
Hinweis: Der Satz von Cauchy-Hadamard ist nicht unbedingt erforderlich.
Aufgaben zu Der Cauchysche Produktsatz für Potenzreihen
Aufgabe 5.5.5: (Cauchyprodukt zweier komplexwertiger Funktionen)
Wir betrachten die beiden Funktionen \[ f(z):=\frac{1}{1+z}\,,\quad z\in\mathbb C\setminus\{-1\} \] sowie \[ g(z):=\frac{1}{2+z}\,,\quad z\in\mathbb C\setminus\{-2\}\,. \] Beide Funktionen lassen sich als geometrische Reihen in Form komplexwertiger Potenzreihen darstellen, zum Beispiel \[ \frac{1}{1+z}=\frac{1}{1-(-z)}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kz^k\,,\quad |z|\lt 1. \]
| (i) | Bestimmen Sie auch die entsprechende Potenzreihe für \( g(z). \) |
| (ii) | Bestimmen Sie die Konvergenzradien dieser beiden Potenzreihen. |
| (iii) | Bestimmen Sie das Cauchyprodukt beider Potenzreihen, und stellen Sie damit \( f(z)\cdot g(z) \) ebenfalls |
| als komplexwertige Potenzreihe dar. | |
| (iv) | Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieses Cauchyproduktes. |
Aufgaben zu Die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe
Aufgabe 5.5.6: (Die Exponentialreihe besitzt keine Nullstellen)
Zeigen Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialreihe, dass kein \( z\in\mathbb R \) existiert mit \[ \exp(z)=0. \]
| 1. | Was versteht man unter einer komplexwertigen Potenzreihe? |
| 2. | Wie lautet die komplexwertige Exponentialreihe? |
| 3. | Warum ist die komplexwertige Exponentialreihe auf ganz \( \mathbb C \) konvergent? |
| 4. | Wie lautet der Satz von Cauchy-Hadamard? |
| 5. | Was versteht man unter Konvergenzradius, Konvergenzgebiet und Konvergenzbereich einer |
| komplexwertigen Potenzreihe? | |
| 6. | Wie berechnet man Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer komplexwertigen Potenzreihe? |
| 7. | Wie lautet der Cauchysche Produktsatz für Potenzreihen? |