MATERIALIEN ZUR ANALYSIS 2 WINTERSEMESTER 2020
- mit 211 Aufgaben mit Lösungen und 130 Wiederholungsfragen -
Auf Grundlage der von Prof. Dr. Friedrich Sauvigny gehaltenen Vorlesung Analysis 2 im Som-mersemester 1993 an der Brandenburgischen Technischen Universität Cottbus.
Inhalte der Analysis 2
Die hauptsächlichen Inhalte der Vorlesung zur Analysis 2 sind:
Literatur
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Vorlesungsinhalt
Teil II: Funktionen in einer Veränderlichen
8.1 Einführung des Riemannschen Integrals
8.1.1 Zerlegung von Intervallen
8.1.2 Die Riemannsche Zwischensumme
8.1.3 Riemannintegrierbarkeit und Riemannsches Integral
8.1.4 Kriterien zur Riemannintegrierbarkeit
8.1.5 Die Dirichletsche Sprungfunktion
8.1.6 Aufgaben
8.1.7 Wiederholungsfragen
8.2 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen
8.2.1 Linearität des Riemannschen Integrals
8.2.2 Monotonie des Riemannschen Integrals
8.2.3 Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen
8.2.4 Riemannintegrierbarkeit des Absolutbetrags
8.2.5 Aufgaben
8.2.6 Wiederholungsfragen
8.3 Das Riemann-Darbouxsche Integral
8.3.1 Untersummen und Obersummen
8.3.2 Riemann-Darboux-Integrierbarkeit
8.3.3 Äquivalenz beider Integralbegriffe
8.3.4 Aufgaben
8.3.5 Wiederholungsfragen
8.4 Zwei Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen
8.4.1 Riemannintegrierbarkeit monotoner Funktionen
8.4.2 Riemannintegrierbarkeit stetiger Funktionen
8.4.3 Mittelwertsätze der Integralrechnung
8.4.4 Riemannintegrierbarkeit einer Lipschitzstetigen Komposition
8.4.5 Aufgaben
8.4.6 Wiederholungsfragen
8.5 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
8.5.1 Der Fundamentalsatz
8.5.2 Stammfunktionen
8.5.3 Aufgaben
8.5.4 Wiederholungsfragen
8.6 Integrationsregeln
8.6.1 Die Regel der partiellen Integration
8.6.2 Die Substitutionsregel
8.6.3 Aufgaben
8.6.4 Wiederholungsfragen
8.7 Integration und Grenzwertbildung
8.7.1 Der Vertauschbarkeitssatz
8.7.2 Aufgaben
8.7.3 Wiederholungsfragen
Teil III: Metrische Räume
9.1 Metrische Räume
9.1.1 Definition metrischer Räume
9.1.2 Beispiele metrischer Räume
9.1.3 Aufgaben
9.1.4 Wiederholungsfragen
9.2 Normierte Räume
9.2.1 Definition normierter Räume
9.2.2 Metrische und normierte Räume
9.2.3 Beispiele normierter Räume
9.2.4 Äquivalente Normen
9.2.5 Aufgaben
9.2.6 Wiederholungsfragen
9.3 Offene Mengen
9.3.1 Offene Umgebungen
9.3.2 Das Hausdorffsche Trennungsaxiom
9.3.3 Offene Mengen
9.3.4 Durchschnitt und Vereinigung offener Mengen
9.3.5 Innere Punkte und Inneres von Mengen
9.3.6 Aufgaben
9.3.7 Wiederholungsfragen
9.4 Abgeschlossene Mengen
9.4.1 Definition abgeschlossener Mengen
9.4.2 Durchschnitt und Vereinigung abgeschlossener Mengen
9.4.3 Randpunkte und Rand
9.4.4 Aufgaben
9.4.5 Wiederholungsfragen
9.5 Topologische Räume
9.5.1 Definition topologischer Räume
9.5.2 Offene und abgeschlossene Mengen
9.5.3 Aufgaben
9.5.4 Wiederholungsfragen
10 Konvergenz in metrischen Räumen
10.1 Konvergente Folgen
10.1.1 Definition von Konvergenz
10.1.2 Charakterisierung abgeschlossener Mengen
10.1.3 Aufgaben
10.1.4 Wiederholungsfragen
10.2 Banachräume
10.2.1 Cauchyfolgen
10.2.2 Definition von Vollständigkeit
10.2.3 Der Cantorsche Durchschnittssatz
10.2.4 Aufgaben
10.2.5 Wiederholungsfragen
10.3 Stetige Abbildungen
10.3.1 Definition von Stetigkeit
10.3.2 Ein topologisches Stetigkeitskriterium
10.3.3 Der Raum der stetigen Funktionen
10.3.4 Aufgaben
10.3.5 Wiederholungsfragen
11.1 Einführung
11.1.1 Überdeckungskompaktheit
11.1.2 Beispiele
11.1.3 Aufgaben
11.1 4 Wiederholungsfragen
11.2 Sätze über kompakte Mengen
11.2.1 Der Satz von Heine und Borel
11.2.2 Konvergente Folgen und Kompaktheit
11.2.3 Der Weierstraßsche Häufungsstellensatz
11.2.4 Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen
11.2.5 Der Fundamentalsatz von Weierstraß
11.2.5 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
11.2.7 Wiederholungsfragen
Teil IV: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
12.1 Kurven im Euklidischen Raum
12.1.1 Stetige Kurvenparametrisierungen
12.1.2 Reguläre Kurvenparametrisierungen
12.1.3 Tangentialvektoren
12.1.4 Parametertransformationen
12.1.5 Parametertransformationen und Äquivalenzklassen
12.1.6 Bogenlängenparametrisierung und Bogenlänge
12.1.7 Aufgaben
12.1.8 Wiederholungsfragen
12.2 Flächen im Euklidischen Raum
12.2.1 Stetige Flächenparametrisierungen
12.2.2 Partielle Ableitungen
12.2.3 Reguläre Flächenparametrisierungen
12.2.4 Darstellungsformen für Flächen
12.2.5 Tangentialvektoren
12.2.6 Aufgaben
12.2.7 Wiederholungsfragen
13 Partielle und vollständige Differenzierbarkeit
13.1 Partielle Differenzierbarkeit
13.1.1 Die Kettenregel
13.1.2 Der Mittelwertsatz
13.1.3 Richtungsableitungen
13.1.4 Partielle Differenzierbarkeit und Stetigkeit
13.1.5 Funktionen mit verschwindendem Gradienten auf Gebieten
13.1.6 Aufgaben
13.1.7 Wiederholungsfragen
13.2 Vollständige Differenzierbarkeit
13.2.1 Definition der vollständigen Differenzierbarkeit
13.2.2 Partielle Differenzierbarkeit und vollständige Differenzierbarkeit
13.2.3 Funktionen mit verschwindendem Gradienten auf Gebieten
13.2.4 Aufgaben
13.2.5 Wiederholungsfragen
13.3 Ableitungen höherer Ordnung
13.3.1 Definition höherer Ableitungen
13.3.2 Der Satz von Schwarz
13.3.3 Ein Beispiel
13.3.4 Vollständige Differenziale
13.3.5 Aufgaben
13.3.6 Wiederholungsfragen
14 Taylorsche Formel und Extremwertaufgaben
14.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema
14.1.1 Die Taylorsche Formel
14.1.2 Minima und Maxima
14.1.3 Eine notwendige Bedingung erster Ordnung
14.1.4 Eine hinreichende Bedingung erster Ordnung
14.1.5 Die Hessesche Form
14.1.6 Eine hinreichende Bedingung zweiter Ordnung
14.1.7 Aufgaben
14.1.8 Wiederholungsfragen
14.2 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen
14.2.1 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen
14.2.2 Lokale Umkehrbarkeit I
14.2.3 Lokale Umkehrbarkeit II
14.2.4 Zusammenfassung
14.2.5 Stetigkeit der Umkehrabbildung
14.2.6 Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung
14.2.7 Abschluss des Beweises
14.2.8 Aufgaben
14.2.9 Wiederholungsfragen
14.3 Der Satz über implizite Funktionen
14.3.1 Der Satz über implizite Funktionen
14.3.2 Reellwertige Funktionen in zwei Variablen
14.3.3 Aufgaben
14.3.4 Wiederholungsfragen
14.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
14.4.1 Lagrangemultiplikatoren
14.4.2 Ein Beispiel
14.4.3 Aufgaben
14.4.4 Wiederholungsfragen