| 9. Metrik und Topologie | 10. Konvergenz in metrischen Räumen | 11. Kompaktheit |
| 12. Kurven und Flächen | 13. Partielle und vollständige Differenzierbarkeit | |
8. Das Riemannsche Integral
8.1 Einführung des Riemannschen Integrals
8.2 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen
8.3 Das Riemann-Darbouxsche Integral
8.4 Zwei Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen
8.5 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
8.1.1 Zerlegung von Intervallen
Es sei \( \mathcal Z \) eine Zerlegung des kompakten Intervalls \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) in \( N\in\mathbb N \) abgeschlossene Teilintervalle \( [x_{k-1},x_k]\subset[a,b] \) gemäß
\[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b. \]
Definition: Es heißt \[ \|{\mathcal Z}\|:=\max\{x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots,x_N-x_{N-1}\} \] das Feinheitsmaß der Zerlegung \( {\mathcal Z}. \)
Nun betrachten wir Folgen von Zerlegungen eines Intervalls mit verschiedenen Feinheitsmaßen.
Definition: Besitzt die Zerlegungsfolge \[ \left\{{\mathcal Z}^{(n)}\right\}_{n=1,2,\ldots} \quad\mbox{mit}\quad {\mathcal Z}^{(n)}\,:\,a=x_0\lt x_1^{(n)}\lt x_2^{(n)}\lt\ldots\lt x_{N^{(n)}}=b,\ n=1,2,\ldots,\] des kompakten Intervalls \( [a,b]\subset\mathbb R \) die Eigenschaft \[ \lim_{n\to\infty}\left\|{\mathcal Z}^{(n)}\right\|=0, \] so sprechen wir von einer ausgezeichneten Zerlegungsfolge.
8.1.2 Die Riemannsche Zwischensumme
Definition: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) sei eine Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) gegeben. Ferner sei \( {\mathcal Z} \) eine Zerlegung von \( [a,b]\subset\mathbb R \) in Teilintervalle \( [x_{k-1},x_k], \) \( k=1,2,\ldots,N, \) und es sei \[ \xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_N)\in\mathbb R^N\quad\mbox{mit}\quad\xi_i\in[x_{i-1},x_i] \] ein Zwischenwertvektor. Dann heißt \[ R(f,{\mathcal Z},\xi):=\sum_{i=1}^Nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \] die Riemannsche Zwischensumme von \( f(x) \) bez. der Zerlegung \( \mathcal Z \) und dem Zwischenvektor \( \xi\in\mathbb R^N. \)
8.1.3 Riemannintegrierbarkeit und Riemannsches Integral
Definition: Es sei \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) ein kompaktes Intervall. Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) heißt Riemannintegrierbar auf \( [a,b]\subset\mathbb R, \) falls für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge \( \{{\mathcal Z}^{(n)}\}_{n=1,2,\ldots} \) von \( [a,b] \) und jede hierzu gehörige Folge von Zwischenwertvektoren \( \xi^{(n)}\in\mathbb R^{N^{(n)}}, \) \( n=1,2,\ldots, \) die Folge der Riemannschen Zwischensummen \[ R\big(f,{\mathcal Z}^{(n)},\xi^{(n)}\big),\quad n=1,2,\ldots, \] gegen einen und denselben Wert konvergiert. In diesem Fall schreiben wir \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx:=\lim_{n\to\infty}R\big(f,{\mathcal Z}^{(n)},\xi^{(n)}\big) \] und bezeichnen die linke Seite als das Riemannsche Integral von \( f(x). \)
Bemerkung: Wir setzen \[ \int\limits_a^af(x)\,dx:=0. \] Für den hier vorherrschenden Fall \( a\lt b \) vereinbaren wir außerdem \[ \int\limits_b^af(x)\,dx:=-\int\limits_a^bf(x)\,dx. \]
Bemerkung: Der Wert \( \displaystyle\int\limits_a^bf(x)\,dx \) ist in diesem Fall auch eindeutig. Desweiteren gilt \[ \left|\,\int\limits_a^bf(x)\,dx\right|\lt\infty\,, \] was wir der später zu beweisenden Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen entnehmen.
8.1.4 Kriterien zur Riemannintegrierbarkeit
Unser erstes Grenzwertkriterium ist nicht anderes als eine exaktere Formulierung der Definition der Riemannintegrierbarkeit.
Satz: Es ist \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) Riemannintegrierbar genau dann, falls es ein \( I\in\mathbb R \) gibt, so dass für alle \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) existiert mit \[ |R(f,{\mathcal Z},\xi)-I|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ {\mathcal Z}\ \mbox{mit}\ \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon) \] und mit zu \( {\mathcal Z} \) gehörigem Zwischenwertvektor \( \xi. \)
In diesem Fall gilt \[ I=\int\limits_a^bf(x)\,dx. \]
Das nachstehende Cauchykriterium macht vom Grenzwert \( I\in\mathbb R \) keinen Gebrauch:
Satz: Es ist \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) Riemannintegrierbar genau dann, wenn zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) existiert, so dass für zwei beliebige Zerlegungen \( {\mathcal Z}^{(1)} \) und \( {\mathcal Z}^{(2)} \) von \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \[ \left\|{\mathcal Z}^{(1)}\right\|\lt\delta(\varepsilon)\quad\mbox{und}\quad\left\|{\mathcal Z}^{(2)}\right\|\lt\delta(\varepsilon) \] und für beliebige zugehörige Zwischenwertvektoren \( \xi^{(1)} \) und \( \xi^{(2)} \) gilt \[ \left|R\big(f,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)-R\big(f,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)\right|\lt\varepsilon. \]
Beweise dieser Aussagen werden wir in den Übungen nachholen.
8.1.5 Die Dirichletsche Sprungfunktion
Diese Funktion \[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & x\in[0,1]\cap\mathbb Q \\ 0, & x\in[0,1]\setminus\mathbb Q \end{array} \right. \] ist in keinem Punkt \( x\in[0,1] \) stetig, und sie ist auch nicht Riemannintegrierbar auf \( [0,1]. \) Beachte nämlich folgendes:
| \( \circ \) | Wählen wir als Zwischenwerte \( \xi_i \) ausschließlich rationale Punkte \( \xi_i=p_i, \) \( i=1,\ldots, N, \) so ist |
\[ R(f,{\mathcal Z},\xi) =\sum_{i=1}^Nf(p_i)(x_i-x_{i-1}) =\sum_{i=1}^N(x_i-x_{i-1}) =1. \]
| \( \circ \) | Wählen wir als Zwischenwerte \( \xi_i \) ausschließlich irrationale Punkte \( \xi_i=r_i, \) \( i=1,\ldots, N, \) so ist |
\[ R(f,{\mathcal Z},\xi) =\sum_{i=1}^Nf(r_i)(x_i-x_{i-1}) =\sum_{i=1}^N0\cdot(x_i-x_{i-1}) =0. \] Angenommen, \( f(x) \) ist Riemannintegrierbar mit Integralwert \( I. \) Seien ein \( \varepsilon\lt\frac{1}{2} \) gewählt und dazu ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0. \) Für eine Zerlegung \( {\mathcal Z} \) mit \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon) \) und rationalem Zwischenwertvektor \( p \) bzw. irrationalem Zwischenwertvektor \( r \) finden wir \[ \begin{array}{lll} 1\negthickspace & = & \negthickspace |R(f,{\mathcal Z},p)-R(f,{\mathcal Z},r)| \\ & \le & \negthickspace |R(f,{\mathcal Z},p)-I|+|I-R(f,{\mathcal Z},r)| \\ & \lt & \negthickspace \varepsilon+\varepsilon \,\lt\,1. \end{array} \] Das ist ein Widerspruch, d.h. die Dirichletsche Sprungfunktion ist nicht Riemannintegrierbar.
Aufgaben - Zerlegung von Intervallen
Aufgabe 8.1.1: (Beispiele ausgezeichneter Zerlegungsfolgen)
Geben Sie von folgenden Intervallen \( I\subset\mathbb R \) jeweils eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge an. Wie lauten jeweils \( \|{\mathcal Z}^{(n)}\|? \)
| (i) | \( I=[0,1] \) | (ii) | \( I=[a,b] \) mit \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \) |
Aufgaben - Die Riemannsche Zwischensumme
Aufgabe 8.1.2: (Beispiele Riemannscher Zwischensummen)
Geben Sie zu folgenden Funktionen \( f(x) \) jeweils an
| \( \circ \) | eine Zerlegung in \( N \) Teilintervalle |
| \( \circ \) | und einen zu dieser Zerlegung gehörigen Zwischenwertvektor \( \xi\in\mathbb R^N. \) |
Berechnen Sie dann jeweils die Riemannsche Zwischensumme.
| (i) | \( f(x)=5 \) auf \( I=[0,10] \) mit \( N=10 \) |
| (ii) | \( f(x)=x \) auf \( I=[0,4] \) mit \( N=10 \) |
Aufgabe 8.1.3: (Riemannschen Zwischensummen und Dirichlets Sprungfunktion)
Betrachten Sie die Dirichletsche Sprungfunktion \[ f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1]\cap\mathbb Q \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1]\setminus\mathbb Q \end{array} \right.. \] Sei nun \( {\mathcal Z} \) eine Zerlegung von \( [0,1]\subset\mathbb R \) in \( N=1000 \) Teilintervalle beliebiger Länge. Berechnen Sie die Riemannschen Zwischensummen
| (i) | zu einem Zwischenwertvektor \( \xi\in\mathbb R^N \) mit \( \xi_i\in\mathbb Q \) für alle \( i=1,\ldots,1000 \) |
| (ii) | und zu einem Zwischenwertvektor \( \xi\in\mathbb R^N \) mit \( \xi_i\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \) für alle \( i=1,\ldots,1000. \) |
Aufgaben - Riemannintegrierbarkeit und Riemannsches Integral
Aufgabe 8.1.4: (Beispiel einer Riemannintegrierbaren Funktion)
Beweisen Sie, dass die Funktion \[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=2 \] auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar ist. Ermitteln Sie insbesondere \[ \int\limits_0^1f(x)\,dx \] durch explizites Auswerten Riemannscher Zwischensummen.
Aufgabe 8.1.5: (Abänderung einer Riemannintegrierbaren Funktion)
Betrachten Sie die Funktion \( f\colon[0,2]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,2]\setminus\{1\} \\ 1, & \quad\mbox{falls}\ x=1 \end{array} \right.. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) auf \( [0,2] \) Riemannintegrierbar ist. Ermitteln Sie insbesondere das Riemannsche Integral \[ I:=\int\limits_0^2f(x)\,dx. \]
Aufgaben - Kriterien zur Riemannintegrierbarkeit
Aufgabe 8.1.6: (Beispiel zum Grenzwertkriterium I)
Beweisen Sie mit Hilfe des Grenzwertkriteriums aus Paragraph 8.1.4, dass die Funktion \[ f(x)=2,\quad x\in[0,1], \] auf \( [0,1] \) Riemannintegrierbar ist. Ermitteln Sie insbesondere \[ I=\int\limits_0^1f(x)\,dx. \]
Aufgabe 8.1.7: (Beispiel zum Grenzwertkriterium II)
Beweisen Sie mit Hilfe des Grenzwertkriteriums aus Paragraph 8.1.4, dass die Funktion \[ f(x)=x,\quad x\in[0,1], \] auf \( [0,1] \) Riemannintegrierbar ist. Ermitteln Sie insbesondere \[ I:=\int\limits_0^1f(x)\,dx. \]
Aufgabe 8.1.8: (Beispiel zum Cauchykriterium)
Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchykriteriums aus Paragraph 8.1.4, dass die Funktion \[ f(x)=x,\quad x\in[0,1], \] auf \( [0,1] \) Riemannintegrierbar ist.
Aufgabe 8.1.9: (Eindeutigkeit des Riemannschen Integrals)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) Riemannintegrierbar. Beweisen Sie mit Hilfe des Grenzwertkriteriums, dass dann der Wert \[ I:=\int\limits_a^bf(x)\,dx \] des Riemannschen Integrals eindeutig ist.
Aufgabe 8.1.10: (Einfügen eines Teilungspunktes)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) sei \( f(x) \) Riemannintegrierbar. Ferner sei \( c\in(a,b). \) Beweisen Sie, dass \( f(x) \) dann auch auf \( [a,c]\subset\mathbb R \) und \( [c,b]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar ist, und dass gilt \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx=\int\limits_a^cf(x)\,dx+\int\limits_c^bf(x)\,dx. \]
Aufgabe 8.1.11: (Beweis des Grenzwertkriteriums)
Beweisen Sie den ersten Satz aus Paragraph 8.1.4.
Aufgabe 8.1.12: (Beweis des Cauchykriteriums)
Beweisen Sie den zweiten Satz aus Paragraph 8.1.4.
Aufgaben - Die Dirichletsche Sprungfunktion
Aufgabe 8.1.13: (Integrierbarkeit von Funktion und Betrag)
Geben Sie ein jeweils Beispiel einer Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) mit nachstehender Eigenschaft, und begründen Sie.
| (i) | \( f(x) \) und \( |f(x)| \) sind Riemannintegrierbar |
| (ii) | \( f(x) \) ist nicht Riemannintegrierbar, \( |f(x)| \) ist Riemannintegrierbar |
Aus der Riemannintegrierbarkeit von \( |f(x)| \) folgt also nicht notwendig die Integrierbarkeit von \( f(x). \)
| 1. | Was versteht man unter einer Zerlegung eine kompakten reellen Zahlenintervall? |
| 2. | Was versteht man unter dem Feinheitsmaß einer Zerlegung? |
| 3. | Was versteht man unter einer ausgezeichneten Zerlegungsfolge? |
| 4. | Was versteht man unter einem Zwischenwertvektor einer Zerlegung? |
| 5. | Was versteht man unter einer Riemannschen Zwischensumme? |
| 6. | Wann heißt eine Funktion Riemannintegrierbar? |
| 7. | Wie ist das Riemannsche Integral definiert? |
| 8. | Wie lautet das Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit? |
| 9. | Wie lautet das Cauchykriterium zur Riemannintegrierbarkeit? |
| 10. | Wie ist die Dirichletsche Sprungfunktion definiert? |
| 11. | Begründen Sie, weshalb die Dirichletsche Sprungfunktion nicht Riemannintegrierbar ist. |
8.2.1 Linearität des Riemannschen Integrals
Satz: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) zwei Riemannintegrierbare Funktionen. Ferner seien \( \alpha,\beta\in\mathbb R. \) Dann ist auch \[ h(x):=\alpha f(x)+\beta g(x),\quad x\in[a,b], \] auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar mit \[ \int\limits_a^b\Big\{\alpha f(x)+\beta g(x)\Big\}\,dx =\alpha\int\limits_a^bf(x)\,dx+\beta\int\limits_a^bg(x)\,dx. \]
Auf der Menge der Riemannintegrierbaren Funktionen ist das Riemannsche Integral also linear. Einen Beweis dieses Satzes verschieben wir in die Übungen.
Bemerkung: Unter Verwendung des Riemann-Darboux-Integrals werden wir später zeigen, dass auch das Produkt \( f(x)g(x) \) Riemannintegrierbar auf \( [a,b] \) ist.
8.2.2 Monotonie des Riemannschen Integrals
Auch einen Beweis des folgenden Satzes belassen wir als Übung.
Satz: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) zwei Riemannintegrierbare Funktionen. Dann sind die folgenden Aussagen richtig:
| (i) | Ist \( f(x)\ge 0 \) für alle \( x\in[a,b], \) so gilt auch \( \displaystyle\int\limits_a^bf(x)\,dx\ge 0. \) |
| (ii) | Ist \( f(x)\le g(x) \) für alle \( x\in[a,b], \) so gilt auch \( \displaystyle\int\limits_a^bf(x)\,dx\le\int\limits_a^bg(x)\,dx. \) |
8.2.3 Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen
Riemanns Definition des Integrals zieht notwendig die Beschränktheit integrierbarer Funktionen nach sich, weshalb wir in der Definition des Integrals auf diese Eigenschaft der zu integrierenden Funktionen verzichten durften.
Satz: Ist die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) Riemannintegrierbar, so ist sie über \( [a,b] \) auch beschränkt.
| 1. | Zu \( \varepsilon=\frac{1}{2} \) wählen wir ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0, \) so dass für jede Zerlegung \( {\mathfrak Z} \) mit \( \|{\mathfrak Z}\|\lt\delta(\varepsilon) \) und jedem beliebig zugehörigen Zwischenwertvektor \( \xi\in\mathbb R^N \) gilt |
| Setze nun |
| 2. | Sei \( x\in[a,b]\setminus\{\xi_1,\ldots,\xi_N\} \) beliebig gewählt, und sei \( i\in\mathbb N \) der kleinste Index mit \( x\in[x_{i-1},x_i]. \) Betrachte dann den neuen Zwischenwertvektor |
| Es folgt |
| denn beide Riemannschen Summen auf der rechten Seite unterscheiden sich nur in dem einen Summanden mit dem Index \( i. \) | |
| 3. | Mit der Dreiecksungleichung folgt |
| Wir schließen mit dem zweiten Beweispunkt |
| und Umstellen bringt |
8.2.4 Riemannintegrierbarkeit des Absolutbetrags
Folgendes Resultat ziehen wir an dieser Stelle bereits vor und werden es in einer späteren Übungsaufgabe beweisen, wenn wir im Besitz der Riemann-Darbouxschen Summen sind.
Satz: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) Riemannintegrierbar. Dann sind auch ihr Absolutbetrag \( |f(x)| \) sowie \[ \begin{array}{l} \displaystyle f^+(x):=\max\big\{f(x),0\big\}=\frac{|f(x)|+f(x)}{2}\,, \\ \displaystyle f^-(x):=\max\big\{-f(x),0\big\}=\frac{|f(x)|-f(x)}{2} \end{array} \] Riemannintegrierbar auf \( [a,b]. \) Ferner gilt die Dreiecksungleichung \[ \left|\,\int\limits_a^bf(x)\,dx\right| \le\int\limits_a^b|f(x)|\,dx \le(b-a)\cdot\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|. \]
Bemerkung: Unter der Voraussetzung der Riemannintegrierbarkeit gewinnen wir die Dreiecksungleichung unmittelbar aus der gewöhnlichen Dreiecksungleichung zwischen reellen Zahlen durch Betrachten Riemannscher Summen.
Aufgaben - Linearität des Riemannschen Integrals
Aufgabe 8.2.1: (Ein einfaches Beispiel zur Linearität des Integrals)
Beweisen Sie, dass die Funktion \[ f(x)=2-3x\,,\quad x\in[0,1], \] auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar ist. Berechnen Sie auch den Wert des Integrals \( \displaystyle\int\limits_0^1f(x)\,dx. \)
Aufgabe 8.2.2: (Linearität des Riemannintegrals)
Beweisen Sie den Satz aus Paragraph 8.2.1.
Aufgaben - Monotonie des Riemannschen Integrals
Aufgabe 8.2.3: (Beweis der Monotonieeigenschaften des Riemannintegrals)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) zwei Riemannintegrierbare Funktionen. Beweisen Sie dann die Richtigkeit der folgenden Aussagen:
| (i) | Ist \( f(x)\ge 0 \) für alle \( x\in[a,b], \) so gilt \( \displaystyle\int\limits_a^bf(x)\,dx\ge 0. \) |
| (ii) | Ist \( f(x)\le g(x) \) für alle \( x\in[a,b], \) so gilt \( \displaystyle\int\limits_a^bf(x)\,dx\le\int\limits_a^bg(x)\,dx. \) |
Aufgabe 8.2.4: (Zum Riemannintegral nichtnegativer Funktionen)
Geben Sie ein Beispiel einer Riemannintegrierbaren Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) an, welche folgende drei Eigenschaften besitzt:
| \( \circ \) | \( f(x)\ge 0 \) für alle \( x\in[0,1] \) | \( \circ \) | \( f(x_0)\gt 0 \) für ein \( x_0\in(0,1) \) |
| \( \circ \) | \( \displaystyle\int\limits_0^1f(x)\,dx=0 \) |
Aufgabe 8.2.5: (Riemannintegral gerader und ungerader Funktionen)
Auf dem kompakten Intervall \( [-a,a]\subset\mathbb R \) mit \( a\gt 0 \) sei eine Riemannintegrierbare Funktion \( f\colon[-a,a]\to\mathbb R \) gegeben. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
| (i) | Ist \( f(x) \) gerade, so gilt |
\[ \int\limits_{-a}^af(x)\,dx=2\int\limits_0^af(x)\,dx. \]
| (ii) | Ist \( f(x) \) ungerade, so gilt |
\[ \int\limits_{-a}^af(x)\,dx=0. \]
Aufgabe 8.2.6: (Bestimmen von Riemannintegralen aus Symmetrien)
Unter der Annahme der Riemannintegrierbarkeit sämtlicher auftretender Funktionen sind folgende Integrale durch Symmetriebetrachtungen zu bestimmen.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_{-1}^1x^3\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_{-1}^1|x|\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_{-1}^1x^3\cos x\,dx \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_{-1}^1(\sin x+2x)\,dx \) |
Aufgaben - Beschränktheit Riemannintegrierbarer Funktionen
Aufgabe 8.2.7: (Nicht-Riemannintegrierbarkeit unbeschränkter Funktionen I)
Skizzieren Sie die Funktion \[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{x}\,, & \quad\mbox{falls}\ x\in(0,1] \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x=0 \end{array} \right., \] und beweisen Sie ihre Nicht-Riemannintegrierbarkeit durch explizites Auswerten geeigneter Riemannscher Zwischensummen - Zitieren des Satzes aus Paragraph 8.2.3 genügt nicht.
Aufgabe 8.2.8: (Nicht-Riemannintegrierbarkeit unbeschränkter Funktionen II)
Skizzieren Sie die Funktion \[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{1-x}\,, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1)\cup(1,2] \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x=1 \end{array} \right., \] und begründen Sie mit einem Satz aus der Vorlesung ihre Nicht-Riemannintegrierbarkeit.
Aufgabe 8.2.9: (Eine nicht Riemannintegrierbare Ableitung)
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x\sqrt{x}\,\sin\frac{1}{x}\,, & \quad\mbox{falls}\ x\gt 0 \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x=0 \end{array} \right.. \] Verifizieren Sie \[ f'(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\,\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\,\cos\frac{1}{x}\,, & \quad\mbox{falls}\ x\gt 0 \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x=0 \end{array} \right.. \] Begründen Sie mit einem Satz aus der Vorlesung, dass die Ableitung \( f'(x) \) auf keinem Intervall \( [0,a] \) mit \( a\gt 0 \) Riemannintegrierbar ist.
(H. Heuser: Lehrbuch der Analysis 2. Aufgabe 13, Abschnitt 79)
Aufgaben - Riemannintegrierbarkeit des Absolutbetrags
Aufgabe 8.2.10: (Dreiecksungleichung für Riemannintegrale)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) sowie \( |f(x)| \) Riemannintegrierbar. Zeigen Sie die Gültigkeit von \[ \left|\,\int\limits_a^bf(x)\,dx\right|\le\int\limits_a^b|f(x)|\,dx. \]
Aufgabe 8.2.11: (Lipschitzstetigkeit spezieller uneigentlicher Integrale)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) und \( |f(x)| \) Riemannintegrierbar. Weiter setzen wir \[ F(x):=\int\limits_a^xf(t)\,dt,\quad x\in[a,b]. \] Zeigen Sie, dass es ein \( M\in[0,\infty) \) gibt mit der Eigenschaft \[ |F(x)-F(y)|\le M|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b], \] d.h. die Funktion \( F(x) \) ist auf \( [a,b] \) Lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstanten \( M. \)
| 1. | Was bedeutet Linearität des Riemannschen Integrals? |
| 2. | Welche Aussagen haben wir unter dem Stichwort Monotonie des Riemannintegrals kennengelernt? |
| 3. | Sind Riemannintegrierbare Funktionen notwendig beschränkt? |
| 4. | Was können Sie üner die Riemannintegrierbarkeit einer Funktion und ihres Absolutbetrages aussagen? |
| 5. | Wie lautet die Dreiecksungleichung des Riemannschen Integrals? |
8.3.1 Untersummen und Obersummen
Wir betrachten eine Zerlegung \( \mathcal Z \) des kompakten Intervalls \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) gemäß \[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b. \] Sei weiter \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) eine beschränkte Funktion. Für \( i=1,\ldots,N \) setzen wir \[ \begin{array}{l} m_i:=\inf\big\{f(x)\,:\,x_{i-1}\le x\le x_i\big\}\,, \\ M_i:=\sup\big\{f(x)\,:\,x_{i-1}\le x\le x_i\big\}\,. \end{array} \]
Definition: Es heißen \[ \underline S(f,{\mathcal Z}):=\sum_{i=1}^Nm_i(x_i-x_{i-1}) \] die untere Riemann-Darboux-Summe und \[ \overline S(f,{\mathcal Z}):=\sum_{i=1}^NM_i(x_i-x_{i-1}) \] die obere Riemann-Darboux-Summe der beschränkten Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) bez. der Zerlegung \( {\mathcal Z}. \)
Bemerkung: Mit den Setzungen \[ \begin{array}{l} m:=\inf\big\{f(x)\,:\,a\le x\le b\big\}\,, \\ M:=\sup\big\{f(x)\,:\,a\le x\le b\big\}\,. \end{array} \] gelten \[ m(b-a)\le\underline S(f,{\mathcal Z})\le\overline S(f,{\mathcal Z})\le M(b-a). \]
8.3.2 Riemann-Darboux-Integrierbarkeit
Definition: Als das untere bzw. obere Riemann-Darboux-Integral der beschränkten Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) bezeichnen wir \[ \begin{array}{l} \underline{\mathcal D}(f):=\sup\big\{\underline S(f,{\mathcal Z})\,:\,{\mathcal Z}\ \mbox{ist Zerlegung von}\ [a,b]\}\,, \\ \overline{\mathcal D}(f):=\inf\big\{\overline S(f,{\mathcal Z})\,:\,{\mathcal Z}\ \mbox{ist Zerlegung von}\ [a,b]\}\,. \end{array} \] Stimmen beide Werte überein, so heißt \( f(x) \) auf \( [a,b] \) Riemann-Darboux-integrierbar, und wir schreiben \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx:=\underline{\mathcal D}(f)=\overline{\mathcal D}(f). \]
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8.3.3 Äquivalenz beider Integralbegriffe
Dass wir in der Definition der Riemann-Darboux-Integrierbarkeit das bekannte Symbol \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx \] für das Integral verwenden dürfen, wir durch folgendes zentrale Resultat gerechtfertigt.
Satz: Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) ist genau dann auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) Riemannintegrierbar, wenn sie auf \( [a,b] \) beschränkt und Riemann-Darbouxintegrierbar ist.
Mit unserem Beweis folgen wir D.S. Kurtz und C.W. Swartz: Theories of integration. Wir benötigen zunächst zwei Hilfssätze.
Hilfssatz: (Darbouxsches Integrierbarkeitskriterium)
Die beschränkte Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) ist genau dann auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) Riemann-Darboux-integrierbar, wenn es zu beliebig gegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) eine Zerlegung \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b] \) gibt mit \[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\varepsilon. \]
Wir gehen nach dem Lehrbuch von D.S. Kurtz und C.W. Swartz, Beweis von Theorem 2.19 vor und müssen zwei Richtungen beweisen.
| 1. | Ist \( f(x) \) Riemann-Darbouxintegrierbar, so folgt die Behauptung unmittelbar nach Definition der Integrierbarkeit. |
| 2. | Wir weisen nun die Riemann-Darbouxintegrierbarkeit von \( f(x) \) nach. Seien dazu ein \( \varepsilon\gt 0 \) und zu diesem eine Zerlegung \( {\mathcal Z} \) vorgelegt, die der Voraussetzung des Satzes genügen. Dann schätzen wir wie folgt ab: |
\[ \underline S(f,{\mathcal Z}) \le\underline{\mathcal D}(f) \le\overline{\mathcal D}(f) \le\overline S(f,{\mathcal Z}) \le\underline S(f,{\mathcal Z})+\varepsilon. \]
| Mit \( \varepsilon\to 0 \) folgt auch diese Richtung der Behauptung. |
Das beweist den ersten Hilfssatz.\( \qquad\Box \)
Hilfssatz: Die beschränkte Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) ist genau dann auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) Riemann-Darbouxintegrierbar, wenn zu beliebig vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) existiert mit \[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\varepsilon \] für alle Zerlegungen \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon). \)
Wir gehen nach dem Lehrbuch von D.S. Kurtz und C.W. Swartz, Beweis von Theorem 2.20 vor. Zunächst sei \[ |f(x)|\le K\in[0,\infty)\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \]
| 1. | Es sei \( f(x) \) Riemann-Darbouxintegrierbar auf \( [a,b]\subset\mathbb R. \) Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) gibt es nach vorigem Hilfssatz eine Zerlegung |
\[ {\mathcal Z}^*\,:\,a=x_0^*\lt x_1^*\lt x_2^*\lt\ldots\lt x_{N^*}^*=b,\quad N^*\in\mathbb N, \]
| mit der Eigenschaft |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z}^*)-\underline S(f,{\mathcal Z}^*)\lt\frac{\varepsilon}{2}\,. \]
| Wir definieren |
\[ \delta(\varepsilon):=\frac{\varepsilon}{8MN^*}\gt 0 \]
| und betrachten eine zweite Zerlegung |
\[ {\mathcal Z}\,:\,a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b,\quad N\in\mathbb N, \]
| mit Feinheitsmaß \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon). \) Für \( i=1,\ldots,N, \) setzen wir ferner |
\[ \begin{array}{l} m_i:=\inf\,\{f(x)\,:\,x_{i-1}\le x\le x_i\}\,, \\ M_i:=\sup\,\{f(x)\,:\,x_{i-1}\le x\le x_i\}\,. \end{array} \]
| Wir zerlegen \( {\mathcal Z} \) in zwei Klassen: |
\[ \begin{array}{l} I:=\{i\,:\,[x_{i-1},x_i]\ \mbox{enthält einen Zerlegungspunkt von}\ {\mathcal Z}^*\}\,, \\ J:=\{i\,:\,[x_{i-1},x_i]\ \mbox{enthält keinen Zerlegungspunkt von}\ {\mathcal Z}^*\}\,. \end{array} \]
| Damit schätzen wir ab |
\[ \sum_{i\in I}(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) \le 2K\cdot\sum_{i\in I}(x_i-x_{i-1}) \le 4K\cdot N^*\|{\mathcal Z}\|, \]
| denn höchstens \( 2N^* \) Teilintervalle der Zerlegung \( {\mathcal Z} \) enthalten einen Zerlegungspunkt von \( {\mathcal Z}^*, \) der sich nämlich im Innern eines oder auf dem Teilungspunkt zweier solcher Intervalle befinden kann. Wegen \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon) \) ist daher mit voriger Setzung für \( \delta(\varepsilon) \) |
\[ \sum_{i\in I}(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) \lt 4K\cdot N^*\delta(\varepsilon) \lt\frac{\varepsilon}{2}\,. \tag{\(\alpha\)} \]
| Im Fall \( i\in J \) existiert ein \( k\in\{1,\ldots,N^*\} \) mit \( [x_{i-1},x_i]\subset[x_{k-1}^*,x_k^*], \) und daher haben wir |
\[ \sum_{i\in J}(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) \overline S(f,{\mathcal Z}^*)-\underline S(f,{\mathcal Z}^*) \lt\frac{\varepsilon}{2} \tag{\(\beta\)} \]
| nach Konstruktion der Zerlegung \( {\mathcal Z}^*. \) Die Abschätzungen \( (\alpha), \) \( (\beta) \) zusammengefasst, folgt |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\varepsilon, \]
| womit diese Richtung der Behauptung des Hilfssatzes gezeigt ist. | |
| 2. | Nach Voraussetzung gibt es zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0, \) so dass |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\varepsilon \tag{\(\gamma\)} \]
| für alle Zerlegungen \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon). \) Insbesondere existiert zu beliebig gewähltem \( \varepsilon\gt 0 \) eine Zerlegung \( {\mathcal Z} \) mit der Eigenschaft \( (\gamma). \) Voriger Hilfssatz zeigt daher diese Richtung der Behauptung des Hilfssatzes. |
Damit ist der Hilfssatz vollständig bewiesen.\( \qquad\Box \)
Mit diesen beiden Hilfssätzen kommen wir nun zum Beweis des obigen Satzes über die Äquivalenz des Riemannschen Integrals und des Riemann-Darbouxschen Integrals.
Wir gehen in zwei Schritten vor.
| 1. | Es sei \( f(x) \) beschränkt und Riemann-Darbouxintegrierbar mit |
\[ I:=\underline{\mathcal D}(f)=\overline{\mathcal D}(f). \]
| Zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) wählen wir nach dem zweiten Hilfssatz eine Zerlegung |
\[ {\mathcal Z}\ :\ a=x_0\lt x_1\t x_2\lt\ldots\lt x_N=b \]
| von \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit Feinheitsmaß \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon). \) Dann gelten | |||||||||||||
|
| Wir fassen diese Ungleichungen zusammen und erhalten |
\[ |R(f,{\mathcal Z},\xi)-I|\lt\varepsilon, \]
| und das Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit aus Paragraph 8.1.4 liefert endlich die Riemannintegrierbarkeit von \( f(x). \) | |
| 2. | Sei nun \( f(x) \) Riemannintegrierbar auf \( [a,b]\subset\mathbb R. \) Dann ist \( f(x) \) auf diesem Intervall beschränkt. Nach dem ersten obigen Hilfssatz ist zu zeigen, dass zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) eine Zerlegung \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b]\subset\mathbb R \) existiert mit |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\varepsilon. \]
| Zunächst existiert nach Voraussetzung das Riemannsche Integral |
\[ I:=\int\limits_a^bf(x)\,dx, \]
| und nach dem Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit aus Paragraph 8.1.4 existiert eine Zerlegung |
\[ {\mathcal Z}\,:\,a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b \]
| mit \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon) \) und \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) geeignet, so dass |
\[ |R(f,{\mathcal Z},\xi)-I|\lt\frac{\varepsilon}{4} \tag{\(*\)} \]
| für beliebige Zwischenwertvektoren \( \xi\in\mathbb R^N \) richtig ist. Wir setzen |
\[ m_i:=\inf\{f(x)\,:\,x_{i-1}\le x\le x_i\}\,,\quad M_i:=\sup\{f(x)\,:\,x_{i-1}\le x\le x_i\} \]
| für \( i=1,\ldots,N. \) Dann existieren zu jedem \( [x_{i-1},x_i] \) Zwischenwerte \( \xi_i\in\mathbb R \) und \( \eta_i\in\mathbb R \) mit |
\[ f(\xi_i)-\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\lt m_i\,,\quad f(\eta_i)+\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\gt M_i \]
| für \( i=1,\ldots,N, \) die wir zu Zwischenwertvektoren \( \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N) \) bzw. \( \eta=(\eta_1,\ldots,\eta_N) \) zusammenfassen. Nun schätzen wir mit \( (*) \) wie folgt ab: |
\[ \begin{array}{lll} \overline S(f,{\mathcal Z})\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^NM_i(x_i-x_{i-1}) \\ & \lt & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(f(\eta_i)+\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\right)(x_i-x_{i-1}) \\ & = & \negthickspace\displaystyle R(f,{\mathcal Z},\eta)+\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\,\sum_{i=1}^N(x_i-x_{i-1}) \\ & \le & \negthickspace\displaystyle I+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4} \,=\,I+\frac{\varepsilon}{2}\,. \end{array} \]
| Analog erhalten wir |
\[ \underline S(f,{\mathcal Z})\ge I-\frac{\varepsilon}{2} \]
| unter Verwendung des Zwischenwertvektors \( \xi. \) Zusammengefasst ist also |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\varepsilon, \]
| und es folgt die behauptete Riemann-Darboux-Integrierbarkeit. |
Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)
Aufgaben - Untersummen und Obersummen
Aufgabe 8.3.1: (Abschätzung mit globalen Schranken)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) beschränkt. Mit den Setzungen \[ m:=\inf\{f(x)\,:\,a\le x\le b\}\,,\quad M:=\sup\{f(x)\,:\,a\le x\le b\} \] ist zu dann zeigen \[ m(b-a)\le\underline S(f,{\mathcal Z})\le\overline S(f,{\mathcal Z})\le M(b-a) \] für jede Zerlegung \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b]\subset\mathbb R. \)
Aufgabe 8.3.2: (Monotonie der Unter- und Obersummen)
Es seien \( {\mathcal Z} \) und \( {\mathcal Z}^* \) zwei Zerlegungen des kompakten Intervalls \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) in Teilintervalle \[ \begin{array}{l} I_k=[x_{k-1},x_k]\quad\mbox{für}\ k=1,\ldots,N\quad\mbox{bzw.} \\ I_k^*=[x_{k-1}^*,x_k^*]\quad\mbox{für}\ k=1,\ldots,N^*. \end{array} \] Wir setzen \[ m_i:=\inf\{f(x)\,:\,x\in I_i\}\,,\ldots,\,M_k^*:=\sup\{f(x)\,:\,x\in I_k^*\}\,. \] Wir sagen, die Zerlegung \( {\mathcal Z}^* \) ist eine Verfeinerung von \( {\mathcal Z}, \) falls gilt \[ \{a=x_0,x_1,\ldots,x_N=b\}\subseteq\{a=x_0^*,x_1^*,\ldots,x_{N^*}^*=b\}\,, \] in Zeichen \( {\mathcal Z}\subseteq{\mathcal Z}^*. \) Insbesondere gilt \( \|{\mathcal Z}^*\|\le\|{\mathcal Z}\|. \)
| (i) | Skizzieren Sie diese Situation an einem selbst gewählten Beispiel. |
| (ii) | Beweisen Sie allgemein: Ist \( {\mathcal Z}^* \) eine Verfeinerung von \( {\mathcal Z}, \) so gelten |
\[ \underline S(f,{\mathcal Z}^*)\ge\underline S(f,{\mathcal Z}),\quad \overline S(f,{\mathcal Z}^*)\le\overline S(f,{\mathcal Z}). \]
Aufgabe 8.3.3: (Obersummen majorisieren Untersummen)
Es seien \( {\mathcal Z}_1 \) und \( {\mathcal Z}_2 \) zwei Zerlegungen des kompakten Intervalls \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) und es sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) beschränkt. Beweisen Sie \[ \underline S(f,{\mathcal Z}_1)\le\overline S(f,{\mathcal Z}_2). \]
Aufgaben - Riemann-Darboux-Integrierbarkeit
Aufgabe 8.3.4: (Unteres und oberes Riemann-Darboux-Integral)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) beschränkt. Beweisen Sie \[ \underline{\mathcal D}(f)\le\overline{\mathcal D}(f). \]
Aufgabe 8.3.5: (Sub- und Superlinearität der Darbouxschen Integrale)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) beschränkt, und es sei \( \alpha\in\mathbb R. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( \displaystyle\underline{\mathcal D}(\alpha f)=\alpha\underline{\mathcal D}(f) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\overline{\mathcal D}(\alpha f)=\alpha\overline{\mathcal D}(f) \) |
| (iii) | \( \displaystyle\underline{\mathcal D}(f+g)\ge\underline{\mathcal D}(f)+\underline{\mathcal D}(g) \) |
| (iv) | \( \displaystyle\overline{\mathcal D}(f+g)\le\overline{\mathcal D}(f)+\overline{\mathcal D}(g) \) |
Aufgabe 8.3.6: (Riemann-Darboux-Integral und Dirichletsche Sprungfunktion)
Beweisen Sie, dass die Dirichletsche Sprungfunktion \[ f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1]\cap\mathbb Q \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1]\setminus\mathbb Q \end{array} \right. \] auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) nicht Riemann-Darboux-integrierbar ist.
Aufgaben - Äquivalenz beider Integralbegriffe
Aufgabe 8.3.7: (Anwendung des Darbouxschen Integrierbarkeitskriteriums)
Wir betrachten die Funktion \[ f(x)=x,\quad x\in[0,1]. \]
| (i) | Berechnen Sie \( \overline S(f,{\mathcal Z}) \) und \( \underline S(f,{\mathcal Z}) \) für eine äquidistante Zerlegung \( {\mathcal Z} \) von \( [0,1]\subset\mathbb R, \) also für eine Zerlegung in \( N\in\mathbb N \) gleich lange Teilintervalle \( [x_{i-1},x_i]\subset\mathbb[0,1] \) mit der Eigenschaft |
\[ |x_1-x_0|=|x_2-x_1|=\ldots=|x_N-x_{N-1}|. \]
| (ii) | Beweisen Sie unter Verwendung des Darbouxschen Integrierbarkeitskriteriums aus Paragraph 8.3.3 die Riemannintegrierbarkeit von \( f(x) \) auf \( [0,1]\subset\mathbb R. \) |
Aufgabe 8.3.8: (Fermatsche Integrationsmethode)
Es seien \( 0\lt a\lt b\lt\infty \) reelle Zahlen und \( m\in\mathbb N. \) Wir betrachten die Funktion \[ f(x)=x^m\,,\quad x\in[a,b], \] sowie eine Zerlegung \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b] \) mit Zerlegungspunkten \[ x_i=aq^i\,,\quad i=0,1,2,\ldots,N, \] wobei \( q\gt 1 \) geeignet zu wählen ist, so dass \( x_0=a \) und \( x_N=b. \)
| (i) | Verifizieren Sie |
\[ \underline S(f,{\mathcal Z})=(b^{m+1}-a^{m+1})\,\frac{q-1}{q^{m+1}-1}\,. \]
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z})=(b^{m+1}-a^{m+1})\,\frac{(q-1)q^m}{q^{m+1}-1}\,. \]
| (iii) | Beweisen Sie unter Verwendung des Darbouxschen Integrierbarkeitskriteriums aus Paragraph 8.3.3 die Riemannintegrierbarkeit von \( f(x) \) auf \( [a,b]\subset\mathbb R. \) |
(siehe auch C.B. Boyer: A history of mathematics. Chapter XVII, 1968)
| 1. | Wie sind die untere und die obere Riemann-Darboux-Summe bez. einer Zerlegung definiert? |
| 2. | Wie sind das untere und das obere Riemann-Darboux-Integral definiert? |
| 3. | Wann heißt eine Funktion Riemann-Darboux-integrierbar |
| 4. | Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Riemannintegrierbarkeit und der Riemann-Darbouxintegrierbarkeit? |
| 5. | Wie lautet das Darbouxsche Integrierbarkeitskriterium? |
8.4.1 Riemannintegrierbarkeit monotoner Funktionen
Satz: Eine auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) monotone Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) ist auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar.
Ohne Einschränkung sei \( f(x) \) nicht konstant und monoton wachsend. Es ist zunächst \[ |f(x)|\le\max\{|f(a)|,|f(b)|\}\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Seien nun \( \varepsilon\gt 0 \) und \[ {\mathcal Z}\,:\,a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b \] eine Zerlegung mit \[ \|{\mathcal Z}\|\le\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}\,. \] Mit den üblichen Setzungen für \( m_i \) und \( M_i \) haben wir \[ m_i=f(x_{i-1}),\quad M_i=f(x_i),\quad i=1,\ldots,N, \] auf Grund der Monotonie. Wir schätzen nun wie folgt ab \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^N(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^N\big\{f(x_i)-f(x_{i-1})\big\}\,(x_i-x_{i-1}) \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^N\big\{f(x_i)-f(x_{i-1})\big\}\,\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \big\{f(b)-f(a)\big\}\cdot\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)} \,=\,\varepsilon. \end{array} \] Nach dem Darbouxschen Integrierbarkeitskriterium sowie dem davorstehenden Satz aus Paragraph 8.3.3 ist \( f(x) \) Riemannintegrierbar.\( \qquad\Box \)
8.4.2 Riemannintegrierbarkeit stetiger Funktionen
Satz: Eine auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( a\lt b \) stetige Funktion ist auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar.
Die stetige Funktion \( f(x) \) ist auf \( [a,b]\subset\mathbb R \) beschränkt und gleichmäßig stetig. Zu \( \varepsilon\gt 0 \) existiert also ein \( \delta(\varepsilon)\gt 0 \) mit \[ |f(x)-f(y)|\lt\frac{\varepsilon}{b-a}\,,\quad\mbox{falls}\ |x-y|\lt\delta(\varepsilon). \] Sei jetzt \[ {\mathcal Z}\,:\,a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b \] eine Zerlegung mit \( \|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon). \) Wegen der Stetigkeit existieren \( \xi_i,\eta_i\in[x_{i-1},x_i] \) mit \[ m_i=f(\xi_i),\quad M_i=f(\eta_i),\quad i=1,\ldots,N, \] mit den üblichen Setzungen für \( m_i \) und \( M_i. \) Da \[ |\eta_i-\xi_i|\le\|{\mathcal Z}\|\lt\delta(\varepsilon), \] ist weiter \[ M_i-m_i=|f(\eta_i)-f(\xi_i)|\lt\frac{\varepsilon}{b-a}\,. \] Daraus folgt \[ \begin{array}{lll} \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z}) & = & \displaystyle \sum_{i=1}^N(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) \\ & \lt & \displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\varepsilon}{b-a}\,(x_i-x_{i-1}) \\ & = & \displaystyle \frac{\varepsilon}{b-a}\,\sum_{i=1}^N(x_i-x_{i-1}) \,=\,\varepsilon. \end{array} \] Nach dem Darbouxschen Integrierbarkeitskriterium ist \( f(x) \) Riemannintegrierbar.\( \qquad\Box \)
8.4.3 Mittelwertsätze der Integralrechnung
Wir beginnen mit dem
Satz: (Allgemeiner Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Es seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) Riemannintegrierbare und beschränkte Funktionen auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b. \) Ferner gelte \[ g(x)\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Dann existiert eine Zahl \[ \mu\in\left[\inf_{x\in[a,b]}f(x),\sup_{x\in[a,b]}f(x)\right] \] mit der Eigenschaft \[ \int\limits_a^bf(x)g(x)\,dx=\mu\int\limits_a^bg(x)\,dx. \]
Wir gehen in drei Schritten vor:
| 1. | Wir setzen wie üblich |
\[ m:=\inf_{x\in[a,b]}f(x),\quad M:=\sup_{x\in[a,b]}f(x). \]
| Weiter sei \( {\mathcal Z}^{(n)} \) eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von \( [a,b], \) und hieraus wählen wir eine beliege Zerlegung \( {\mathcal Z} \) von \( [a,b] \) in \( N\in\mathbb N \) Teilintervalle. Es folgt für einen beliebigen, zu \( {\mathcal Z} \) gehöhrigen Zwischenwertvektor \( \xi\in\mathbb R^N \) |
\[ m\sum_{i=1}^Ng(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \le\sum_{i=1}^Nf(\xi_i)g(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \le M\sum_{i=1}^Ng(\xi_i)(x_i-x_{i-1}), \]
| Wir wenden dieses Argument auf jede Zerlegung und jeden zugehöhrigen Zwischenwertvektor der ausgezeichneten Zerlegungsfolge an und erhalten unter Beachtung der Riemannintegrierbarkeit von \( f(x) \) und \( g(x) \) |
\[ m\int\limits_a^bg(x)\,dx\le\int\limits_a^bf(x)g(x)\,dx\le M\int\limits_a^bg(x)\,dx. \]
| 2. | Angenommen, es gilt |
\[ \int\limits_a^bg(x)\,dx=0. \]
| Dann gilt auch \( \displaystyle\int\limits_a^bf(x)g(x)\,dx=0, \) und wir setzen einfach |
\[ \mu:=\frac{m+M}{2}\,, \]
| so dass die Behauptung in diesem Fall richtig ist. | |
| 3. | Angenommen, es gilt |
\[ \int\limits_a^bg(x)\,dx\gt 0. \]
| Dann setzen wir |
\[ \mu:=\frac{\displaystyle\int\limits_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int\limits_a^bg(x)\,dx} \quad\mbox{mit}\quad \mu\in[m,M] \]
| unter Beachtung des ersten Beweispunktes. Auch jetzt gilt die Behauptung. |
Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)
Hieran schließen sich unmittelbar zwei Folgerungen an, deren Beweise wir als Übung belassen.
Folgerung: (Klassischer Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Ist in vorigem Satz \( g(x)=1 \) auf \( [a,b], \) so gilt \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx=\mu(b-a). \]
Folgerung: Ist in vorigem Satz \( f(x) \) stetig auf \( [a,b], \) so existiert ein \( \xi\in[a,b] \) mit \( f(\xi)=\mu. \)
8.4.4 Riemannintegrierbarkeit einer Lipschitzstetigen Komposition
Unser nächstes Resultat wird uns ein wichtiges Hilfsmittel bei der Integration großer Klassen von Funktionen sein. In den Übungen werden wir hierzu verschiedene Beispiele studieren.
Satz: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) und \( g\colon[a,b]\to\mathbb R \) zwei beschränkte Riemannintegrierbare Funktionen, so dass also mit einer Konstanten \( M\in(0,\infty) \) gilt \[ |f(x)|\le M,\quad |g(x)|\le M \quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Ferner sei \( H\colon[-M,M]\times[-M,M]\to\mathbb R \) eine bez. beider Argumenten Lipschitzstetige Funktion, d.h. mit einer reellen Zahl \( L\gt 0 \) gilt \[ |H(x,y)-H(x',y')|\le L|x-x'|+L|y-y'| \quad\mbox{für alle}\ x,x',y,y'\in[-M,M]. \] Dann ist auch die Komposition \[ h(x):=H(f(x),g(x)),\quad x\in[a,b], \] Riemannintegrierbar auf \( [a,b]. \)
Nach Voraussetzung sind \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) Riemannintegrierbar auf \( [a,b]. \) Zu \( \varepsilon\gt 0 \) existieren also
| \( \circ \) | eine Zerlegung \( {\mathcal Z}_f \) von \( [a,b] \) mit |
\[ \overline S(f,{\mathcal Z}_f)-\underline S(f,{\mathcal Z}_f)\lt\frac{\varepsilon}{2L} \]
| \( \circ \) | sowie eine Zerlegung \( {\mathcal Z}_g \) von \( [a,b] \) mit |
\[ \overline S(g,{\mathcal Z}_g)-\underline S(g,{\mathcal Z}_g)\lt\frac{\varepsilon}{2L}\,. \] Wir betrachten nun die zusammengesetzte Zerlegung \( {\mathcal Z}:={\mathcal Z}_f\cup{\mathcal Z}_g, \) und zwar \[ {\mathcal Z}\,:\,a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b,\quad N\in\mathbb N. \] Dann gelten zunächst, da \( {\mathcal Z} \) eine Verfeinerung von \( {\mathcal Z}_f \) und \( {\mathcal Z}_g \) ist, \[ \begin{array}{l} \underline S(f,{\mathcal Z}_f) \le\underline S(f,{\mathcal Z}) \le\overline S(f,{\mathcal Z}) \le\overline S(f,{\mathcal Z}_f), \\ \underline S(g,{\mathcal Z}_g) \le\underline S(g,{\mathcal Z}) \le\overline S(g,{\mathcal Z}) \le\overline S(g,{\mathcal Z}_g). \end{array} \] Es folgen \[ \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\frac{\varepsilon}{2L}\,,\quad \overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\lt\frac{\varepsilon}{2L}\,. \] Wir setzen \( I_k:=[x_{k-1},x_k]. \) Für beliebige \( x,x'\in I_k \) schätzen wir wie folgt ab \[ \begin{array}{lll} h(x)-h(x')\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle H(f(x),g(x))-H(f(x'),g(x')) \\ & \le & \negthickspace\displaystyle |H(f(x),g(x))-H(f(x'),g(x'))| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \le\,L|f(x)-f(x')|+L|g(x)-g(x')| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle L\cdot\left(\,\sup_{x\in I_k}f(x)-\inf_{x\in I}f(x)\right) +L\cdot\left(\,\sup_{x\in I_k}g(x)-\inf_{x\in I_k}g(x)\right). \end{array} \] Da diese Ungleichung für alle \( x,x'\in I_k \) richtig ist, folgt für alle \( k=1,2,\ldots,N \) \[ \sup_{x\in I_k}h(x)-\inf_{x\in I_k}h(x) \le L\cdot\left(\,\sup_{x\in I_k}f(x)-\inf_{x\in I}f(x)\right)+L\cdot\left(\,\sup_{x\in I_k}g(x)-\inf_{x\in I_k}g(x)\right) \] bzw. \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sup_{x\in I_k}h(x)\cdot(x_k-x_{k-1})-\inf_{x\in I_k}h(x)\cdot(x_k-x_{k-1}) \\ \qquad\displaystyle \le\,L\cdot\left(\sup_{x\in I_k}f(x)-\inf_{x\in I}f(x)\right)(x_k-x_{k-1}) +L\cdot\left(\sup_{x\in I_k}g(x)-\inf_{x\in I_k}g(x)\right)(x_k-x_{k-1}). \end{array} \] Wir addieren diese \( N \) Abschätzungen und erhalten \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=1}^N\sup_{x\in I_k}h(x)\cdot(x_k-x_{k-1})-\sum_{k=1}^N\inf_{x\in I_k}h(x)\cdot(x_k-x_{k-1}) \\ \qquad\displaystyle \le\,L\cdot\left\{\sum_{k=1}^N\sup_{x\in I_k}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})-\sum_{k=1}^N\inf_{x\in I_k}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\right\} \\ \qquad\quad\displaystyle +\,L\cdot\left\{\sum_{k=1}^N\sup_{x\in I_k}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})-\sum_{k=1}^N\inf_{x\in I_k}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\right\} \end{array} \] bzw. nach Definition der Unter- und Obersummen \[ \overline S(h,{\mathcal Z})-\underline S(h,{\mathcal Z}) \le L\cdot\Big\{\overline S(f,{\mathcal Z})-\underline S(f,{\mathcal Z})\Big\} +L\cdot\Big\{\overline S(g,{\mathcal Z})-\underline S(g,{\mathcal Z})\Big\} \] und damit \[ \overline S(h,{\mathcal Z})-\underline S(h,{\mathcal Z}) \lt L\cdot\frac{\varepsilon}{2L}+L\cdot\frac{\varepsilon}{2L} =\varepsilon. \] Das Darbouxsche Integrabilitätskriterium beweist die Behauptung.\( \qquad\Box \)
Aufgaben - Riemannintegrierbarkeit monotoner Funktionen
Aufgabe 8.4.1: (Beispiel einer monotonen Funktion)
Es seien \[ x_0:=0,\quad x_i:=1-\frac{1}{2^i}\ \mbox{für}\ i=1,2,\ldots \] Mit der charakteristischen Funktion \( \chi(x) \) betrachten wir die Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x):=\sum_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{2^i}\right)\chi_{[x_{i-1},x_i)}(x)\,,\quad f(0):=\frac{1}{2}\,,\ f(1):=1. \]
| (i) | Skizzieren Sie die Funktion. |
| (ii) | Besitzt diese Funktion eine Monotonie? Begründen Sie. |
| (iii) | Begründen Sie, dass \( f(x) \) auf \( [0,1] \) Riemannintegrierbar ist. |
Aufgabe 8.4.2: (Eine komplizierte monotone Funktion)
Es bezeichne \( \{q_1,q_2,q_3,\ldots\} \) eine Abzählung der rationalen Zahlen \( (0,1)\cap\mathbb Q. \) Wir betrachten ferner eine Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) gemäß \[ f(x):=\sum_{n\,:\,q_n\lt x}\frac{1}{2^n}\quad\mbox{mit}\ f(0):=0,\ f(1):=1. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) monoton und damit Riemannintegrierbar auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) ist.
(siehe Burk, F.: A garden of integrals. Abschnitt 3.5)
Aufgaben - Riemannintegrierbarkeit stetiger Funktionen
Aufgabe 8.4.3: (Riemannintegrierbarkeit der Weierstraßfunktion)
Beweisen Sie, dass die folgende Weierstraßsche Funktion \[ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a^k\cos(2\pi b^kx),\quad x\in[0,1], \] mit reellen Koeffizienten \( 0\lt a\lt 1 \) und \( 1\lt b\lt \infty, \) die \( ab\ge 1 \) genügen, auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar ist.
Aufgabe 8.4.4: (Zum Riemannintegral stetiger Funktionen I)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) eine stetige Funktion mit der Eigenschaft \[ f(x)\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Für ein \( x_0\in[a,b] \) gelte \( f(x_0)\gt 0. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx\gt 0. \]
Aufgabe 8.4.5: (Zum Riemannintegral stetiger Funktionen II)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) eine stetige Funktion mit der Eigenschaft \[ \int\limits_a^bf(x)g(x)\,dx=0 \] für alle stetigen Funktionen \( g\colon[a,b]\to\mathbb R \) mit \( g(a)=g(b)=0. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \( f\equiv 0 \) auf \( [a,b]\subset\mathbb R. \)
Aufgaben - Mittelwertsätze der Integralrechnung
Aufgabe 8.4.6: (Anwendung des klassischen Mittelwertsatzes)
Es seien \( n\in\mathbb N \) und \( a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R. \) Beweisen Sie unter Verwendung des klassischen Mittelwertsatzes der Integralrechnung, dass die Funktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x):=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx) \] im Intervall \( [0,\pi]\in\mathbb R \) eine Nullstelle besitzt.
Aufgabe 8.4.7: (Beweis der zweiten Folgerung)
Beweisen Sie die zweite Folgerung aus Paragraph 8.4.3.
Aufgaben - Riemannintegrierbarkeit einer Lipschitzstetigen Komposition
Aufgabe 8.4.8: (Riemannintegrierbarkeit Lipschitzstetiger Kompositionen)
Es sei \( I=[a,b]\subset\mathbb R \) ein kompaktes Intervall mit \( a\lt b, \) und es sei \( \lambda\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen \( H\colon I\times I\to\mathbb R \) Lipschitzstetig bez. beider Argumente im Sinne von Paragraph 8.4.4 sind:
| \( \circ \) | \( H(x,y):=x+y \) | \( \circ \) | \( H(x,y):=\lambda x \) |
| \( \circ \) | \( H(x,y):=xy \) | \( \circ \) | \( H(x,y):=|x| \) |
Wie lautet jeweils die Lipschitzkonstante \( L\gt 0? \) Es seien nun \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) zwei auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) Riemannintegrierbare Funktionen, und es sei \( \lambda\in\mathbb R. \) Folgern Sie, dass dann auch Riemannintegrierbar auf \( [a,b] \) sind:
| (i) | \( h(x):=f(x)+g(x) \) | (ii) | \( h(x):=\lambda f(x) \) |
| (iii) | \( h(x):=f(x)g(x) \) | (iv) | \( h(x):=|f(x)| \) |
Aufgabe 8.4.9: (Riemannintegrierbarkeit von Maximum und Minimum)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) zwei Riemannintegrierbare Funktionen. Beweisen Sie, dass dann auch
| (i) | \( \displaystyle h(x):=\max\,\{f(x),g(x)\}=\frac{1}{2}\,\big(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\big) \) |
| (ii) | \( \displaystyle h(x):=\min\,\{f(x),g(x)\}=\frac{1}{2}\,\big(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|\big) \) |
Riemannintegrierbar auf \( [a,b] \) sind. Dazu sind auch die angegebenen Darstellungen von \( \max\,\{f,g\} \) und \( \min\,\{f,g\} \) zu beweisen.
| 1. | Welche zwei Klassen von Funktionen haben wir als Riemannintegrierbar kennengelernt? |
| 2. | Wie lautet der allgemeine Mittelwertsatz der Integralrechnung? |
| 3. | Welche zwei Folgerungen haben wir aus dem allgemeinen Mittelwertsatz gezogen? |
Satz: Es sei \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) ein kompaktes Intervall. Ferner sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen richtig:
| (i) | Sind \( f(x) \) und \( f'(x) \) Riemannintegrierbar auf \( [a,b], \) so gilt |
\[ \int\limits_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a). \]
| (ii) | Es sei \( f(x) \) Riemannintegrierbar auf \( [a,b], \) und wir setzen |
\[ F(x):=\int\limits_a^xf(t)\,dt,\quad x\in[a,b]. \]
| Dann gilt \( F\in C^0([a,b],\mathbb R). \) Ist zusätzlich \( f(x) \) stetig in einem Punkt \( \xi\in[a,b], \) so ist \( F(x) \) in \( \xi \) differenzierbar mit der Ableitung |
\[ F'(\xi)=f(\xi). \]
Wir gehen in mehreren Schritten vor.
| 1. | Es seien \( f(x) \) und \( f'(x) \) Riemannintegrierbar auf \( [a,b]\subset\mathbb R. \) Sei weiter |
\[ {\mathcal Z}\,:\,a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_N=b,\quad N\in\mathbb N, \]
| eine Zerlegung von \( [a,b]\subset\mathbb R. \) Auf jedem Teilintervall dieser Zerlegung finden wir nach dem klassischen Mittelwertsatz der Differentialrechnung Punkte \( \xi_i\in[x_{i-1},x_i] \) mit |
\[ f(x_i)-f(x_{i-1})=f'(\xi_i)(x_i-x_{i-1}),\quad i=1,\ldots,N. \]
| Mit dem Vektor \( \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N) \) bilden wir die Riemannsche Zwischensumme für die Ableitung \( f'(x) \) und erhalten |
\[ R(f',{\mathcal Z},\xi) =\sum_{i=1}^Nf'(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) =\sum_{i=1}^N\{f(x_i)-f(x_{i-1})\} =f(b)-f(a). \]
| Diese Argumentation führen wir nun für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge durch, was die erste Behauptung zeigt. | |||||
| 2. | Nun sind die Stetigkeit bzw. die Differenzierbarkeit von \( F(x) \) nachzuweisen. | ||||
|
\[ |f(x)|\le M\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b] \]
|
\[ |F(x)-F(y)|\le M|x-y|. \]
|
\[ \begin{array}{l} |F(x)-F(y)|\le\varepsilon \\ \displaystyle\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b]\ \mbox{mit}\ |x-y|\le\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{M}\,, \end{array} \]
|
\[ |f(x)-f(\xi)|\lt\frac{\varepsilon}{2}\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]\ \mbox{mit}\ |x-\xi|\lt\delta(\varepsilon,\xi). \]
|
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \left|\frac{F(x)-F(\xi)}{x-\xi}-f(\xi)\right|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left|\frac{1}{x-\xi}\,\int\limits_\xi^xf(t)\,dt-f(\xi)\right| \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{|x-\xi|}\,\left|\int\limits_\xi^x\big\{f(t)-f(\xi)\big\}\,dt\right| \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{|x-\xi|}\,\int\limits_\xi^x|f(t)-f(\xi)|\,dt \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{|x-\xi|}\cdot\frac{\varepsilon}{2}\cdot|x-\xi| \,=\,\frac{\varepsilon}{2}\,\lt\,\varepsilon. \end{array} \]
|
Damit ist der Satz vollständig bewiesen.\( \qquad\Box \)
Definition: Eine differenzierbare Funktion \( F(x) \) auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) mit \[ F'(x)=f(x),\quad x\in[a,b], \] mit einer Riemannintegrierbaren Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) heißt eine Stammfunktion von \( f(x). \)
Eine Stammfunktion ist nicht eindeutig, denn mit \( F(x) \) ist auch \[ \widetilde F(x):=F(x)+c \] für beliebiges \( c\in\mathbb R \) eine Stammfunktion.
Stammfunktionen können mit obigem Fundamentalsatz bestimmt werden vermittels „unbestimmter Integration“. Beispielsweise bedeutet \[ \int e^x\,dx=e^x+C,\quad C\in\mathbb R, \] die Menge aller Stammfunktionen von \( f(x)=e^x. \)
Aufgaben - Der Fundamentalsatz
Aufgabe 8.5.1: (Integral der Signumfunktion)
Betrachten Sie die folgende Funktion \( f\colon[-1,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x}{|x|}\,, & \quad\mbox{falls}\ x\in[-1,1]\setminus\{0\} \\ 0, & \quad\mbox{falls}\ x=0 \end{array} \right.. \]
| (i) | Begründen Sie, dass \( f(x) \) auf \( [-1,1]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar ist. |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ F(x)=\int\limits_0^xf(t)\,dt=|x|-1,\quad x\in[-1,1]. \]
| (iii) | Ist \( F(x) \) stetig oder sogar differenzierbar? Vergleichen Sie mit den Aussagen aus dem Satz aus Paragraph 8.5.1. |
Aufgabe 8.5.2: (Integral einer in einem Punkt nicht stetigen Funktion)
Betrachten Sie die folgende Funktion \( f\colon[-1,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \mbox{falls}\ x=0 \\ 0, & \mbox{falls}\ x\in[-1,1]\setminus\{0\} \end{array} \right.. \]
| (i) | Begründen Sie, dass \( f(x) \) auf \( [-1,1]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar ist. |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ F(x)=\int\limits_{-1}^xf(t)\,dt=0\quad\mbox{für alle}\ x\in[-1,1]. \]
| (iii) | Ist \( F(x) \) stetig oder sogar differenzierbar? Vergleichen Sie mit dem Satz aus Paragraph 8.5.1. |
Aufgabe 8.5.3: (Variable Integrationsgrenzen)
Auf den kompakten Intervallen \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) und \( [c,d]\subset\mathbb R, \) \( c\lt d, \) seien \( \varphi,\psi\colon[a,b]\to[c,d] \) stetig differenzierbar und \( f\colon[c,d]\to\mathbb R \) stetig, und es gelte \[ c\le\varphi(x)\le\psi(x)\le d\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Wir setzen \[ F(x):=\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt,\quad x\in[a,b]. \] Beweisen Sie dann die sogenannte Leibnizregel \[ F'(x)=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x),\quad x\in(a,b). \]
Aufgabe 8.5.4: (Ableiten von Integralen)
Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen:
| (i) | \( F\colon[1,2]\to\mathbb R \) vermöge \( \displaystyle F(x)=\int\limits_1^x\cos t\,dt \) |
| (ii) | \( F\colon[1,2]\to\mathbb R \) vermöge \( \displaystyle F(x)=\int\limits_1^{2x}\sin t\,dt \) |
| (iii) | \( F\colon[1,3]\to\mathbb R \) vermöge \( \displaystyle F(x)=\int\limits_x^{x^3}\sin^3t\,dt \) |
| (iv) | \( F\colon[15,20]\to\mathbb R \) vermöge \( \displaystyle F(x)=\int\limits_{15}^x\left(\int\limits_8^y\frac{1}{1+t^2+\sin^2t}\,dt\right)dy \) |
Aufgabe 8.5.5: (Die Ungleichung von Young)
Auf dem kompakten Intervall \( [0,a]\subset\mathbb R, \) \( a\gt 0, \) sei die Funktion \( f\colon[0,a]\to\mathbb R \) stetig, streng monoton wachsend mit Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) \) und in \( (0,a) \) differenzierbar. Ferner sei \( f(0)=0. \) Wir setzen \[ g(x):=\int\limits_0^xf(t)\,dt+\int\limits_0^{f(x)}f^{-1}(t)\,dt-xf(x),\quad x\in[0,a], \] mit der Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) \) von \( f(x). \)
| (i) | Beweisen Sie, dass gilt \( g(x)\equiv 0 \) auf \( [0,a]. \) |
| (ii) | Es sei \( 0\lt b\lt f(a). \) Folgern Sie die Richtigkeit der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung |
\[ ab\le\int\limits_0^af(x)\,dx+\int\limits_0^bf^{-1}(x)\,dx. \]
| (iii) | Sei nun zusätzlich \( a,b\ge 0. \) Schließen Sie auf die Richtigkeit der Youngschen Ungleichung |
\[ ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\,, \]
| worin \( p\gt 1 \) und \( \displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \) |
Aufgabe 8.5.6: (Ein wichtiges Integral)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei eine positive und Riemannintegrierbare Funktion \( f\colon[a,b]\to(0,\infty) \) gegeben mit auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbarer Ableitung \( f'(x). \) Verifizieren Sie \[ \int\limits_a^b\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\frac{f(b)}{f(a)}\,. \]
Aufgabe 8.5.7: (Existenz und Nichtexistenz von Stammfunktionen I)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig. Beweisen Sie, dass \( f(x) \) eine Stammfunktion besitzt.
Aufgabe 8.5.8: (Existenz und Nichtexistenz von Stammfunktionen II)
Wir betrachten die Riemannintegrierbare Funktion \( f\colon[-1,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls}\ x\in[-1,0) \\ 1, & \mbox{falls}\ x\in[0,1] \end{array} \right.. \] Beweisen Sie, dass \( f(x) \) keine Stammfunktion besitzt.
Aufgabe 8.5.9: (Existenz und Nichtexistenz von Stammfunktionen III)
Beweisen Sie, dass die folgende Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{3}{2}\,\sqrt{x}\,\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\,\cos\frac{1}{x}\,, & \mbox{falls}\ x\gt 0 \\ 0, & \mbox{falls}\ x=0 \end{array} \right. \] eine Stammfunktion besitzt, aber nicht Riemannintegrierbar auf \( [0,1] \) ist.
Aufgabe 8.5.10: (Bestimmen von Stammfunktionen)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion \( F(x) \) zu der Funktion \[ f\colon[0,2]\to\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=\max\big\{x^2,\sqrt{x}\big\}\,. \] (F. Sauvigny: Analysis 1, BTU Cottbus, SS 1998, 21. Übung, Aufgabe 2)
Aufgabe 8.5.11: (Grundintegrale I)
Verifizieren Sie unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):
| (i) | \( \displaystyle\int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \) mit \( \alpha\in\mathbb R\setminus\{-1\} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln x+C \) für \( x\gt 0 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C \) |
| (iv) | \( \displaystyle\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \) mit \( a\gt 0, \) \( a\not=1 \) |
Aufgabe 8.5.12: (Grundintegrale II)
Verifizieren Sie unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):
| (i) | \( \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C \) mit \( \displaystyle x\not=\frac{(2n+1)\pi}{2}, \) \( n\in\mathbb Z \) |
| (iv) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x+C \) mit \( x\not=n\pi, \) \( n\in\mathbb Z \) |
mit dem Tangens \( \tan x \) und dem Kotangens \( \cot x, \) definiert vermöge \[ \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}\,,\quad\cot x:=\frac{\cos x}{\sin x}\,. \]
Aufgabe 8.5.13: (Grundintegrale III)
Verifizieren Sie unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):
| (i) | \( \displaystyle\int\sinh x\,dx=\cosh x+C \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\cosh x\,dx=\sinh x+C \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\cosh^2x}=\tanh x+C \) |
| (iv) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\sinh^2x}=-\coth x+C \) mit \( x\not=0 \) |
mit den hyperbolischen Funktionen Tangens hyperbolicus bzw. Cotangens hyperbolicus \[ \tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}\,,\quad \coth x:=\frac{\cosh x}{\sinh x}\,. \]
Aufgabe 8.5.14: (Grundintegrale IV)
Verifizieren Sie unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):
| (i) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+\widetilde C \) mit \( |x|\lt 1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C=-\mbox{arccot}\,x+\widetilde C \) |
mit den zu \( \tan x \) und \( \cot x \) inversen Funktionen Arkustangens \( \arctan x \) bzw. Arkuskotangens \( \mbox{arccot}\,x. \)
Aufgabe 8.5.15: (Grundintegrale V)
Verifizieren Sie unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung (alle Ausdrücke seien wohldefiniert):
| (i) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\mbox{arsinh}\,x+C=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\mbox{arcosh}\,x+C=\ln\left(x\pm\sqrt{x^2-1}\right)+C \) mit \( |x|\gt 1 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}=\mbox{artanh}\,x+C=\frac{1}{2}\,\ln\frac{1+x}{1-x}+C \) mit \( |x|\lt 1 \) |
| (iv) | \( \displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}=\mbox{arcoth}\,x+C=\frac{1}{2}\,\ln\frac{x+1}{x-1}+C \) mit \( |x|\gt 1 \) |
mit den Areafunktionen als Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen.
Aufgabe 8.5.16: (Berechnen bestimmter Integrale I)
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_{-1}^3x\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^2(x^3+2x)\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1x\,\sqrt{x}\,dx \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_1^2\frac{dx}{2x} \) |
Aufgabe 8.5.17: (Berechnen bestimmter Integrale II)
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_0^\pi\cos x\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^3\sinh x\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_0^2\frac{3e^x}{2}\,dx \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_1^22^x\,dx \) |
| 1. | Wie lautet der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung? |
| 2. | Was versteht man unter einer Stammfunktion? |
| 3. | Sind Stammfunktionen eindeutig? |
| 4. | Geben Sie ein notwendiges Kriterium an, wann eine Funktion eine Stammfunktion besitzt. |
| 5. | Wie lautet die Leibnizregel zur Integration mit variablen Integrationsgrenzen? |
| 6. | Wie lautet die Youngsche Ungleichung? |
| 7. | Wie lautet die Höldersche Ungleichung? |
8.6.1 Die Regel der partiellen Integration
Wir wollen zwei wichtige Integrationsregeln vorstellen. Dazu beginnen wir mit dem
Satz: Es sei \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) ein kompaktes Intervall. Ferner seien \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) differenzierbar mit auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbaren Ableitungen \( f'(x) \) und \( g'(x). \) Dann sind auch \[ f(x)g'(x)\quad\mbox{und}\quad f'(x)g(x) \] auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar, und es gilt \[ \int\limits_a^bf(x)g'(x)\,dx =f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int\limits_a^bf'(x)g(x)\,dx. \]
Wir gehen in zwei Schritten vor.
| 1. | Zunächst verifizieren wir die Riemannintegrierbarkeit der einzelnen Funktionen und deren Produkte. | ||||||
|
\[ \frac{d}{dx}\,f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \]
|
|||
| 2. | Nun zum Beweis der Regel: Der Fundamentalsatz zusammen mit der Produktregel liefert |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_a^bf(x)g'(x)\,dx+\int\limits_a^bf'(x)g(x)\,dx & = & \displaystyle \int\limits_a^b\frac{d}{dx}\,\big[f(x)g(x)\big]\,dx \\ & = & \displaystyle f(b)g(b)-f(a)g(a). \end{array} \] Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)
Satz: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei die Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig. Ferner sei \( \varphi\colon[a^*,b^*]\to\mathbb R \) stetig differenzierbar mit \[ \varphi(x^*)=x,\quad \varphi([a^*,b^*])=[a,b],\quad \varphi(a^*)=a,\quad \varphi(b^*)=b. \] Dann ist auch das Produkt \[ (f\circ\varphi)\cdot\varphi'(x^*)=f(\varphi(x^*))\cdot\varphi'(x^*),\quad x^*\in[a^*,b^*], \] Riemannintegrierbar auf \( [a^*,b^*]\subset\mathbb R, \) und es gilt \[ \int\limits_{a^*}^{b^*}f(\varphi(\tau))\varphi'(\tau)\,d\tau=\int\limits_a^bf(t)\,dt. \]
Wir setzen \[ F(x):=\int\limits_a^xf(t)\,dt,\quad H(x^*):=\int\limits_{a^*}^{x^*}f(\varphi(\tau))\varphi'(\tau)\,d\tau. \] Nach Voraussetzung sind beide Integranden stetig, weshalb \( F(x) \) und \( H(x^*) \) differenzierbar sind. Also ist auch \( F\circ\varphi(x^*) \) bez. \( x^* \) differenzierbar, und es gilt \[ \frac{d}{dx^*}\,F\circ\varphi(x^*) =\frac{dF(\varphi(x^*))}{dx}\,\frac{d\varphi(x^*)}{dx^*} =f(\varphi(x^*))\,\frac{d\varphi(x^*)}{dx^*} =\frac{dH(x^*)}{dx^*}\,. \] Daher folgt mit einer noch zu bestimmenden Integrationskonstante \( C\in\mathbb R \) \[ F\circ\varphi(x^*)=H(x^*)+C. \] Insbesondere ist dann wegen \( F(a)=0, \) \( H(a^*)=0 \) \[ 0=F(a)=F(\varphi(a^*))=F\circ\varphi(a^*)=H(a^*)+C=0+C, \] d.h. es ist \( C=0. \) Jetzt schließen wir \[ \int\limits_a^bf(x)\,dx =F(b) =F\circ\varphi(b^*) =H(b^*) =\int\limits_{a^*}^{b^*}f(\varphi(\tau))\varphi'(\tau)\,d\tau, \] was den Satz beweist.\( \qquad\Box \)
Aufgaben - Die Regel der partiellen Integration
Aufgabe 8.6.1: (Anwendung der Regel der partiellen Integration I)
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale unter Benutzung der Regel der partiellen Integration.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_0^1xe^x\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1x^2e^x\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1x^3e^x\,dx \) |
Aufgabe 8.6.2: (Anwendung der Regel der partiellen Integration II)
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale unter Benutzung der Regel der partiellen Integration.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_1^2\ln x\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_1^2x\ln x\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_1^2x^2\ln x\,dx \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_1^2\ln^2x\,dx \) |
| (v) | \( \displaystyle\int\limits_1^2\ln^3x\,dx \) | (vi) | \( \displaystyle\int\limits_1^2x\ln^2x\,dx \) |
Aufgabe 8.6.3: (Anwendung der Regel der partiellen Integration III)
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale unter Benutzung der Regel der partiellen Integration.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_0^\pi x\sin x\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^\pi x^2\sin x\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_0^\pi e^x\sin x\,dx \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_0^\pi e^x\sin x\cos x\,dx \) |
Aufgabe 8.6.4: (Rekursionsformeln mit trigonometrischen Funktionen)
Für \( n\in\mathbb N, \) \( n\ge 2, \) sind folgende Rekursionsformeln zu beweisen:
| (i) | \( \displaystyle\int\sin^nx\,dx=-\frac{1}{n}\,\sin^{n-1}x\cdot\cos x+\frac{n-1}{n}\,\int\sin^{n-2}x\,dx \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\cos^nx\,dx=\frac{1}{n}\,\cos^{n-1}x\cdot\sin x+\frac{n-1}{n}\,\int\cos^{n-2}x\,dx \) |
(Spivak, M.: Calculus. Kapitel 19, Seite 373)
Aufgabe 8.6.5: (Rekursionsformeln mit hyperbolischen Funktionen)
Für \( n\in\mathbb N, \) \( n\ge 2, \) sind folgende Rekursionsformeln zu beweisen:
| (i) | \( \displaystyle\int\sinh^nx\,dx=\frac{1}{n}\,\sinh^{n-1}x\cosh x-\frac{n-1}{n}\,\int\sinh^{n-2}x\,dx \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\cosh^nx\,dx=\frac{1}{n}\,\cosh^{n-1}x\sinh x+\frac{n-1}{n}\,\int\cosh^{n-2}x\,dx \) |
Aufgabe 8.6.6: (Rekursionsformeln mit dem natürlichen Logarithmus)
Man beweise die folgenden Rekursionsformeln:
| (i) | \( \displaystyle\int(\ln x)^n\,dx=x(\ln x)^n-n\int(\ln x)^{n-1}\,dx \) für \( n\in\mathbb N, \) \( x\gt 0 \) |
| (ii) | \( \displaystyle(n-1)\int(\ln x)^{-n}\,dx=-\frac{x}{\ln^{n-1}x}+\int(\ln x)^{1-n}\,dx \) für \( n\in\mathbb N, \) \( n\gt 1, \) \( x\gt 1 \) |
Aufgabe 8.6.7: (Eine weitere Rekursionsformel)
Man beweise für alle \( x\in\mathbb R \) und alle \( n\in\mathbb N, \) \( n\gt 1, \) die folgenden Rekursionsformel \[ \int\frac{dx}{(x^2+1)^n}=\frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\,\int\frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}\,. \] Hinweis: \( \displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}-\frac{x^2}{(x^2+1)^n} \)
(siehe Spivak, M.: Calculus. Kapitel 19)
Aufgabe 8.6.8: (Wallissche Darstellung der Kreiszahl \( \pi \))
Wir schließen an Aufgabe 8.6.4 an.
| (i) | Beweisen Sie, dass für alle \( n\in\mathbb N \) mit \( n\ge 2 \) gilt |
\[ \int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,dx=\frac{n-1}{n}\,\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x\,dx. \]
| (ii) | Beweisen Sie |
| \( \circ\quad\displaystyle\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+1}x\,dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots\cdot\frac{2n}{2n+1} \) | |
| \( \circ\quad\displaystyle\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}x\,dx=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n} \) | |
| Schließen Sie daraus |
\[ \frac{\pi}{2} =\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\ldots\cdot\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1} \cdot\frac{\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}x\,dx}{\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+1}x\,dx}\,. \]
| (iii) | Beweisen Sie |
\[ 0\lt\sin^{2n+1}x\le\sin^{2n}x\le\sin^{2n-1}x\quad\mbox{für alle}\ 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}\,. \]
| Schließen Sie daraus |
\[ 1\le\frac{\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}x\,dx}{\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+1}x\,dx}\le 1+\frac{1}{2n}\,. \]
| (iv) | Folgern Sie die Wallissche Darstellung für die Kreiszahl \( \pi \) |
\[ \frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots \] (Spivak, M.: Calculus. Kapitel 19, Aufgabe 40)
Aufgabe 8.6.9: (Partielle Integration und vollständige Induktion)
Vermittels vollständiger Induktion beweise man die Identität \[ \int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+1}x\,dx=\frac{2^nn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n(2k+1)}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N_0\,. \] (F. Sauvigny: Analysis 1, BTU Cottbus, SS 1998, 21. Übung, Aufgabe 6)
Aufgaben - Die Substitutionsregel
Aufgabe 8.6.10: (Anwendung der Substitutionsregel I)
Berechnen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung der Substitutionsregel.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_0^1(1-3x)^3\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1 3x^2e^{x^3}\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1e^x\sin e^x\,dx \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\cos(5x+1)\,dx \) |
| (v) | \( \displaystyle\int\limits_0^1e^{e^x}e^x\,dx \) | (vi) | \( \displaystyle\int\limits_0^1\frac{x}{\sqrt{2x^2+3}}\,dx \) |
Aufgabe 8.6.11: (Anwendung der Substitutionsregel II)
Berechnen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung der Substitutionsregel.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}x\cot x^2\,dx \) | (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^x}}\,dx \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_0^1\frac{dx}{(2+x)\sqrt{1+x}} \) | (iv) | \( \displaystyle\int\limits_1^2\frac{dx}{e^x+e^{-x}} \) |
Aufgabe 8.6.12: (Integration über Produkte von Sinus und Kosinus)
Es seien \( k,n\in\mathbb N. \) Ermitteln Sie die folgenden Integrale.
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin kx\cdot\sin nx\,dx \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin kx\cdot\cos nx\,dx \) |
Aufgabe 8.6.13: (Substitution und partielle Integration)
| (i) | Ermitteln Sie zunächst das unbestimmte Integral (ohne Integrationskonstante) |
\[ \int xe^{-x^2}\,dx. \]
| (ii) | Für alle \( x\in\mathbb R \) und alle \( n\in\mathbb N, \) \( n\ge 2, \) ist dann folgende Rekursionsformel zu beweisen |
\[ 2\int x^ne^{-x^2}\,dx=-x^{n-1}e^{-x^2}+(n-1)\int x^{n-2}e^{-x^2}\,dx. \] Sauvigny, F.: Analysis 1. BTU Cottbus, SS 1998, 21. Übung, Aufgabe 5)
| 1. | Wie lautet die Regel der partiellen Integration? |
| 2. | Wie lautet die Substitutionsregel? |
8.7.1 Der Vertauschbarkeitssatz
Abschließend beweisen wir den folgenden Satz von der Vertauschung von Integration und Grenzwertbildung für Funktionenfolgen.
Satz: Es sei \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) ein kompaktes Intervall. Ferner sei \[ f_k\colon[a,b]\to\mathbb R,\quad k=1,2,\ldots, \] eine Folge auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbarer Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) konvergieren. Dann ist auch \( f(x) \) auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar, und es gilt \[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_a^bf_k(x)\,dx =\int\limits_a^b\lim_{k\to\infty}f_k(x)\,dx =\int\limits_a^bf(x)\,dx. \]
Wir gehen in zwei Schritten vor:
| 1. | Wegen der gleichmäßen Konvergenz der \( f_k(x) \) finden wir zu gegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |f(x)-f_k(x)|\le\frac{\varepsilon}{3(b-a)}\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]\ \mbox{und alle}\ k\ge N(\varepsilon). \tag{\(*\)} \]
| Wir ziehen nun das Cauchykriterium aus Paragraph 8.1.4 heran. Da nämlich \( f_k(x) \) für \( K\ge N(\varepsilon) \) Riemannintegrierbar ist, gibt es zu diesem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(\varepsilon)\ge 0, \) so dass für zwei beliebige Zerlegungen \( {\mathcal Z}^{(1)} \) und \( {\mathcal Z}^{(2)} \) von \( [a,b] \) mit |
\[ \|{\mathcal Z}^{(1)}\|\lt\delta(\varepsilon),\quad \|{\mathcal Z}^{(2)}\|\lt\delta(\varepsilon) \]
| und beliebig zugehörigen Zwischenwertvektoren \( \xi^{(1)} \) und \( \xi^{(2)} \) gilt |
\[ |R(f_K,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)})-R(f_K,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}|\lt\frac{\varepsilon}{2}\,. \tag{\(\alpha\)} \]
| Außerdem wissen wir nach \( (*) \) für \( k=1,2 \) und mit der zu \( {\mathcal Z}^{(k)} \) gehörige Zerlegungszahl \( N^{(k)}\in\mathbb N \) |
\[ \begin{array}{l} \big|R(f,{\mathcal Z}^{(k)},\xi^{(k)})-R(f_K,{\mathcal Z}^{(k)},\xi^{(k)})\big| \\ \qquad\displaystyle \le\,\sum_{i=1}^{N^{(k)}}|f(\xi^{(k)})-f_K(\xi^{(k)})|(x_i^{(k)}-x_{i-1}^{(k)}) \\ \qquad\displaystyle \le\,\frac{\varepsilon}{3(b-a)}\,\sum_{i=1}^{N^{(k)}}(x_i^{(k)}-x_{i-1}^{(k)}) \,=\,\frac{\varepsilon}{3}\,. \end{array} \tag{\(\beta\)} \]
| Wir schätzen damit wie folgt ab |
\[ \begin{array}{l} \big|R\big(f,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)-R\big(f,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)\big| \\ \qquad\displaystyle =\,\big|R\big(f,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)-R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big) +R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)+\ldots \\ \qquad\qquad\qquad\displaystyle \ldots-R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)+R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big) -R\big(f,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)\big| \\ \qquad\displaystyle \le\,\big|R\big(f,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)-R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)\big| +\big|R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)-R(f_K,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)\big| \\ \qquad\qquad\displaystyle +\,\big|R\big(f_K,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)-R(f,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)\big| \end{array} \]
| bzw. mit \( (\alpha) \) und \( (\beta) \) |
\[ \big|R\big(f,{\mathcal Z}^{(1)},\xi^{(1)}\big)-R\big(f,{\mathcal Z}^{(2)},\xi^{(2)}\big)\big| \lt\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} =\varepsilon. \]
| Also ist \( f(x) \) auf \( [a,b]\subset\mathbb R \) Riemannintegrierbar. | |
| 2. | Nun zur Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwert, also |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_a^bf_k(x)\,dx=\int\limits_a^b\lim_{k\to\infty}f_k(x)\,dx. \]
| Auf Grund der gleichmäßen Konvergenz der Folge \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) gegen \( f(x) \) existiert nämlich zu vorgegebenem \( \varepsilon\lt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |f(x)-f_k(x)|\lt\frac{\varepsilon}{b-a}\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]\ \mbox{und alle}\ k\ge N(\varepsilon) \]
| bzw. ausführlicher |
\[ f_k(x)-\frac{\varepsilon}{b-a}\lt f(x)\lt f_k(x)+\frac{\varepsilon}{b-a}\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]\ \mbox{und alle}\ k\ge N(\varepsilon). \]
| Dann ist aber auch |
\[ \int\limits_a^bf_k(x)\,dx-\varepsilon \lt\int\limits_a^bf(x)\,dx \lt\int\limits_a^bf_k(x)+\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ k\ge N(\varepsilon). \]
| Die Behauptung folgt nun nach Grenzübergang \( \varepsilon\to 0. \) |
Damit ist der Satz vollständig bewiesen.\( \qquad\Box \)
Beispiel: Auf die gleichmäßige Konvergenz kann man im Allgemeinen nicht verzichten. Für \( k=1,2,\ldots \) betrachte nämlich die Funktionenfolge \[ f_k\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R,\quad f_k(x):=k\cdot\chi_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}(x) \] mit der charakteristischen Funktion \( \chi_{\left(0,\frac{1}{k}\right]}(x). \) Dann gilt \[ f_k(x)\longrightarrow 0\quad\mbox{punktweise auf}\ [0,1], \] aber eben auch \[ \int\limits_0^1f_k(x)\,dx =\int\limits_0^\frac{1}{k}k\,dx =1 \quad\mbox{für alle}\ k=1,2,\ldots \]
Aufgaben - Der Vertauschbarkeitssatz
Aufgabe 8.7.1: (Vertauschen von Integration und Grenzwertbildung I)
Betrachten Sie die auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) definierte Funktionenfolge \[ f_k(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \mbox{falls}\ x\in\{q_1,\ldots,q_k\} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{array} \right.,\quad k=1,2,\ldots \] mit einer Abzählung \( q_1,q_2,\ldots, \) der rationalen Zahlen \( [0,1]\cap\mathbb Q. \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f_k(x) \) für alle \( k=1,2,\ldots \) Riemannintegrierbar ist. |
| (ii) | Bestimmen Sie den Grenzwert |
\[ f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x),\quad x\in[0,1]. \]
| Welche Art der Konvergenz liegt vor? Begründen Sie. Wie lautet die Grenzwfunktion \( f(x)? \) | |
| (iii) | Berechnen Sie |
\[ \displaystyle\lim_{k\to\infty}\int\limits_0^1f_k(x)\,dx. \]
| Dürfen Sie Grenzwert und Integral vertauschen? Begründen Sie. |
Aufgabe 8.7.2: (Vertauschen von Integration und Grenzwertbildung II)
Betrachten Sie die Funktionenfolge \[ f_k\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f_k(x):=\frac{x}{k^2}\,,\quad k=1,2,\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert |
\[ f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x),\quad x\in[0,1]. \]
| Begründen Sie, dass die Konvergenz auch gleichmäßig ist. | |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_0^1f_k(x)\,dx=\int\limits_0^1f(x)\,dx. \]
| Begründen Sie die Gültigkeit dieser Identität auch unter Benutzung des Vertauschbarkeitssatzes. |
Aufgabe 8.7.3: (Vertauschen von Integration und Grenzwertbildung III)
Betrachten Sie die auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) definierte Funktionenfolge \[ f_k(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} k^2x, & \displaystyle\mbox{falls}\ 0\le x\le\frac{1}{k} \\ 2k-k^2x, & \displaystyle\mbox{falls}\ \frac{1}{k}\le x\le\frac{2}{k} \\ 0, & \displaystyle\mbox{falls}\ \frac{2}{k}\le x\le 1 \end{array} \right., \quad k=1,2,3,\ldots \]
| (i) | Skizzieren Sie \( f_k(x) \) für \( k=1,2,3. \) |
| (ii) | Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert |
\[ f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x),\quad x\in[0,1]. \]
| Ist diese Konvergenz auch gleichmäßig? | |
| (iii) | Berechnen Sie die Integrale |
\[ \int\limits_0^1f_k(x)\,dx\quad\mbox{für}\ k=1,2,\ldots \quad\mbox{sowie}\quad \int\limits_0^1f(x)\,dx. \]
| Gilt nun |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_0^1f_k(x)\,dx=\int\limits_0^1f(x)\,dx\,? \]
| Beziehen Sie in Ihre Begründung den Vertauschbarkeitssatz ein. |
Aufgabe 8.7.4: (Vertauschen von Integration und Grenzwertbildung IV)
Betrachten Sie die Funktionenfolge \[ f_k\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f_k(x):=\frac{x}{1+k^3x^3}\,,\quad k=1,2,\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert |
\[ f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x),\quad x\in[0,1]. \]
| Begründen Sie, dass die Konvergenz auch gleichmäßig ist. Führen Sie eventuell eine Kurvendiskussion für die Funktionen \( f_k(x). \) | |
| (ii) | Gilt nun |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_0^1f_k(x)\,dx=\int\limits_0^1f(x)\,dx\,? \]
| Begründen Sie unter Verwendung des Vertauschbarkeitssatzes. Welchen Wert besitzen die Integrale? |
Aufgabe 8.7.5: (Integration von Funktionenfolgen)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) sei die Folge \( \{f_k\}_{k=0,1,2,\ldots} \) Riemannintegrierbarer Funktionen \( f_k\colon[a,b]\to\mathbb R \) gegeben. Ferner sei \[ F(x):=\sum_{k=0}^\infty f_k(x)\,,\quad x\in[a,b], \] auf \( [a,b] \) gleichmäßig konvergent. Beweisen Sie, dass dann auch \( F(x) \) auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar ist, und dass folgende Identität richtig ist \[ \int\limits_a^bF(x)\,dx =\int\limits_a^b\sum_{k=0}^\infty f_k(x)\,dx=\sum_{k=0}^\infty\int\limits_a^bf_k(x)\,dx. \]
Aufgabe 8.7.6: (Anwendung auf die Exponentialreihe)
Wenden Sie vorige Aufgabe auf die reelle Exponentialreihe an, d.h. berechnen Sie das Integral \[ \int\limits_0^1e^x\,dx \] durch geeignete Integration der Summanden der Potenzreihe \( \displaystyle e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}. \)
Aufgabe 8.7.7: (Anwendung auf den natürlichen Logarithmus)
Wir betrachten die Funktionenreihe \[ F(x):=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^k\,,\quad -1\lt x\lt 1. \]
| (i) | Begründen Sie, dass \( F(x) \) auf jedem kompakten Intervall \( [-a,a]\subset\mathbb R \) mit \( 0\lt a\lt 1 \) gleichmäßig konvergiert. |
| (ii) | Begründen Sie die Identität |
\[ \frac{1}{1+x}=F(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in(0,a). \]
| (iii) | Folgern Sie |
\[ \ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}\,x^{k+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\mp\ldots\,,\quad -a\lt x\lt a, \]
| unter Verwendung bekannter Integrationsregeln. |
Aufgabe 8.7.8: (Konvergenz von Ableitungen)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) sei \( \{f_k\}_{k=1,2,\ldots} \) eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen mit Ableitungen \( f_k'(x) \) für \( k=1,2,\ldots \) Ferner konvergiere \( \{f_k\}_{k=1,2,\dots} \) punktweise gegen eine Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) und \( \{f_k'\}_{k=1,2,\ldots} \) gleichmäßig gegen eine Funktion \( g\colon[a,b]\to\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann \( f(x) \) differenzierbar ist mit der Ableitung \[ f'(x)=g(x),\quad x\in(a,b). \]