Klausurvorbereitung

8. Das Riemannsche Integral

8.1 Einführung des Riemannschen Integrals

1.	Erläutern Sie den Begriff der Riemannschen Zwischensumme.\( (*) \)
2.	Lösen Sie Aufgabe 8.1.3.
3.	Wann heißt eine Funktion Riemannintegrierbar?\( (*) \)
4.	Wie ist das Riemannsche Integral definiert?\( (*) \)
5.	Lösen Sie Aufgabe 8.1.4.
6.	Wie lautet das Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit?\( (*) \)
7.	Lösen Sie Aufgabe 8.1.6.
8.	Lösen Sie Aufgabe 8.1.9.
9.	Wie lautet das Cauchykriterium zur Riemannintegrierbarkeit?\( (*) \)
10.	Lösen Sie Aufgabe 8.1.13.

8.2 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen

11.	Was versteht man unter der Linearität des Riemannschen Integrals?\( (*) \)
12.	Lösen Sie Aufgabe 8.2.1.
13.	Was versteht man unter der Monotonie des Riemannschen Integrals?\( (*) \)
14.	Lösen Sie Aufgabe 8.2.3.
15.	Lösen Sie Aufgabe 8.2.4.
16.	Sind Riemannintegrierbare Funktionen beschränkt?\( (*) \)
17.	Lösen Sie Aufgabe 8.2.6.
18.	Lösen Sie Aufgabe 8.2.8.
19.	Lösen Sie Aufgabe 8.2.9.
20.	Wie lautet die Dreiecksungleichung für das Riemannsche Integral?\( (*) \)

8.3 Das Riemann-Darbouxsche Integral

21.	Erläutern Sie die Begriffe untere und obere Riemann-Darboux-Summe.\( (*) \)
22.	Was versteht man unter dem unteren und dem oberen Riemann-Darboux-Integral?\( (*) \)
23.	Wann heißt eine Funktion Riemann-Darboux-integrierbar?\( (*) \)
24.	Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Riemann- und Riemann-Darboux-Integrierbarkeit?\( (*) \)
25.	Lösen Sie Aufgabe 8.3.6.
26.	Wie lautet das Darbouxsche Integrierbarkeitskriterium?\( (*) \)
27.	Lösen Sie Aufgabe 8.3.7.

8.4 Zwei Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen

28.	Welche Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen haben wir hier diskutiert?\( (*) \)
29.	Lösen Sie Aufgabe 8.4.1.
30.	Wie lautet der allgemeine Mittelwertsatz der Integralrechnung?\( (*) \)
31.	Lösen Sie Aufgabe 8.4.3.
32.	Wie lautet der klassische Mittelwertsatz der Integralrechnung, und wie folgt er aus dem allgemeinen
	Mittelwertsatz der Integralrechnung?\( (*) \)
33.	Lösen Sie Aufgabe 8.4.6.

8.5 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

34.	Wie lautet der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung?\( (*) \)
35.	Was versteht man unter einer Stammfunktion?\( (*) \)
36.	Wiederholen Sie die Ableitungsregel aus Aufgabe 8.5.3.\( (*) \)
37.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.4.
38.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.6.
39.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.10.
40.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.11.
41.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.12.
42.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.13.
43.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.16.
44.	Lösen Sie Aufgabe 8.5.17.

8.6 Integrationsregeln

45.	Wie lautet die Regel der partiellen Integration?\( (*) \)
46.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.1.
47.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.2.
48.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.3.
49.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.4.
50.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.5.
51.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.6.
52.	Wie lautet die Substitutionsregel?\( (*) \)
53.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.10.
54.	Lösen Sie Aufgabe 8.6.12.

8.7 Integration und Grenzwertbildung

55.	Wie lautet der Vertauschbarkeitssatz?\( (*) \)
56.	Lösen Sie Aufgabe 8.7.1.
57.	Lösen Sie Aufgabe 8.7.2.
58.	Lösen Sie Aufgabe 8.7.3.

9. Metrik und Topologie

9.1 Metrische Räume

59.	Definieren Sie die Begriffe Metrik und metrischer Raum.\( (*) \)
60.	Wie lautet unser Standardbeispiel einer Metrik?\( (*) \)
61.	Was versteht man unter der diskreten Metrik?\( (*) \)
62.	Was versteht man unter der Euklidischen Metrik?\( (*) \)
63.	Was versteht man unter der Betragssummenmetrik?\( (*) \)
64.	Was versteht man unter der Maximumsmetrik?\( (*) \)
65.	Lösen Sie Aufgabe 9.1.1.
66.	Lösen Sie Aufgabe 9.1.2.
67.	Lösen Sie Aufgabe 9.1.3.
68.	Lösen Sie Aufgabe 9.1.8.

9.2 Normierte Räume

69.	Definieren Sie die Begriffe Norm und normierter Raum.\( (*) \)
70.	Was versteht man unter der Euklidischen Norm im \( \mathbb R^n? \)\( (*) \)
71.	Was versteht man unter der \( p \)-Norm im \( \mathbb R^n? \)\( (*) \)
72.	Was versteht man unter der Betragssummennorm?\( (*) \)
73.	Was versteht man unter der Supremumsnorm im \( \mathbb R^n? \)\( (*) \)
74.	Wann heißen zwei Normen äquivalent?\( (*) \)
75.	Lösen Sie Aufgabe 9.2.1.
76.	Lösen Sie Aufgabe 9.2.2.
77.	Lösen Sie Aufgabe 9.2.3.
78.	Lösen Sie Aufgabe 9.2.10.

9.3 Offene Mengen

79.	Was versteht man unter einer offenen Umgebung?\( (*) \)
80.	Was versteht man unter einer offenen Menge?\( (*) \)
81.	Warum ist der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht unbedingt wieder offen?\( (*) \)
82.	Was versteht man unter einem inneren Punkt?\( (*) \)
83.	Was versteht man unter dem Inneren einer Menge?\( (*) \)
84.	Lösen Sie Aufgabe 9.3.1.
85.	Lösen Sie Aufgabe 9.3.3.
86.	Lösen Sie Aufgabe 9.3.4.
87.	Lösen Sie Aufgabe 9.3.11.
88.	Lösen Sie Aufgabe 9.3.12.
89.	Lösen Sie Aufgabe 9.3.13.

9.4 Abgeschlossene Mengen

90.	Wann heißt eine Menge abgeschlossen?\( (*) \)
91.	Was versteht man unter einem Randpunkt?\( (*) \)
92.	Was versteht man unter dem Rand einer Menge?\( (*) \)
93.	Lösen Sie Aufgabe 9.4.2.
94.	Lösen Sie Aufgabe 9.4.6.
95.	Lösen Sie Aufgabe 9.4.7.
96.	Lösen Sie Aufgabe 9.4.8.

9.5 Topologische Räume

Keine Aufgaben.

10. Konvergenz in metrischen Räumen

10.1 Konvergente Folgen

97.	Wann heißt eine Folge konvergent gegen ein \( x\in X? \)\( (*) \)
98.	Beweisen Sie, dass der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig ist.\( (*) \)
99.	Lösen Sie Aufgabe 10.1.1.
100.	Lösen Sie Aufgabe 10.1.2.
101.	Welche Charakterisierung der Abgeschlossenheit einer Menge haben wir kennengelernt.\( (*) \)
102.	Lösen Sie Aufgabe 10.1.3.

10.2 Banachräume

103.	Wann heißt eine Folge eine Cauchyfolge?\( (*) \)
104.	Beweisen Sie, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.\( (*) \)
105.	Wann heißt ein metrischer Raum vollständig bzw. ein Banachraum?\( (*) \)
106.	Lösen Sie Aufgabe 10.2.3.
107.	Studieren Sie das Beispiel in Paragraph 10.2.2.\( (*) \)

10.3 Stetige Abbildungen

108.	Wann heißt eine Abbilung zwischen zwei metrischen Räumen stetig?\( (*) \)
109.	Wie lautet das Folgenkriterium der Stetigkeit?\( (*) \)
110.	Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium?\( (*) \)
111.	Welche Rechenregeln für stetige Funktionen haben wir kennengelernt?\( (*) \)
112.	Lösen Sie Aufgabe 10.3.5.
113.	Lösen Sie Aufgabe 10.3.6.
114.	Lösen Sie Aufgabe 10.3.7.
115.	Lösen Sie Aufgabe 10.3.8.

11. Kompaktheit

11.1 Einführung Kompaktheit

116.	Wann heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes kompakt (überdeckungskompakt)?\( (*) \)
117.	Studieren Sie das erste und das zweite Beispiel in Paragraph 11.1.2.\( (*) \)
118.	Lösen Sie Aufgabe 11.1.1.
119.	Lösen Sie Aufgabe 11.1.2.
120.	Was besagt Aufgabe 11.1.3?

11.2 Sätze über kompakte Mengen

121.	Was besagt der Satz von Heine-Borel - in metrischer und in klassischer Form?\( (*) \)
122.	Lösen Sie Aufgabe 11.2.4.
123.	Lösen Sie Aufgabe 11.2.5.
124.	Was besagt der Weierstraßsche Häufungsstellensatz.\( (*) \)
125.	Welche beiden Eigenschaften (Paragraphen 11.2.4 und 11.2.6) stetiger Abbildungen auf kompakten
	Mengen haben wir kennengelernt?\( (*) \)
126.	Was besagt der Fundamentalsatz von Weierstraß?\( (*) \)

12. Kurven und Flächen

12.1 Kurven im Euklidischen Raum

127.	Was versteht man unter einer regulären Kurvenparametrisierung?\( (*) \)
128.	Wiederholen Sie die Beispiele aus den Paragraphen 12.1.1 und 12.1.2.
129.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.2.
130.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.3.
131.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.4.
132.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.5.
133.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.6.
134.	Wie sind Tangential- und Einheitstangentialvektor definiert?\( (*) \)
135.	Wann liegt eine reguläre Kurvenparametrisierung in Bogenlänge vor?\( (*) \)
136.	Wie ist das Bogenlängenfunktional einer regulären Kurvenparametrisierung definiert?\( (*) \)
137.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.13.
138.	Lösen Sie Aufgabe 12.1.14.

12.2 Flächen im Euklidischen Raum

139.	Wie ist die Funktionalmatrix definiert?\( (*) \)
140.	Was versteht man unter einer regulären Flächenparametrisierung?\( (*) \)
141.	Was sind Tangentialvektoren und Tangentialraum?\( (*) \)
142.	Deuten Sie die geometrische Regularitätsbedingung aus Paragraph 12.2.3 geometrisch.\( (*) \)
143.	Wiederholen Sie die Beispiele aus den Paragraphen 12.2.1 und 12.1.3.
144.	Lösen Sie Aufgabe 12.2.2.
145.	Lösen Sie Aufgabe 12.2.3.
146.	Lösen Sie Aufgabe 12.2.4.
147.	Lösen Sie Aufgabe 12.2.5.
148.	Lösen Sie Aufgabe 12.2.6.

13. Partielle und vollständige Differenzierbarkeit

13.1 Partielle Differenzierbarkeit

149.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.1.
150.	Wie lautet die Kettenregel?\( (*) \)
151.	Wie lautet der Mittelwertsatz?\( (*) \)
152.	Wie ist der Gradient einer Funktion definiert?\( (*) \)
153.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.4.
154.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.5.
155.	Was versteht man unter der Richtungsableitung?\( (*) \)
156.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.6.
157.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.7.
158.	Was versteht man unter einer Niveaufläche?.\( (*) \)
159.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.9.
160.	Erläutern Sie einen Zusammenhang zwischen Stetigkeit, partieller Differenzierbarkeit und stetig partieller Differenzierbarkeit.\( (*) \)
161.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.11.
162.	Lösen Sie Aufgabe 13.1.12.

13.2 Vollständige Differenzierbarkeit

163.	Wann heißt eine Funktion in einem Punkt bzw. in \( \Omega \) vollständig differenzierbar?\( (*) \)
164.	Welchen Zusammenhang zwischen Stetigkeit, partieller, stetig partieller und vollständiger Differenzierbarkeit gibt es?\( (*) \)
165.	Lösen Sie Aufgabe 13.2.3.
166.	Lösen Sie Aufgabe 13.2.4.
166.	Lösen Sie Aufgabe 13.2.5.

13.3 Ableitungen höherer Ordnung

167.	Wiederholen Sie den Begriff der partiellen Ableitung höherer Ordnung.\( (*) \)
168.	Wie lautet der Satz von Schwarz?\( (*) \)
169.	Lösen Sie Aufgabe 13.3.1.
170.	Lösen Sie Aufgabe 13.3.2.
171.	Lösen Sie Aufgabe 13.3.5.
172.	Lösen Sie Aufgabe 13.3.6.
173.	Lösen Sie Aufgabe 13.3.7.
174.	Wie haben wir vollständige Differenziale eingehführt?\( (*) \)
175.	Lösen Sie Aufgabe 13.3.11.

14. Taylorsche Formel und Extremwertaufgaben

14.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema

176.	Wie lautet die Taylorsche Formel in mehreren Veränderlichen?\( (*) \)
177.	Was versteht man unter einem Taylorpolynom, was unter einem Restglied?\( (*) \)
178.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.2.
179.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.3.
180.	Was versteht man unter einem lokalen Extremum (Minimum, Maximum)?\( (*) \)
181.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.4.
182.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.5.
183.	Wie lautet unsere notwendige Bedingung erster Ordnung?\( (*) \)
184.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.6.
185.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.7.
186.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.8.
187.	Wie lautet unsere notwendige Bedingung zweiter Ordnung?\( (*) \)
188.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.10.
189.	Wie sind Hessematrix und Hesseform definiert?\( (*) \)
190.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.12.
191.	Wie lautet unsere hinreichende Bedingung zweiter Ordnung?\( (*) \)
192.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.14.
193.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.15.
194.	Lösen Sie Aufgabe 14.1.16.

14.2 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen

195.	Wie lautet der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen?\( (*) \)
196.	Lösen Sie Aufgabe 14.2.1.
197.	Lösen Sie Aufgabe 14.2.2.
198.	Lösen Sie Aufgabe 14.2.3.

14.3 Der Satz über implizite Funktionen

199.	Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?\( (*) \)
200.	Studieren Sie die Beispiele aus Paragraph 14.3.2.
201.	Lösen Sie Aufgabe 14.3.1.
202.	Lösen Sie Aufgabe 14.3.2.
203.	Lösen Sie Aufgabe 14.3.3.

14.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

204.	Erläutern Sie die Lagrange Methode.\( (*) \)
205.	Studieren Sie das Beispiel aus Paragraph 14.4.2.
206.	Lösen Sie Aufgabe 14.4.1.
207.	Lösen Sie Aufgabe 14.4.2.
208.	Lösen Sie Aufgabe 14.4.3.