10. Konvergenz in metrischen Räumen

10.1 Konvergente Folgen

10.2 Banachräume

10.3 Stetige Abbildungen

10.1 Konvergente Folgen

10.1.1 Definition von Konvergenz

Im Folgenden bezeichne \[ \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \] eine Zahlen- oder Punktfolge.

Definition: Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Eine Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) heißt konvergent gegen \( x\in X, \) falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit \[ d(x^{(k)},x)\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k\ge N(\varepsilon). \]

Bemerkung: Die Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) konvergiert also genau dann gegen ein \( x\in X, \) falls zu jeder offenen Umgebung \( U\subset X \) von \( x \) ein \( N\in\mathbb N \) existiert mit \[ x^{(k)}\in U\quad\mbox{für alle}\ k\ge N. \]

Satz: Der Grenzwert \( x\in X \) einer konvergenten Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) ist eindeutig.

Im Fall der Konvergenz schreiben wir \[ x:=\lim_{k\to\infty}x^{(k)} \quad\mbox{oder}\quad x^{(k)}\longrightarrow x\ \mbox{für}\ k\to\infty\,. \]

Beispiel: Betrachte den \( \mathbb R^n \) mit der Euklidischen Metrik \[ d(x,y)=\left(\,\sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2\right)^\frac{1}{2}\,,\quad x,y\in\mathbb R^n\,. \] Eine Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset\mathbb R^n \) konvergiert genau dann gegen ein \( x\in\mathbb R^n \) in \( (\mathbb R^n,d), \) falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit \[ |x_\ell^{(k)}-x_\ell|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k\ge N(\varepsilon) \] und alle \( \ell=1,2,\ldots,n. \)

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10.1.2 Charakterisierung abgeschlossener Mengen

Mit Hilfe des obigen Konvergenzbegriffs lassen sich abschlossene Teilmengen in metrischen Räumen wie folgt charakterisieren:

Satz: Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge \( U\subseteq X \) ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge \( \big\{x^{(k)}\big\}_{k=1,2,\ldots}\subset U \) mit \( x^{(k)}\to x\in X \) für \( k\to\infty \) gilt \[ \lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x\in U. \]

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10.1.3 Aufgaben

Aufgaben - Definition von Konvergenz

Aufgabe 10.1.1: (Konvergente Folgen im \( \mathbb R^3 \))

Wir betrachten den metrischen Raum \( (\mathbb R^3,d) \) mit der Euklidischen Metrik \( d(x,y). \) Entscheiden Sie, ob folgende Folgen \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}, \) gegeben durch die Elemente \( x^{(k)}, \) in \( (\mathbb R^3,d) \) konvergieren, und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Aufgabe 10.1.2: (Konvergent oder nicht konvergent?)

Wir betrachten den metrischen Raum \( (\mathbb R^3,d) \) mit der Euklidischen Metrik \( d(x,y). \) Entscheiden Sie, ob folgende Folgen \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}, \) gegeben durch die Elemente \( x^{(k)}, \) in \( (\mathbb R^n,d) \) konvergieren.

Aufgaben - Charakterisierung abgeschlossener Mengen

Aufgabe 10.1.3: (Abgeschlossenheit reeller Zahlenintervalle)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen im metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der gewöhnlichen Betragsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) abgeschlossen sind unter Benutzung des Kriteriums aus Paragraph 10.1.2.

10.1.4 Wiederholungsfragen

10.2 Banachräume

10.2.1 Cauchyfolgen

Fundamental für die Analysis ist der folgende Begriff.

Definition: Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Eine Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) heißt Cauchyfolge, falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit \[ d(x^{(m)},x^{(n)})\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \]

Vergleichen Sie diese Definition mit der Definition einer reellen Cauchyfolge aus der Vorlesung Analysis 1. Auch hier gilt der

Satz: Jede im Sinne von Paragraph 10.1.1 konvergente Folge eines metrischen Raumes ist eine Cauchyfolge.

Einen Beweis dieser Aussage belassen wir als Übungsaufgabe.

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10.2.2 Definition von Vollständigkeit

Aus der Analysis 1 wissen wir, dass im metrischen Raum \( (\mathbb R,|\cdot|) \) mit der Betragsmetrik die Aussage des Satzes aus dem vorigen Paragraphen auch umgekehrt werden kann (Vollständigkeit der reellen Zahlen). Das führt uns zu der

Definition: Ein metrischer Raum \( (X,d) \) heißt vollständig oder ein Banachraum, falls jede Cauchyfolge aus \( X \) auch in \( X \) konvergiert.

Satz: Der normierte Vektorraum \( \mathbb R^n \) ist vollständig.

Beispiel: Betrachten den metrischen Raum \( (X,d) \) mit \( X=(0,1] \) und \( d(x,y)=|x-y|. \) Dann ist \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) mit \[ x^{(k)}:=\frac{1}{k}\,,\quad k=1,2,\ldots, \] eine Cauchyfolge, denn zu \( \varepsilon\gt 0 \) ermitteln wir \[ d(x^{(m)},x^{(n)}) =\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right| \le\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \le\frac{2}{N(\varepsilon)} \lt\varepsilon \] für alle \( m,n\ge N(\varepsilon) \) und geeignet gewähltem \( N(\varepsilon)\in\mathbb N. \) Es konvergiert die Folge aber nicht in \( X. \) Wäre nämlich \( x\in X \) ein Grenzwert der Folge, so berechnen wir für alle \( n\ge\frac{2}{x} \) \[ d(x^{(n)},x) =\left|\frac{1}{n}-x\right| =x-\frac{1}{n} \ge\frac{x}{2}\,, \] d.h. es gilt nicht \( d(x^{(n)},x)\to 0 \) für \( n\to\infty. \)

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10.2.3 Der Cantorsche Durchschnittssatz

Wir kommen nun zu einem zentralen Resultat der Mengenlehre. Betrachte einführend dazu die reellen, abgeschlossenen, nichtleeren und ineinander geschachtelten Teilintervalle \[ U_k=\left\{x\in\mathbb R\,:\,0\le x\le\frac{1}{k}\right\},\quad k=1,2,\ldots \] Offenbar ist der Punkt \( 0\in\mathbb R \) Element jedes dieser \( U_k, \) d.h. \[ 0\in U_1\cap U_2\cap U_3\cap\ldots \]

Definition: Sei \( U\subseteq X \) eine Teilmenge eines metrischen Raumes \( (X,d). \) Dann verstehen wir unter ihrem Durchmesser den Ausdruck \[ \mbox{diam}\,U:=\sup\,\{d(x,y)\,:\,x,y\in U\}\,. \]

Nun zu dem angekündigten Resultat.

Satz: Es sei \( (X,d) \) ein vollständiger metrischer Raum. Ferner sei \[ U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots \] eine Folge nichtleerer, abgeschlossener und ineinander geschachtelter Teilmengen mit der Eigenschaft \[ \lim_{k\to\infty}\mbox{diam}\,U_k=0. \] Dann existiert genau ein Punkt \( x\in X \) mit \( \displaystyle x\in\bigcap_{k=1}^\infty U_k. \)

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10.2.4 Aufgaben

Aufgaben - Cauchyfolgen

Aufgabe 10.2.1: (Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen)

Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine gegen ein \( x\in X \) konvergente Folge. Beweisen Sie, dass dann \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) auch eine Cauchyfolge in \( X \) ist.

Aufgabe 10.2.2: (Konvergente Teilfolgen von Cauchyfolgen)

Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine Cauchyfolge in \( X. \) Ferner existiere eine konvergente Teilfolge \[ \{x^{(k_\ell)}\}_{\ell=1,2,\ldots}\subset\{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \] mit der Eigenschaft \( \displaystyle\lim_{\ell\to\infty}x^{(k_\ell)}=x\in X. \) Beweisen Sie, dass dann auch gilt \[ \lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x\in X. \]

Aufgaben - Definition von Vollständigkeit

Aufgabe 10.2.3: (Vollständigkeit des abgeschlossenen Einheitsintervalls)

Beweisen Sie, dass der metrische Raum \( (X,d) \) mit \( X=[0,1] \) und \( d(x,y)=|x-y| \) vollständig ist.

Aufgabe 10.2.4: (Beispiel eines unvollständigen Raumes I)

Vorgelegt sei der Raum \( (\mathbb R,d) \) mit \[ d(x,y)=|f(x)-f(y)|,\quad f(x):=\frac{x}{1+|x|}\,. \]

Betrachten Sie nun die Folge \[ \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \quad\mbox{mit}\quad x^{(k)}:=k,\ k=1,2,\ldots \]

Aufgabe 10.2.5: (Beispiel eines unvollständigen Raumes II)

Wir betrachten die Menge \[ {\mathbb R}^{\mathbb N}:=\{x=(x_1,x_2,x_3,\ldots)\,:\,x_k\in\mathbb R\ \mbox{für alle}\ k=1,2,\ldots\} \] aller als Vektoren \( x\in{\mathbb R}^{\mathbb N} \) aufgefassten reellwertigen Folgen sowie den Teilraum \[ E:=\{x\in\mathbb R^{\mathbb N}\,:\,x_k\not=0\ \mbox{für höchstens endlich viele}\ k\}\,, \] ausgestattet mit der Supremumsnorm \[ \|x\|_\infty:=\sup_{k\in\mathbb N}|x_k|,\quad x\in\mathbb R^{\mathbb N}\,, \] und der hieraus induzierten Metrik \[ d(x,y)=\|x-y\|_\infty\,. \] Beweisen Sie, dass \( (E,d) \) nicht vollständig ist. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

\[ x^{(\ell)}:=\left(1,\frac{1}{2}\,,\frac{1}{3}\,,\ldots,\frac{1}{\ell}\,,0,0,\ldots\right) \]

\[ \lim_{\ell\to\infty}x^{(\ell)}=x. \]

Aufgaben - Der Cantorsche Durchschnittssatz

Aufgabe 10.2.6: (Notwendigkeit der Abgeschlossenheit)

Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) offener Mengen \( U_k\subset\mathbb R \) mit den Eigenschaften \[ \begin{array}{l} U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \mbox{diam}\,U_k\to 0\ \mbox{für}\ k\to\infty\,, \\ \mbox{und}\quad \displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset\,. \end{array} \] Begründen Sie.

Aufgabe 10.2.7: (Notwendigkeit der Durchmesser-Bedingung)

Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) abgeschlossener Mengen \( U_k\subset\mathbb R \) mit den Eigenschaften \[ \begin{array}{l} U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \mbox{diam}\,U_k\not\to 0\quad\mbox{für}\ k\to\infty\,, \\ \mbox{und}\quad \displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset\,. \end{array} \] Begründen Sie.

Aufgabe 10.2.8: (Notwendigkeit der Vollständigkeit)

Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) abgeschlossener Mengen \( U_k\subset\mathbb Q \) mit den Eigenschaften \[ \begin{array}{l} U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \mbox{diam}\,U_k\to 0\ \mbox{für}\ k\to\infty, \\ \mbox{und}\quad \displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset. \end{array} \] Begründen Sie.

10.2.5 Wiederholungsfragen

10.3 Stetige Abbildungen

10.3.1 Definition von Stetigkeit

Als nächstes wollen wir stetige Abbildungen auf metrischen Räumen betrachten. Vergleichen Sie die nachstehenden Setzungen mit den bekannten Begriffen für Funktionen \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) aus der Vorlesung Analysis 1.

Definition: Es seien \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) zwei metrische Räume. Eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) heißt stetig im Punkt \( x_0\in X, \) falls zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( \delta(x_0,\varepsilon)\gt 0 \) existiert mit \[ \varrho(f(x),f(x_0))\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in X\ \mbox{mit}\ d(x,x_0)\lt\delta(x_0,\varepsilon). \] Die Abbildung \( f(x) \) heißt stetig auf \( X, \) falls sie in jedem Punkt \( x\in X \) stetig ist.

Bemerkung: Auch hier überzeugt man sich von der Gültigkeit des Folgenkriteriums der Stetigkeit: Die Abbildung \( f\colon X\to Y \) ist in \( x_0\in X \) stetig, falls \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \] erfüllt ist, d.h. wenn gilt \[ f(x^{(k)})\longrightarrow f(x_0) \] für jede Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) mit \( x^{(k)}\to x_0. \)

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10.3.2 Ein topologisches Stetigkeitskriterium

Die Definition der Stetigkeit aus dem vorigen Paragraphen lässt sich zunächst wie folgt umschreiben:

Satz: Die Abbildung \( f\colon X\to\ Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) ist stetig in \( x_0\in X \) genau dann, falls zu jeder offenen Umgebung \( V\subseteq Y \) von \( f(x_0)\in Y \) eine Umgebung \( U\subseteq X \) von \( x_0\in U \) existiert mit \[ f(U)\subseteq V. \]

Wir belassen einen Beweis dieses Satzes als Übung und kommen zu folgendem topologischen Stetigkeitskriterium.

Satz: Die Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) ist genau dann stetig auf \( X, \) falls für jede in \( (Y,\varrho) \) offene Menge \( W\subseteq Y \) das inverse Bild \[ f^{-1}(W)=\{x\in X\,:\,f(x)\in W\} \] offen in \( (X,d) \) ist.

Bemerkung: Stetigkeit ist also eine Eigenschaft von Funktionen, die sich vermittels des topologischen Begriffs einer offenen Menge formulieren lässt und ist daher nicht auf Funktionen auf metrischen Räumen begrenzt. Dem Studium stetiger Abbildungen zwischen topologischen Räumen ist ein ganzes Gebiet der Mathematik gewidmet, die Topologie.

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10.3.3 Der Raum der stetigen Funktionen

Wir wollen noch wichtige Rechenregeln für stetige Funktionen ohne Beweis notieren. Vergleichen Sie dazu die entsprechenden Paragraphen aus der Vorlesung Analysis 1.

Satz: Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum, und es seien \( f,g\colon X\to\mathbb R \) stetig auf \( X. \) Dann sind auch die Summe und das Produkt \[ (f+g)(x):=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x),\quad x\in X, \] stetig auf \( X. \) Gilt zudem \( g(x)\not=0 \) auf \( X, \) so ist auch der Quotient \[ \left(\frac{f}{g}\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}\,,\quad x\in X, \] stetig auf \( X. \)

Satz: Es seien \( f\colon X\to Y \) und \( g\colon Y\to Z \) stetige Funktionen zwischen den metrischen Räumen \( (X,d), \) \( (Y,\varrho) \) und \( (Z,\sigma). \) Dann ist auch die Komposition \[ h\colon X\longrightarrow Z \quad\mbox{vermöge}\quad h(x):=g\circ f(x),\ x\in X, \] stetig auf \( X. \)

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10.3.4 Aufgaben

Aufgaben - Definition von Stetigkeit

Aufgabe 10.3.1: (Erste Beispiele stetiger Abbildungen)

Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen \( f,g,h\colon\mathbb R^2\to\mathbb R \) zwischen den beiden metrischen Räumen \[ \begin{array}{lll} \displaystyle (\mathbb R^2,d) & \mbox{mit} & d(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\,, \\ \displaystyle (\mathbb R,\varrho) & \mbox{mit} & \varrho(u,v):=|u-v| \end{array} \] im Sinne der Definition aus dem Paragraphen 10.3.1 stetig sind:

Aufgabe 10.3.2: (Erste Beispiele stetiger Abbildungen)

Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum, und es sei \( x_0\in X \) ein isolierter Punkt von \( X, \) d.h. mit einem geeigneten \( \varepsilon\gt 0 \) gilt \[ B_\varepsilon(x_0)\cap X=\{x_0\} \] Beweisen Sie, dass jede Funktion \( f\colon X\to\mathbb R \) stetig in diesem Punkt \( x_0\in X \) ist.

Aufgabe 10.3.3: (Stetigkeit der Abstandsfunktion)

Es sei \( A\subset\mathbb R^n \) eine nichtleere Menge. Als Abstand eines Punktes \( x\in\mathbb R^n \) zur Menge \( A \) verstehen wir den Ausdruck \[ d_A(x):=\inf\,\{d(x,a)\,:\,a\in A\} \] mit der Euklidischen Metrik \( d(x,y)=\|x-y\|_2 \) im \( \mathbb R^n. \) Beweisen Sie:

\[ |d_A(x)-d_A(y)|\le d(x,y). \]

Aufgaben - Ein topologisches Stetigkeitskriterium

Aufgabe 10.3.4: (Eine weitere Charakterisierung stetiger Abbildungen)

Beweisen Sie: Eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) ist genau dann stetig auf \( X, \) falls für jede in \( (Y,\varrho) \) abgeschlossene Menge \( W\subseteq Y \) das inverse Bild \[ f^{-1}(W)=\{x\in X\,:\,f(x)\in W\} \] abgeschlossen in \( (X,d) \) ist.

Aufgaben - Der Raum der stetigen Funktionen

Aufgabe 10.3.5: (Stetigkeit von Funktionen I)

Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\ a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)

Aufgabe 10.3.6: (Stetigkeit von Funktionen II)

Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\ a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)

Aufgabe 10.3.7: (Stetigkeit von Funktionen III)

Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\ a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)

Aufgabe 10.3.8: (Stetigkeit von Funktionen IV)

Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,xy, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\ a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)

10.3.5 Wiederholungsfragen