Hausaufgabenblatt 1
Aufgabe HA 1
Es sei \( d(x,y) \) eine Metrik auf der nichtleeren Menge \( X. \) Beweisen Sie, dass dann \[ \widetilde d(x,y):=\sqrt{d(x,y)} \] ebenfalls eine Metrik auf \( X \) ist.
| \( \circ \) | Wegen \( d(x,y)\ge 0 \) für alle \( x,y\in X \) ist zunächst |
\[ \widetilde d(x,y)=\sqrt{d(x,y)}\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b], \]
| also gilt (M1). | |
| \( \circ \) | Da \( d(x,y)=0 \) genau dann, wenn \( x=y, \) so folgt |
\[ \widetilde d(x,y)=\sqrt{d(x,y)}=0\quad\mbox{genau dann, wenn}\ x=y. \]
| Also gilt (M2). | |
| \( \circ \) | Es ist ferner |
\[ \widetilde d(x,y)=\sqrt{d(x,y)}=\sqrt{d(y,x)}=\widetilde d(y,x)\quad\mbox{für alle}\ x,y\in X, \]
| also gilt (M3). | |
| \( \circ \) | Schließlich schätzen wir wie folgt ab (warum im Detail?) |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \widetilde d(x,z) & = & \negthickspace\displaystyle \sqrt{d(x,z)} \,\le\,\sqrt{d(x,y)+d(y,z)} \,\le\,\sqrt{d(x,y)}+\sqrt{d(y,z)} \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \widetilde d(x,y)+\widetilde d(y,z) \end{array} \]
| für alle \( x,y\in X. \) Das ist (M4). |
Also handelt es sich bei \( X,\widetilde d(x,y) \) um einen metrischen Raum.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 2
Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen keine Metriken auf \( \mathbb R \) sind.
| (i) | \( d_1(x,y):=|x-3y|,\quad x,y\in\mathbb R \) |
| (ii) | \( d_2(x,y):=|x|-|y|,\quad x,y\in\mathbb R \) |
| (i) | Im Fall \( x=y \) und \( x\not=0 \) ist |
\[ d_1(x,x)=|x-3x|=2|x|\not=0 \]
| im Widerspruch zu (M2), d.h. \( d_1 \) ist keine Metrik auf \( \mathbb R. \) | |
| (ii) | Im Fall \( y=2x \) und \( x\not=0 \) ist |
\[ d_2(x,2x)=|x|-2|x|=-|x|\lt 0, \]
| im Widerspruch zu (M1), d.h. \( d_2 \) ist keine Metrik auf \( \mathbb R. \) |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 3
Es sei \( f\colon[a,b]\to[\alpha,\beta] \) eine bijektive Abbildungen zwischen den nichtleeren, kompakten Intervallen \( [a,b],[\alpha,\beta]\subset\mathbb R. \) Wir setzen \[ d(x,y):=|f(x)-f(y)|,\quad x,y\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass dann \( ([a,b],d) \) ein metrischer Raum ist.
| \( \circ \) | Zunächst ist |
\[ d(x,y)=|f(x)-f(y)|\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b]. \]
| also gilt (M1). | |
| \( \circ \) | Im Fall \( x=y \) ist \( f(x)=f(y) \) und damit \( d(x,y)=0. \) Ist umgekehrt \( d(x,y)=0 \) und damit \( f(x)=f(y), \) so folgt \( x=y \) aus der Bijektivität der Abbildung. Also gilt (M2). |
| \( \circ \) | Es ist auch (M3) erfüllt, denn |
\[ d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x)\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b]. \]
| \( \circ \) | Schließlich ermitteln wir |
\[ \begin{array}{lll} d(x,z)\negthickspace & = & \negthickspace |f(x)-f(z)| \,=\,|f(x)-f(y)+f(y)-f(z)| \\[0.6ex] & \le & \negthickspace |f(x)-f(y)|+|f(y)-f(z)| \,=\,d(x,y)+d(y,z) \end{array} \]
| für alle \( x,y\in[a,b], \) und es ist (M4) richtig. |
Also handelt es sich bei \( [a,b],d(x,y) \) um einen metrischen Raum.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 4
Es sei \( (V,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum. Beweisen Sie, dass dann \[ d(x,y):=\|x-y\|,\quad x,y\in V, \] eine Metrik auf \( V \) darstellt.
| \( \circ \) | Nach (N1) ist \( \|x-y\|\ge 0, \) d.h. es ist (M1) erfüllt. |
| \( \circ \) | Nach (N2) ist \( \|x-y\|=0 \) genau dann, wenn \( x=y, \) d.h. es ist (M2) erfüllt. |
| \( \circ \) | Nach (N3) ermitteln wir |
\[ \begin{array}{lll} d(x,y)\negthickspace & = & \negthickspace \|x-y\| \,=\,\|-(y-x)\| \,=\,|-1|\cdot\|y-x\| \\ & = & \negthickspace \|y-x\| \,=\,d(y,x), \end{array} \]
| d.h. es ist (M3) erfüllt. | |
| \( \circ \) | Nach (N4) ermitteln wir |
\[ \begin{array}{lll} d(x,z)\negthickspace & = & \negthickspace \|x-z\| \,=\,\|(x-y)+(y-z)\| \,\le\,\|x-y\|+\|y-z\| \\[0.6ex] & = & \negthickspace d(x,y)+d(y,z), \end{array} \]
| d.h. es ist (M4) erfüllt. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 5
Wir betrachten den \( \mathbb R^n \) mit der Abbildung \[ \|x\|_1:=\sum_{k=1}^n|x_k|,\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n\,. \] Beweisen Sie, dass \( (\mathbb R^n,\|\cdot\|_1) \) ein normierter Raum ist.
| \( \circ \) | Zunächst ist |
\[ \|x\|_1\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in \mathbb R^n\,, \]
| da jeder Summand im Normausdruck nicht negativ ist. Also gilt (N1). | |
| \( \circ \) | Ist \( \|x\|_1=0, \) so ist auch |
\[ \sum_{i=1}^n|x_i|=0 \quad\mbox{bzw.}\quad |x_i|=0\quad\mbox{für alle}\ i=1,\ldots, \]
| und damit \( x=0. \) Ist umgekehrt \( x=0, \) so ist |
\[ x_i=0\quad\mbox{für alle}\ i=1,\ldots,n \quad\mbox{bzw.}\quad \sum_{i=1}^n|x_i|=0 \]
| und damit \( \|x\|_1=0. \) Also gilt (N2). | |
| \( \circ \) | Mit einem \( \lambda\in\mathbb R \) ist ferner |
\[ \|\lambda x\|_1 =\sum_{i=1}^n|\lambda x_i| =|\lambda|\,\sum_{i=1}^n|x_i| =|\lambda|\|x\|_1\,. \]
| Also gilt (N3). | |
| \( \circ \) | Schließlich ermitteln wir mit der gewöhnlichen Dreiecksungleichung |
\[ \begin{array}{lll} \|x+y\|_1\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^n|x_i+y_i| \,\le\,\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|) \\[1ex] & \le & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^n|x_i|+\sum_{i=1}^n|y_i| \,=\,\|x\|_1+\|y\|_1\,. \end{array} \]
| Also gilt auch (N4). |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 6
Es sei \( [a,b]\subset\mathbb R, \) \( a\lt b, \) ein kompaktes Intervall. Wir bezeichnen \[ B([a,b]):=\big\{f\colon[a,b]\to\mathbb R\,:\,f([a,b])\ \mbox{ist beschränkte Teilmenge von}\ \mathbb R\big\} \] die Menge aller reellwertigen und beschränkten Funktionen auf \( [a,b]. \) Beweisen Sie, dass \( B([a,b]) \) zusammen mit der Supremumsnorm \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|,\quad f\in B([a,b]), \] zu einem normierten Raum wird.
| \( \circ \) | Zunächst ist \( \|f\|\infty\ge 0 \) für alle \( f\in B([a,b]) \) wegen \( |f(x)|\ge 0. \) Es gilt also (N1). |
| \( \circ \) | Die Funktion \( f(x)=0 \) für alle \( x\in[a,b] \) ist aus \( B([a,b]). \) Sie genügt \( \|0\|_\infty=0. \) Umgekehrt gelte \( \|f\|_\infty=0, \) d.h. |
\[ 0\le|f(x)|\le\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b], \]
| bzw. \( f(x)\equiv 0. \) Das ist (N2). | |
| \( \circ \) | Wir ermitteln |
\[ \|\lambda f\|_\infty =\sup_{x\in[a,b]}|\lambda f(x)| =\sup_{x\in[a,b]}|\lambda||f(x)| =|\lambda|\cdot\sup_{x\in[a,b]}|f(x)| =|\lambda|\|f\|_\infty\,, \]
| und daher gilt (N3). | |
| \( \circ \) | Seien \( f,g\in B([a,b]). \) Dann ermitteln wir mit der gewöhnlichen Dreiecksungleichung |
\[ \begin{array}{lll} \|f+g\|_\infty\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sup_{x\in[a,b]}|f(x)+g(x)| \,\le\,\sup_{x\in[a,b]}\big\{|f(x)|+|g(x)|\big\} \\ & \le & \negthickspace\displaystyle \sup_{x\in[a,b]}|f(x)|+\sup_{x\in[a,b]}|g(x)| \,=\,\|f\|_\infty+\|g\|_\infty\,. \end{array} \]
| Also gilt auch die Dreiecksungleichung (N4). |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)