Hausaufgabenblatt 2
Aufgabe HA 7
Beweisen Sie: In einem metrischen Raum \( (X,d) \) mit der diskreten Metrik \( d(x,y) \) ist jede Teilmenge von \( X \) offen in \( (X,d). \)
Sei \( U\subseteq X. \) Im Fall \( U=\emptyset \) ist die Behauptung klar nach PA 5(i). Sei also \( U\not=\emptyset, \) und sei ein \( x\in U \) beliebig gewählt. Dann ist insbesondere \[ B_1(x)=\{z\in X\,:\,d(x,z)\lt 1\}=\{x\}\subseteq U \] nach Definition der diskreten Metrik, und daher ist \( U \) offen in \( (X,d).\qquad\Box \)
Aufgabe HA 8
Beweisen Sie: In einem metrischen Raum \( (X,d) \) mit der diskreten Metrik \( d(x,y) \) ist jede Teilmenge \( U \) von \( X \) abgeschlossen in \( (X,d). \)
Im Fall \( X\setminus U=\emptyset \) ist \( X\setminus U \) offen und daher \( U \) abgeschlossen. Sei also \( X\setminus U\not=\emptyset. \) Wähle ein \( x\in X\setminus U \) beliebig. Dann gilt \[ B_\frac{1}{2}(x) =\left\{z\in X\,:\,|x-z|\lt\frac{1}{2}\right\} =\{x\} \subseteq X\setminus U. \] Daher ist \( X\setminus U \) offen und \( U\subseteq X \) abgeschlossen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 9
Mit der gewöhnlichen Abstandsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) in \( \mathbb R \) betrachten wir die metrischen Räume \[ \begin{array}{ll} (X,d) & \quad\mbox{mit}\ X=\mathbb R, \\[0.4ex] (X^*,d) & \quad\mbox{mit}\ X^*=[0,1)\cup[2,3]. \end{array} \] Beweisen Sie:
| (i) | \( [0,1) \) ist abgeschlossen in \( (X^*,d), \) aber nicht in \( (X,d) \) |
| (ii) | \( [0,1) \) ist offen in \( (X^*,d), \) aber nicht in \( (X,d) \) |
| (iii) | \( [2,3] \) ist abgeschlossen in \( (X,d) \) und auch in \( (X^*,d) \) |
| (iv) | \( [2,3] \) ist offen in \( (X^*,d), \) aber nicht in \( (X,d) \) |
| (i) | Es ist \( [0,1) \) nicht abgeschlossen in \( (X,d), \) da |
\[ X\setminus[0,1) =\mathbb R\setminus[0,1) =(-\infty,0)\cup[1,\infty), \]
| und \( [1,\infty) \) ist nicht offen in \( (X,d), \) da \( 1 \) kein innerer Punkt ist, denn jeder offene Ball \( B_\varepsilon(1) \) enthält Punkte \( x\in(1-\varepsilon,1+\varepsilon) \) mit \( x\not\in[1,\infty). \) Es ist aber \( [0,1) \) abgeschlossen in \( (X^*,d), \) denn |
\[ X^*\setminus[0,1) =\big\{[0,1)\cup[2,3]\big\}\setminus[0,1) =[2,3], \]
| und \( [2,3] \) ist in \( (X^*,d) \) offen. Zum Nachweis betrachten wir nur den Punkt \( 2: \) |
\[ B_\frac{1}{2}(2) =\left\{x\in X^*\,:\,|x-2|\lt\frac{1}{2}\right\} =\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)\cap X^* =\left[2,\frac{5}{2}\right) \subset[2,3] \subset X^*\,. \]
| Die Nachweise für die anderen Punkte erfolgen analog. | |
| (ii) | Es ist \( [0,1) \) nicht offen in \( (X,d), \) denn es gilt |
\[ B_\varepsilon(0)\cap X=B_\varepsilon(0)\cap\mathbb R=(-\varepsilon,\varepsilon)\not\subset[0,1) \]
| für alle \( \varepsilon\gt 0. \) Es ist aber \( [0,1) \) offen in \( (X^*,d). \) Es genügt, den Punkt \( 0 \) zu betrachten: |
\[ B_\frac{1}{2}(0) =\left\{x\in X^*\,:\,|x|\lt\frac{1}{2}\right\} =\left(-\frac{1}{2}\,,\frac{1}{2}\right)\cap X^* =\left[0,\frac{1}{2}\right) \subset[0,1) \subset X^*. \]
| Der Nachweise für alle anderen Punkte erfolgen analog. | |
| (iii) | Es ist \( [2,3) \) abgeschlossen in \( (X,d), \) da |
\[ X\setminus[2,3] =\mathbb R\setminus[2,3] =(-\infty,2)\cup(3,\infty) \]
| offen in \( (X,d) \) ist. Es ist \( [2,3] \) auch abgeschlossen in \( (X^*,d), \) denn |
\[ Y\setminus[2,3]=[0,1), \]
| und nach Aufgabenteil (ii) ist \( [0,1) \) offen in \( (X^*,d). \) | |
| (iv) | Beide Behauptungen zu zeigen wie in (ii). |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 10
Wir betrachten den metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der Abstandsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) und hierin die Teilmenge \[ U:=\left\{\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb N\right\}\subset\mathbb R. \] Geben Sie ohne weitere Begründung an \[ \mathring U,\quad \partial U,\quad \overline U\,. \]
| \( \circ \) | Die Menge besitzt keine inneren Punkte, d.h. es ist \( \mathring U=\emptyset. \) |
| \( \circ \) | Es gilt \( \partial U=U\cup\{0\}. \) |
| \( \circ \) | Es gilt \( \overline U=U\cup\{0\}. \) |
Damit sind alle gefragten Größen bestimmt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 11
Es sei \( X \) eine nichtleere Menge. Beweisen Sie:
| (i) | Es ist \( (X,{\mathcal T}_1) \) mit \( {\mathcal T}_1:={\mathcal P}(X) \) und der Potenzmenge \( {\mathcal P}(X) \) von \( X \) ein topologischer Raum. Dabei heißt \( {\mathcal T}_1 \) die diskrete Topologie. |
| (ii) | Es ist \( (X,{\mathcal T}_2) \) mit \( {\mathcal T}_2:=\{\emptyset,X\} \) ein topologischer Raum. Dabei heißt \( {\mathcal T}_2 \) die indiskrete Topologie. |
(i) Zur diskreten Topologie:
Hier ist jede Teilmenge von \( X \) offen.
| \( \circ \) | Es gilt (T1), denn es sind \( \emptyset\in T \) und \( X\in T, \) da \( \emptyset\in{\mathcal P}(X) \) und \( X\in{\mathcal P}(X). \) |
| \( \circ \) | Es gilt (T2), denn sind \( U,V\in T, \) so auch \( U\cap V, \) da \( U\cap V\in{\mathcal P}(X). \) |
| \( \circ \) | Es gilt (T3), denn sind \( U_i\in T \) für \( i\in I \) mit einer beliebigen Indexmenge \( I, \) so auch \( \displaystyle\bigcup_{i\in I}U_i. \) |
(ii) Zur indiskreten Topologie:
Hier sind nur die leere Menge \( \emptyset \) und die Menge \( X \) selbst offen.
| \( \circ \) | Es gilt (T1), denn nach Voraussetzung sind \( \emptyset\in T \) und \( X\in T. \) |
| \( \circ \) | Es gilt (T2), denn sind \( U,V\in T, \) so ist \( U\cap V=\emptyset \) oder \( U\cap V=X, \) d.h. \( U\cap V\in T. \) |
| \( \circ \) | Es gilt (T3). Sind nämlich \( U_i\in T \) für \( i\in I \) mit einer beliebigen Indexmenge \( I, \) so gilt auch für deren Vereinigung |