Hausaufgabenblatt 3
Aufgabe HA 12
Wir betrachten die nichtleere Menge \( X=\{a,b,c,d,e,f\}. \) Begründen Sie, ob es sich bei den folgenden Mengensystemen \( T \) und \( T^* \) um eine Topologie auf \( X \) handelt oder nicht.
| (i) | \( T:=\{\emptyset,X,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e,f\}\} \) |
| (ii) | \( T^*:=\{\emptyset,X,\{a\},\{f\},\{a,f\},\{a,c,f\},\{b,c,d,e,f\}\} \) |
| (i) | Bei \( T \) handelt es sich um eine Topologie. Zum Nachweis sind zu prüfen \( \emptyset\in T \) und \( X\in T, \) und dann sind die Durchschnitte und Vereinigungen zu ermitteln, was wir hier übergehen. |
| (ii) | Bei \( T^* \) handelt es sich nicht um eine Topologie, denn bereits der Durchschnitt |
\[ \{a,c,f\}\cap\{b,c,d,e,f\}=\{c,f\} \]
| gehört nicht zu \( T^*. \) |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 13
Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie, dass jede in \( (X,d) \) konvergente Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine Cauchyfolge in \( (X,d) \) darstellt.
Es sei \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine gegen \( x\in X \) konvergente Folge. Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert dann ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ d(x^{(k)},x)\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ k\ge N(\varepsilon). \] Mit Hilfe der Dreiecksungleichung ermitteln wir nun \[ d(x^{(m)},x^{(n)}) \le d(x^{(m)},x)+d(x,x^{(n)}) \lt\varepsilon+\varepsilon =2\varepsilon \] für alle \( m,n\ge N(\varepsilon). \) Also ist \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) eine Cauchyfolge.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 14
Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und hierin \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine Cauchyfolge. Ferner existiere eine konvergente Teilfolge \( \{x^{(k_\ell)}\}_{\ell=1,2,\ldots}\subset\{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) mit \[ \lim_{\ell\to\infty} x^{(k_\ell)}=x\in X. \] Beweisen Sie \( \displaystyle\lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x\in X. \)
Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ d(x^{(m)},x^{(n)})\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon), \] da \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) eine Cauchyfolge ist, als auch \[ d(x^{(k_\ell)},x)\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ \ell\ge N(\varepsilon), \] da \( \{x^{(k_\ell)}\}_{\ell=1,2,\ldots} \) gegen \( x\in X \) konvergiert. Mit der Dreiecksungleichung fassen wir zusammen \[ d(x^{(m)},x) \le d(x^{(m)},x^{(k_\ell)})+d(x^{(k_\ell)},x) \lt\varepsilon+\varepsilon =2\varepsilon \] für alle \( m,\ell\ge N(\varepsilon). \) Also ist auch \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) konvergent gegen \( x\in X\qquad\Box \)
Aufgabe HA 15
Auf der Menge \( X=\mathbb R, \) ausgestattet mit der diskreten Metrik \( d(x,y), \) betrachten wir die Folge \[ \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\ x^{(k)}:=\frac{1}{k}\,. \] Ist diese Folge in \( (\mathbb R,d) \) konvergent? Begründen Sie.
Sei allgemein \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine gegen ein \( x\in\mathbb R \) konvergente Folge in \( (\mathbb R,d). \) Wir wählen \( \varepsilon=\frac{1}{2}. \) Dann existiert ein \( N\in\mathbb N \) mit \[ d(x,x^{(k)})\lt\frac{1}{2}\quad\text{für alle}\ k\ge N. \] Da aber \( d \) nur die Werte \( 1 \) oder \( 0 \) annimmt, muss notwendig gelten \[ x^{(k)}=x\quad\text{für alle}\ k\ge N, \] d.h. die Folge ist spätestens ab dem Index \( N \) konstant. Umgekehrt ist eine Folge mit dieser Eigenschaft auch in \( (\mathbb R,d) \) konvergent gegen \( x\in\mathbb R, \) da dann nämlich \[ d(x,x^{(k)})=0\quad\text{für alle}\ k\ge N \] richtig ist. Insbesondere konvergiert eine Folge mit \( x^{(m)}\not=x^{(n)} \) für alle \( m\not=n \) in \( (\mathbb R,d) \) überhaupt nicht. Die in der Aufgabe gegebene Folge ist aber genau von dieser Form, weshalb sie in \( (\mathbb R,d) \) nicht konvergent ist.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 16
Auf der nichtleeren Menge \( X \) betrachten wir die diskrete Metrik \( d(x,y). \) Beweisen Sie, dass \( (X,d) \) vollständig ist.
Sei \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine Cauchyfolge in \( (X,d), \) d.h. zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ d(x^{(m)},x^{(n)})\lt\varepsilon\quad\text{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \] Wähle \( \varepsilon=\frac{1}{2}, \) so existiert also ein \( N^*\in\mathbb N \) mit \[ d(x^{(m)},x^{(n)})\lt\frac{1}{2}\quad\text{für alle}\ m,n\ge N^*\,. \] Das ist aber nur dann richtig, wenn die Folge spätestens ab dem Index \( N^* \) konstant ist und damit konvergent. Zusammen mit HA 13 folgt, dass eine Folge in diesem Raum dann und nur dann konvergiert, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Damit ist \( (X,d) \) vollständig.\( \qquad\Box \)