Hausaufgabenblatt 3

Aufgabe HA 12

Wir betrachten die nichtleere Menge \( X=\{a,b,c,d,e,f\}. \) Begründen Sie, ob es sich bei den folgenden Mengensystemen \( T \) und \( T^* \) um eine Topologie auf \( X \) handelt oder nicht.

Aufgabe HA 13

Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie, dass jede in \( (X,d) \) konvergente Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine Cauchyfolge in \( (X,d) \) darstellt.

Aufgabe HA 14

Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und hierin \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) eine Cauchyfolge. Ferner existiere eine konvergente Teilfolge \( \{x^{(k_\ell)}\}_{\ell=1,2,\ldots}\subset\{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset X \) mit \[ \lim_{\ell\to\infty} x^{(k_\ell)}=x\in X. \] Beweisen Sie \( \displaystyle\lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x\in X. \)

Aufgabe HA 15

Auf der Menge \( X=\mathbb R, \) ausgestattet mit der diskreten Metrik \( d(x,y), \) betrachten wir die Folge \[ \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\ x^{(k)}:=\frac{1}{k}\,. \] Ist diese Folge in \( (\mathbb R,d) \) konvergent? Begründen Sie.

Aufgabe HA 16

Auf der nichtleeren Menge \( X \) betrachten wir die diskrete Metrik \( d(x,y). \) Beweisen Sie, dass \( (X,d) \) vollständig ist.