Hausaufgabenblatt 4
Aufgabe HA 17
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
| (i) | Zunächst sind \( x, \) \( y \) und daher auch \( x^2, \) \( y^2, \) \( x^2-y^2 \) sowie \( x^2+y^2 \) stetig. Außerhalb von \( (0,0) \) ist dann auch der Quotient \( \frac{xy}{x^2+y^2} \) stetig. |
| (ii) | Um das Verhalten in \( (0,0) \) zu studieren, betrachten wir folgende Grenzwerte: |
| \( \circ\quad \) einmal \( (x,y)\to(0,0) \) entlang \( y=0, \) also |
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2} =1, \]
| \( \circ\quad \) einmal \( (x,y)\to(0,0) \) entlang \( x=0, \) also |
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\lim_{y\to 0}\frac{-y^2}{y^2} =-1. \]
| Beide Grenzwerte stimmen nicht überein, d.h. \( f(x,y) \) ist in \( (0,0) \) nicht stetig, und ein solches, in Frage stehendes \( a\in\mathbb R \) existiert nicht. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 18
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,xy, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
| (i) | Zunächst sind \( x, \) \( y \) und daher auch \( xy, \) \( x^2, \) \( y^2, \) \( x^2-y^2 \) sowie \( x^2+y^2 \) stetig. Außerhalb von \( (0,0) \) ist dann auch der Quotient \( \frac{xy}{x^2+y^2} \) stetig. |
| (ii) | Wir schätzen wie folgt ab |
\[ |f(x,y)| \le\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\,|xy| =|xy|, \]
| und daher gilt |
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. \]
| Mit der Wahl \( a=0 \) wird \( f \) also in \( (0,0) \) und damit in ganz \( \mathbb R^2 \) stetig. |
Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 19
Beweisen Sie: Eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen R\"aumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) ist genau dann stetig auf \( X, \) falls für jede in \( (Y,\varrho) \) abgeschlossene Menge \( W\subseteq Y \) das inverse Bild \[ f^{-1}(W):=\{x\in X\,:\,f(x)\in W\}\subseteq Y \] abgeschlossen in \( (X,d) \) ist.
Wir gehen in zwei Schritten vor.
| 1. | Es sei \( f\colon X\to Y \) stetig. Weiter sei \( W\subseteq Y \) eine beliebige, in \( (Y,\varrho) \) abgeschlossene Menge. Dann sind \( W^c\subseteq Y \) offen in \( (Y,\varrho) \) sowie \( f^{-1}(W^c) \) offen und damit \( [f^{-1}(W^c)]^c \) abgeschlossen in \( (X,d). \) Nun ermitteln wir |
\[ \begin{array}{lll} \big[f^{-1}(W^c)\big]^c\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! \{x\in X\,:\,f(x)\in W^c\}^c \,=\,X\setminus\{x\in X\,:\,f(x)\in W^c\} \\[0.4ex] & = & \displaystyle\!\!\! \{x\in X\,:\,f(x)\not\in W^c\} \,=\,\{x\in X\,:\,f(x)\in W\} \,=\,f^{-1}(W). \end{array} \]
| Also ist \( f^{-1}(W) \) abgeschlossen in \( (X,d). \) | |
| 2. | Wähle eine beliebige, in \( (Y,\varrho) \) offene Menge \( V\subseteq Y. \) Dann ist \( V^c\subseteq Y \) in \( (Y,\varrho) \) abgeschlossen, und nach Voraussetzung ist auch \( f^{-1}(V^c) \) abgeschlossen in \( (X,d). \) Zu zeigen ist die Stetigkeit von \( f. \) Wie im ersten Beweispunkt ist nun |
\[ \big[f^{-1}(V^c)\big]^c=f^{-1}(V), \]
| aber es sind \( [f^{-1}(V^c)]^c \) offen in \( (X,d) \) und damit auch \( f^{-1}(V). \) Also ist \( f\colon X\to Y \) stetig. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)