Hausaufgabenblatt 4
Aufgabe HA 17
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
Aufgabe HA 18
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,xy, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
Aufgabe HA 19
Beweisen Sie: Eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen R\"aumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) ist genau dann stetig auf \( X, \) falls für jede in \( (Y,\varrho) \) abgeschlossene Menge \( W\subseteq Y \) das inverse Bild \[ f^{-1}(W):=\{x\in X\,:\,f(x)\in W\}\subseteq Y \] abgeschlossen in \( (X,d) \) ist.