Hausaufgabenblatt 5
Aufgabe HA 20
Betrachten Sie die durch \[ x(t):=1-3t^2\,,\quad y(t):=(3-t^2)t,\quad t\in(-3,3), \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (iii) | Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung folgender algebraischer Gleichung genügt |
\[ 27y^2=(1-x)(x+8)^2\,. \]
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Wir berechnen |
\[ x'(t)=-6t,\quad y'(t)=3-3t^2 \]
| weshalb gilt |
\[ x'^2+y'^2 =36t^2+9-18t^2+9t^4 \ge 9\gt 0. \]
| Es handelt sich also um eine reguläre Parametrisierung. | |
| (iii) | Wir berechnen |
\[ \begin{array}{lll} (1-x)(x+8)^2\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! (1-1+3t^2)(1-3t^2+8)^2 \,=\,3t^2(9-3t^2)^2 \\[0.6ex] & = & \displaystyle\!\!\! 27t^2(3-t^2)^2 \,=\,27y^2\,. \end{array} \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 21
Es seien \( R\gt 0 \) und \( h\gt 0 \) reelle Zahlen. Betrachten Sie folgende Parametrisierung der Helix bzw. Schraublinie \[ c(t)=(R\cos t,R\sin t,ht),\quad t\in(0,4\pi). \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (iii) | Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}[c] \) der Kurve. |
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Wir berechnen |
\[ c'(t)=(-R\sin t,R\cos t,h) \quad\text{und damit}\quad |c'(t)|=\sqrt{R^2+h^2}\gt 0. \]
| Es handelt sich also um eine reguläre Parametrisierung. | |
| (iii) | Wir berechnen |
\[ {\mathcal L}[c] =\int\limits_0^{4\pi}\sqrt{R^2+h^2}\,dt =4\pi\sqrt{R^2+h^2}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 22
Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v)=(u,v,u^3-3uv^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf. |
| (iii) | Ermitteln Sie die Tangentialebene im Punkt \( (u,v)=(0,0). \) |
| (iv) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? |
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Wir berechnen |
\[ f_u(u,v)=(1,0,3u^2-3v^2),\quad f_v(u,v)=(0,1,-6uv) \]
| und damit |
\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 3u^2-3v^2 & -6uv \end{pmatrix}. \]
| (iii) | Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten |
\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0), \]
| und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt |
\[ T_f(0,0)=\text{Span}\,\{(1,0,0),(0,1,0)\}\,. \]
| (iv) | Es ist |
\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]
| d.h. die Parametrisierung ist in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 23
Betrachten Sie die Abbildung \[ f(r,\varphi,\vartheta) =\left( \begin{array}{c} r\cos\varphi\cos\vartheta \\ r\sin\varphi\cos\vartheta \\ r\sin\vartheta \end{array} \right),\quad r\in[0,\infty),\ \varphi\in[0,2\pi),\ \vartheta\in\left[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\right]. \]
| (i) | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_r, \) \( f_\varphi \) und \( f_\vartheta. \) |
| (ii) | Wie lautet die Funktionalmatrix \( \partial f(r,\varphi,\vartheta). \) |
| (iii) | Berechnen Sie die Determinante \( \text{det}\,\partial f(r,\varphi,\vartheta). \) In welchen Punkten ist die Parametrisierung regulär? |
| (i) | Wir berechnen |
\[ \begin{array}{rcl} f_r\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! (\cos\varphi\cos\vartheta,\sin\varphi\cos\vartheta,\sin\vartheta), \\[0.6ex] f_\varphi\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! (-r\sin\varphi\cos\vartheta,r\cos\varphi\cos\vartheta,0), \\[0.6ex] f_\vartheta\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! (-r\cos\varphi\sin\vartheta,-r\sin\varphi\sin\vartheta,r\cos\vartheta). \end{array} \]
| (ii) | Wir haben damit |
\[ \partial f(r,\varphi,\vartheta) =\left( \begin{array}{ccc} \cos\varphi\cos\vartheta & -r\sin\varphi\cos\vartheta & -r\cos\varphi\sin\vartheta \\ \sin\varphi\cos\vartheta & r\cos\varphi\cos\vartheta & -r\sin\varphi\sin\vartheta \\ \sin\vartheta & 0 & r\cos\vartheta \end{array} \right). \]
| (iii) | Wir haben damit |
\[ \text{det}\,\partial f(r,\varphi,\vartheta)=r^2\cos\vartheta. \]
| Die Parametrisierung ist also regulär außerhalb der beiden Punkte \( \vartheta=\frac{\pi}{2} \) und \( \vartheta=-\frac{\pi}{2}. \) In diesen beiden Punkten ist sie nicht regulär. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 24
Betrachten Sie die beiden Funktionen \[ u(x,y):=\sin x\cosh y,\quad v(x,y):=\cos x\sinh y,\quad (x,y)\in\mathbb R^2\,. \] Verifizieren Sie \[ u_x(x,y)=v_y(x,y),\quad u_y(x,y)=-v_x(x,y) \text{im}\ \mathbb R^2\,. \] Bemerkung: Die in der Funktionentheorie zentralen Differentialgleichungen \( u_x=v_y \) und \( u_y=-v_x \) bezeichnet man als Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.
Wir berechnen \[ u_x=\cos x\cosh y,\quad u_y=\sin x\sinh y \] sowie \[ v_x=-\sin x\sinh y,\quad v_y=\cos x\cosh y. \] Hieraus lesen ab \[ u_x=v_y\,,\quad u_y=-v_x\,, \] was zu zeigen war.\( \qquad\Box \)