Hausaufgabenblatt 5
Aufgabe HA 20
Betrachten Sie die durch \[ x(t):=1-3t^2\,,\quad y(t):=(3-t^2)t,\quad t\in(-3,3), \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (iii) | Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung folgender algebraischer Gleichung genügt |
\[ 27y^2=(1-x)(x+8)^2\,. \]
Aufgabe HA 21
Es seien \( R\gt 0 \) und \( h\gt 0 \) reelle Zahlen. Betrachten Sie folgende Parametrisierung der Helix bzw. Schraublinie \[ c(t)=(R\cos t,R\sin t,ht),\quad t\in(0,4\pi). \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (iii) | Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}[c] \) der Kurve. |
Aufgabe PA 22
Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v)=(u,v,u^3-3uv^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf. |
| (iii) | Ermitteln Sie die Tangentialebene im Punkt \( (u,v)=(0,0). \) |
| (iv) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? |
Aufgabe PA 23
Betrachten Sie die Abbildung \[ f(r,\varphi,\vartheta) =\left( \begin{array}{c} r\cos\varphi\cos\vartheta \\ r\sin\varphi\cos\vartheta \\ r\sin\vartheta \end{array} \right),\quad r\in[0,\infty),\ \varphi\in[0,2\pi),\ \vartheta\in\left[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\right]. \]
| (i) | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_r, \) \( f_\varphi \) und \( f_\vartheta. \) |
| (ii) | Wie lautet die Funktionalmatrix \( \partial f(r,\varphi,\vartheta). \) |
| (iii) | Berechnen Sie die Determinante \( \text{det}\,\partial f(r,\varphi,\vartheta). \) In welchen Punkten ist die Parametrisierung regulär? |
Aufgabe PA 24
Betrachten Sie die beiden Funktionen \[ u(x,y):=\sin x\cosh y,\quad v(x,y):=\cos x\sinh y,\quad (x,y)\in\mathbb R^2\,. \] Verifizieren Sie \[ u_x(x,y)=v_y(x,y),\quad u_y(x,y)=-v_x(x,y) \text{im}\ \mathbb R^2\,. \] Bemerkung: Die in der Funktionentheorie zentralen Differentialgleichungen \( u_x=v_y \) und \( u_y=-v_x \) bezeichnet man als Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.