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Hausaufgabenblatt 8


 

 

Aufgabe HA 34

 

Wir betrachten die Funktion f(x,y):=xy,(x,y)[1,1]×[1,1].

(i) Besitzt f in (0,0) ein lokales Extremum? Begründen Sie, der Definition aus der Vorlesung folgend.
(ii) Ermitteln Sie die globalen Extrema der Funktion auf [1,1]×[1,1].

 

Lösung

 

(i) Die Funktion besitzt in a=(0,0) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum, denn mit δ>0 hinreichend klein sind

f(δ,δ)=δ2>0=f(0,0),f(δ,δ)=δ2<0=f(0,0).

  Es existiert also kein Bε(0,0)[1,1]×[1,1], so dass f(0,0)f(x,y) für alle (x,y)Bε(0,0) richtig wäre oder auch f(0,0)f(x,y).
(ii) Die globalen Extrema der Funktion lauten

a1=(1,1),a2=(1,1),a3=(1,1),a4=(1,1).

  In a1 und a2 liegen die zwei einzigen globalen Maxima vor, in a3 und a4 die beiden einzige globalen Minima. Es sind nämlich einmal

f(a1)=f(a2)=1,f(a3)=f(a3)=1,

  und zum anderen gelten

|f(x,y)|<1für alle x,y[1,1]×[1,1] mit x,y{1,1}. Damit ist alles gezeigt.

 

 

Aufgabe HA 35

 

Betrachten Sie die Funktion f(x,y):=x2+xyy2,(x,y)R2.

(i) Beweisen Sie, dass f in (0,0) ihren einzigen kritischen Punkt besitzt.
(ii) Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus.

 

Lösung

 

(i) Wir berechnen zunächst

fx(x,y)=2x+y,fy(x,y)=x2y.

  Die Bedingung f(x,y)=(0,0) führt daher auf

2x=yundx=2y,alsox=y=0,

  d.h. der einzige kritische Punkt ist

P=(0,0).

(ii) Wir ermitteln nun die zweiten partiellen Ableitungen

fxx(x,y)=2,fxy(x,y)=fyx(x,y)=1,fyy(x,y)=2

  und erhalten die Hessesche Matrix

Hf(0,0)=(2112).

  Die Hessesche Form Qf(0,0) ist negativ definit. Genauer schätzen wir ab

(ξ1,ξ2)Hf(0,0)(ξ1,ξ2)t=2ξ21+2ξ1ξ22ξ222ξ21+ξ21+ξ222ξ22=ξ21ξ22<0

  für alle ξR2{0}. Also liegt in P=(0,0) striktes lokales Maximum vor.

 

Damit ist alles gezeigt.

 

 

Aufgabe PA 36

 

Betrachten Sie die Funktion f(x,y):=x(xy),(x,y)R2.

(i) In welchen Punkten besitzt f einen kritischen Punkt?
(ii) Handelt es sich bei diesen kritischen Punkten um lokale Extrema oder um Sattelpunkte? Werten Sie dazu die zugehörigen Hessesche Formen aus.

 

Lösung

 

(i) Wir berechnen zunächst

fx(x,y)=2xy,fy(x,y)=x.

  Die Bedingung f(x,y)=(0,0) führt daher auf x=y=0, d.h. der einzige kritische Punkt ist

P=(0,0).

(ii) Wir ermitteln nun die zweiten partiellen Ableitungen

fxx(x,y)=2,fxy(x,y)=fyx(x,y)=1,fyy(x,y)=0

  und erhalten die Hessesche Matrix

Hf(0,0)=(2110).

  Die zugehörige Hessesche Form Qf(0,0) ist indefinit, denn beispielsweise sind

(1,0)Hf(0,0)(1,0)t=2>0,(1,2)Hf(0,0)(1,2)t=2<0.

  In P=(0,0) besitzt die Funktion daher einen Sattelpunkt. Es gibt keine lokalen Extrema.

 

Damit ist alles gezeigt.

 

 

Aufgabe PA 37

 

Betrachten Sie die Funktion f(x,y):=sinxycosh(x+y),(x,y)R2.

(i) Verifizieren Sie, dass f in (0,0) einen kritischen Punkt besitzt.
(ii) Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus.

 

Lösung

 

(i) Wir berechnen

fx(x,y)=ycosxysinh(x+y),fy(x,y)=xcosxysinh(x+y),

  und somit gelten

fx(0,0)=0,fy(0,0)=0.

  In P=(0,0) besitzt f einen kritischen Punkt.
(ii) Wir berechnen weiter

fxx(x,y)=y2sinxycosh(x+y),fxy(x,y)=cosxyxysinxycosh(x+y),fyy(x,y)=x2sinxycosh(x+y).

  Damit ergibt sich für die Hessesche Matrix

Hf(x,y)=(y2sinxycosh(x+y)cosxyxysinxycosh(x+y)cosxyxysinxycosh(x+y)x2sinxycosh(x+y))

  bzw. in P=(0,0)

Hf(x,y)=(1001).

  Für die zugehörige Hessesche Form ergibt sich

Qf(0,0)=(ξ2+η2)<0für alle (ξ,η)R2{(0,0)},

  d.h. die Funktion besitzt in P=(0,0) ein lokales Maximum.

 

Damit ist alles gezeigt.