Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 34
Wir betrachten die Funktion \[ f(x,y):=xy,\quad(x,y)\in[-1,1]\times[-1,1]. \]
| (i) | Besitzt \( f \) in \( (0,0) \) ein lokales Extremum? Begründen Sie, der Definition aus der Vorlesung folgend. |
| (ii) | Ermitteln Sie die globalen Extrema der Funktion auf \( [-1,1]\times[1,1]. \) |
Aufgabe HA 35
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=-x^2+xy-y^2\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( f \) in \( (0,0) \) ihren einzigen kritischen Punkt besitzt. |
| (ii) | Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus. |
Aufgabe PA 36
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=x(x-y),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | In welchen Punkten besitzt \( f \) einen kritischen Punkt? |
| (ii) | Handelt es sich bei diesen kritischen Punkten um lokale Extrema oder um Sattelpunkte? Werten Sie dazu die zugehörigen Hessesche Formen aus. |
Aufgabe PA 37
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=\sin xy-\cosh(x+y)\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Verifizieren Sie, dass \( f \) in \( (0,0) \) einen kritischen Punkt besitzt. |
| (ii) | Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus. |