Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 34
Wir betrachten die Funktion \[ f(x,y):=xy,\quad(x,y)\in[-1,1]\times[-1,1]. \]
| (i) | Besitzt \( f \) in \( (0,0) \) ein lokales Extremum? Begründen Sie, der Definition aus der Vorlesung folgend. |
| (ii) | Ermitteln Sie die globalen Extrema der Funktion auf \( [-1,1]\times[1,1]. \) |
| (i) | Die Funktion besitzt in \( a=(0,0) \) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum, denn mit \( \delta\gt 0 \) hinreichend klein sind |
\[ \begin{array}{l} f(\delta,\delta)=\delta^2\gt 0=f(0,0), \\[0.6ex] f(-\delta,\delta)=-\delta^2\lt 0=f(0,0)\,. \end{array} \]
| Es existiert also kein \( B_\varepsilon(0,0)\subset[-1,1]\times[-1,1], \) so dass \( f(0,0)\ge f(x,y) \) für alle \( (x,y)\in B_\varepsilon(0,0) \) richtig wäre oder auch \( f(0,0)\le f(x,y). \) | |
| (ii) | Die globalen Extrema der Funktion lauten |
\[ a_1=(-1,-1),\quad a_2=(1,1),\quad a_3=(-1,1),\quad a_4=(1,-1). \]
| In \( a_1 \) und \( a_2 \) liegen die zwei einzigen globalen Maxima vor, in \( a_3 \) und \( a_4 \) die beiden einzige globalen Minima. Es sind nämlich einmal |
\[ f(a_1)=f(a_2)=1,\quad f(a_3)=f(a_3)=-1, \]
| und zum anderen gelten |
\[ |f(x,y)|\lt 1\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[-1,1]\times[-1,1]\ \mbox{mit}\ x,y\not\in\{-1,1\}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 35
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=-x^2+xy-y^2\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( f \) in \( (0,0) \) ihren einzigen kritischen Punkt besitzt. |
| (ii) | Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus. |
| (i) | Wir berechnen zunächst |
\[ f_x(x,y)=-2x+y,\quad f_y(x,y)=x-2y. \]
| Die Bedingung \( \nabla f(x,y)=(0,0) \) führt daher auf |
\[ 2x=y\quad\mbox{und}\quad x=2y, \quad\mbox{also}\quad x=y=0, \]
| d.h. der einzige kritische Punkt ist |
\[ P=(0,0). \]
| (ii) | Wir ermitteln nun die zweiten partiellen Ableitungen |
\[ f_{xx}(x,y)=-2,\quad f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=1,\quad f_{yy}(x,y)=-2 \]
| und erhalten die Hessesche Matrix |
\[ {\mathbf H}_f(0,0)=\left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right). \]
| Die Hessesche Form \( Q_f(0,0) \) ist negativ definit. Genauer schätzen wir ab |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle (\xi_1,\xi_2)\circ{\mathbf H}_f(0,0)\circ(\xi_1,\xi_2)^t\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -\,2\xi_1^2+2\xi_1\xi_2-2\xi_2^2 \\[0.6ex] & \le & \!\!\!\displaystyle -\,2\xi_1^2+\xi_1^2+\xi_2^2-2\xi_2^2 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle -\xi_1^2-\xi_2^2 \,\lt\,0 \end{array} \]
| für alle \( \xi\in\mathbb R^2\setminus\{0\}. \) Also liegt in \( P=(0,0) \) striktes lokales Maximum vor. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 36
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=x(x-y),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | In welchen Punkten besitzt \( f \) einen kritischen Punkt? |
| (ii) | Handelt es sich bei diesen kritischen Punkten um lokale Extrema oder um Sattelpunkte? Werten Sie dazu die zugehörigen Hessesche Formen aus. |
| (i) | Wir berechnen zunächst |
\[ f_x(x,y)=2x-y,\quad f_y(x,y)=-x. \]
| Die Bedingung \( \nabla f(x,y)=(0,0) \) führt daher auf \( x=y=0, \) d.h. der einzige kritische Punkt ist |
\[ P=(0,0). \]
| (ii) | Wir ermitteln nun die zweiten partiellen Ableitungen |
\[ f_{xx}(x,y)=2,\quad f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-1,\quad f_{yy}(x,y)=0 \]
| und erhalten die Hessesche Matrix |
\[ {\mathbf H}_f(0,0)=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{array}\right). \]
| Die zugehörige Hessesche Form \( Q_f(0,0) \) ist indefinit, denn beispielsweise sind |
\[ \begin{array}{l} (1,0)\circ{\mathbf H}_f(0,0)\circ(1,0)^t=2\gt 0, \\[0.6ex] (1,2)\circ{\mathbf H}_f(0,0)\circ(1,2)^t=-2\lt 0. \end{array} \]
| In \( P=(0,0) \) besitzt die Funktion daher einen Sattelpunkt. Es gibt keine lokalen Extrema. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 37
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=\sin xy-\cosh(x+y)\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Verifizieren Sie, dass \( f \) in \( (0,0) \) einen kritischen Punkt besitzt. |
| (ii) | Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus. |
| (i) | Wir berechnen |
\[ f_x(x,y)=y\cos xy-\sinh(x+y),\quad f_y(x,y)=x\cos xy-\sinh(x+y), \]
| und somit gelten |
\[ f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0. \]
| In \( P=(0,0) \) besitzt \( f \) einen kritischen Punkt. | |
| (ii) | Wir berechnen weiter |
\[ \begin{array}{l} f_{xx}(x,y)\!\!\! & = & \!\!\! -\,y^2\sin xy-\cosh(x+y), \\[0.6ex] f_{xy}(x,y)\!\!\! & = & \!\!\! \cos xy-xy\sin xy-\cosh(x+y), \\[0.6ex] f_{yy}(x,y)\!\!\! & = & \!\!\! -\,x^2\sin xy-\cosh(x+y). \end{array} \]
| Damit ergibt sich für die Hessesche Matrix |
\[ {\mathbf H}_f(x,y) =\left( \begin{array}{cc} -y^2\sin xy-\cosh(x+y) & \cos xy-xy\sin xy-\cosh(x+y) \\ \cos xy-xy\sin xy-\cosh(x+y) & -x^2\sin xy-\cosh(x+y) \end{array} \right) \]
| bzw. in \( P=(0,0) \) |
\[ {\mathbf H}_f(x,y) =\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right). \]
| Für die zugehörige Hessesche Form ergibt sich |
\[ Q_f(0,0)=-(\xi^2+\eta^2)\lt 0\quad\text{für alle}\ (\xi,\eta)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\,, \]
| d.h. die Funktion besitzt in \( P=(0,0) \) ein lokales Maximum. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)