Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 34
Wir betrachten die Funktion f(x,y):=xy,(x,y)∈[−1,1]×[−1,1].
(i) | Besitzt f in (0,0) ein lokales Extremum? Begründen Sie, der Definition aus der Vorlesung folgend. |
(ii) | Ermitteln Sie die globalen Extrema der Funktion auf [−1,1]×[1,1]. |
(i) | Die Funktion besitzt in a=(0,0) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum, denn mit δ>0 hinreichend klein sind |
f(δ,δ)=δ2>0=f(0,0),f(−δ,δ)=−δ2<0=f(0,0).
Es existiert also kein Bε(0,0)⊂[−1,1]×[−1,1], so dass f(0,0)≥f(x,y) für alle (x,y)∈Bε(0,0) richtig wäre oder auch f(0,0)≤f(x,y). | |
(ii) | Die globalen Extrema der Funktion lauten |
a1=(−1,−1),a2=(1,1),a3=(−1,1),a4=(1,−1).
In a1 und a2 liegen die zwei einzigen globalen Maxima vor, in a3 und a4 die beiden einzige globalen Minima. Es sind nämlich einmal |
f(a1)=f(a2)=1,f(a3)=f(a3)=−1,
und zum anderen gelten |
|f(x,y)|<1für alle x,y∈[−1,1]×[−1,1] mit x,y∉{−1,1}. Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe HA 35
Betrachten Sie die Funktion f(x,y):=−x2+xy−y2,(x,y)∈R2.
(i) | Beweisen Sie, dass f in (0,0) ihren einzigen kritischen Punkt besitzt. |
(ii) | Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus. |
(i) | Wir berechnen zunächst |
fx(x,y)=−2x+y,fy(x,y)=x−2y.
Die Bedingung ∇f(x,y)=(0,0) führt daher auf |
2x=yundx=2y,alsox=y=0,
d.h. der einzige kritische Punkt ist |
P=(0,0).
(ii) | Wir ermitteln nun die zweiten partiellen Ableitungen |
fxx(x,y)=−2,fxy(x,y)=fyx(x,y)=1,fyy(x,y)=−2
und erhalten die Hessesche Matrix |
Hf(0,0)=(−211−2).
Die Hessesche Form Qf(0,0) ist negativ definit. Genauer schätzen wir ab |
(ξ1,ξ2)∘Hf(0,0)∘(ξ1,ξ2)t=−2ξ21+2ξ1ξ2−2ξ22≤−2ξ21+ξ21+ξ22−2ξ22=−ξ21−ξ22<0
für alle ξ∈R2∖{0}. Also liegt in P=(0,0) striktes lokales Maximum vor. |
Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe PA 36
Betrachten Sie die Funktion f(x,y):=x(x−y),(x,y)∈R2.
(i) | In welchen Punkten besitzt f einen kritischen Punkt? |
(ii) | Handelt es sich bei diesen kritischen Punkten um lokale Extrema oder um Sattelpunkte? Werten Sie dazu die zugehörigen Hessesche Formen aus. |
(i) | Wir berechnen zunächst |
fx(x,y)=2x−y,fy(x,y)=−x.
Die Bedingung ∇f(x,y)=(0,0) führt daher auf x=y=0, d.h. der einzige kritische Punkt ist |
P=(0,0).
(ii) | Wir ermitteln nun die zweiten partiellen Ableitungen |
fxx(x,y)=2,fxy(x,y)=fyx(x,y)=−1,fyy(x,y)=0
und erhalten die Hessesche Matrix |
Hf(0,0)=(2−1−10).
Die zugehörige Hessesche Form Qf(0,0) ist indefinit, denn beispielsweise sind |
(1,0)∘Hf(0,0)∘(1,0)t=2>0,(1,2)∘Hf(0,0)∘(1,2)t=−2<0.
In P=(0,0) besitzt die Funktion daher einen Sattelpunkt. Es gibt keine lokalen Extrema. |
Damit ist alles gezeigt.◻
Aufgabe PA 37
Betrachten Sie die Funktion f(x,y):=sinxy−cosh(x+y),(x,y)∈R2.
(i) | Verifizieren Sie, dass f in (0,0) einen kritischen Punkt besitzt. |
(ii) | Handelt es sich bei diesem kritischen Punkt um ein lokales Extremum oder um einen Sattelpunkt? Werten Sie dazu die zugehörige Hessesche Form aus. |
(i) | Wir berechnen |
fx(x,y)=ycosxy−sinh(x+y),fy(x,y)=xcosxy−sinh(x+y),
und somit gelten |
fx(0,0)=0,fy(0,0)=0.
In P=(0,0) besitzt f einen kritischen Punkt. | |
(ii) | Wir berechnen weiter |
fxx(x,y)=−y2sinxy−cosh(x+y),fxy(x,y)=cosxy−xysinxy−cosh(x+y),fyy(x,y)=−x2sinxy−cosh(x+y).
Damit ergibt sich für die Hessesche Matrix |
Hf(x,y)=(−y2sinxy−cosh(x+y)cosxy−xysinxy−cosh(x+y)cosxy−xysinxy−cosh(x+y)−x2sinxy−cosh(x+y))
bzw. in P=(0,0) |
Hf(x,y)=(−100−1).
Für die zugehörige Hessesche Form ergibt sich |
Qf(0,0)=−(ξ2+η2)<0für alle (ξ,η)∈R2∖{(0,0)},
d.h. die Funktion besitzt in P=(0,0) ein lokales Maximum. |
Damit ist alles gezeigt.◻