\[ \begin{array}{lll} y\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_\xi^x(te^{t^2}+\sinh t)\,dt+\widetilde C \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \frac{1}{2}\,e^{x^2}-\frac{1}{2}\,e^{\xi^2}+\cosh x-\cosh\xi+\widetilde C \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \frac{1}{2}\,e^{x^2}+\cosh x+C \end{array} \]

	mit \( C\in\mathbb R. \) Das sind alle Lösungen der Gleichung (siehe Nachweis in der Vorlesung).
(ii)	Skizzen für die Fälle \( C=0, \) \( C=-1 \) und \( C=-2 \)
(iii)	Zum Anfangswert \( y(0)=\frac{1}{2} \) erhalten wir die eindeutige Lösung

\[ y=\frac{1}{2}\,e^{x^2}+\cosh x-\frac{1}{2}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

\[ x(y)=\frac{1}{\lambda}\,\int\frac{dy}{y}=\frac{1}{\lambda}\,\ln|y|-\widetilde C. \]

\[ y(x)=Ce^{\lambda x}\,,\quad C\in\mathbb R. \]

\[ (\Phi e^{-\lambda x})' =\Phi'e^{-\lambda x}-\lambda\Phi e^{-\lambda x} =(\Phi'-\lambda\Phi)e^{-\lambda x} =(\lambda\Phi-\lambda\Phi)e^{-\lambda x} =0, \]

\[ \Phi(x)e^{-\lambda x}=\text{Const} \quad\text{bzw.}\quad \Phi(x)=\text{Const}\cdot e^{\lambda x}\,. \]

\[ y(x)=e^x\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

\[ -e^{-y}=\int e^{-y}\,dy=\int\frac{dy}{y}=\int\sin x\,dx=-\cos x+C \]

\[ e^{-y}=\cos x-C \quad\text{bzw.}\quad y(x)=-\ln(\cos x-C),\quad C\in\mathbb R. \]

\[ \frac{d}{dx}\,(e^{-y}-e^{-z}) =-y'e^{-y}+z'e^{-z} =-\sin x+\sin x =0, \]

\[ z=-\ln(e^{-y}-c)=-\ln(\cos x-C-c)=-\ln(\cos x-\widetilde C),\quad\widetilde C\in\mathbb R. \]

	Also ist \( z \) auch eine Lösung, wie oben bestimmt.
(iii)	Skizzen für die Fälle \( C=0, \) \( C=-1, \) \( C=-2 \) und \( C=-3 \)
(iv)	Für den Anfangswert \( y(0)=1 \) ist genauer

\[ 1=y(0)=-\ln(\cos 0-C)=-\ln(1-C) \quad\text{und damit}\quad C=1-e^{-1}\,. \]

\[ y(x)=-\ln(\cos x-1+e^{-1}). \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)