Praesenzblatt 01

Präsenzblatt 1

Aufgabe PA 1

Wie wurden in der Vorlesung eine Metrik und ein metrischer Raum definiert?

Lösung

Es sei $X$ eine nichtleere Menge. Eine Funktion $d\colon X\times X\longrightarrow[0,\infty)$ heißt Metrik auf $X,$ wenn für alle $x,y,z\in X$ gelten:

(M1)	$d(x,y)\ge 0$
(M2)	$d(x,y)=0$ genau dann, wenn $x=y$
(M3)	$d(x,y)=d(y,x)$
(M4)	$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

Das Paar

$(X,d)$ heißt dann ein metrischer Raum.

Aufgabe PA 2

Es sei $d(x,y)$ eine Metrik auf der nichtleeren Menge $X.$ Beweisen Sie, dass dann auch $\widetilde d(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ eine Metrik auf $X$ ist.

Lösung

Es sind zunächst (M1), (M2) und (M3) erfüllt (bitte selbst nachrechnen). Zum Nachweis der Dreiecksungleichung (M4) beachten wir $\begin{array}{l} 0\le a\le b \quad\Longrightarrow\quad a+ab\le b+ab \quad\Longrightarrow\quad a(1+b)\le b(1+a) \\[1ex] \phantom{0\le a\le b} \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \frac{a}{1+a}\le\frac{b}{1+b}\,. \end{array}$ Das wenden wir an auf $a=d(x,z)$ und $b=d(x,y)+d(y,z)$ und erhalten (beachte $a\le b$ ) $\begin{array}{lll} \widetilde d(x,z)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} \,\le\,\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)+d(y,z)}+\frac{d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \\[1ex] & \le & \negthickspace\displaystyle \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+d(y,z)} \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \widetilde d(x,y)+\widetilde d(y,z). \end{array}$ Also handelt es sich bei $\widetilde d$ um eine Metrik. $\qquad\Box$

Aufgabe PA 3

Wie wurden in der Vorlesung eine Norm und ein normierter Raum definiert?

Lösung

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Eine Funktion $\|\cdot\|\colon V\longrightarrow[0,\infty)$ heißt Norm auf $X,$ wenn für alle $x,y\in V$ und alle $\lambda\in\mathbb R$ gelten:

(N1)	$\\|x\\|\ge 0$
(N2)	$\\|x\\|=0$ genau dann, wenn $x=0$
(N3)	$\\|\lambda x\\|=\|\lambda\|\cdot\\|x\\|$
(N4)	$\\|x+y\\|\le\\|x\\|+\\|y\\|$

Das Paar

$(V,\|\cdot\|)$ heißt dann ein normierter Raum.

Aufgabe PA 4

Wir betrachten den $\mathbb R^n,$ ausgestattet mit dem Euklidischen Skalarprodukt $\langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^nx_ky_k\,,\quad x,y\in\mathbb R^n\,.$ Beweisen Sie, dass $(\mathbb R^n,\|\cdot\|_2)$ mit der Setzung $\|x\|_2:=\sqrt{\langle x,x\rangle}\,,\quad x\in\mathbb R^n\,,$ ein normierter Raum ist.

Lösung

$\circ$

Zunächst ist

$\|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R^n\,,$

	da jeder Summand rechts nicht negativ ist. Das ist (N1).
$\circ$	Ist $x=0,$ so ist $x_i=0$ für alle $i=1,\ldots,n$ und daher $\\|x\\|_2=0.$ Ist umgekehrt $\\|x\\|_2=0,$ so folgt $x_i^2=0$ für alle $i=1,\ldots,n$ und daher $x=0.$ Das ist (N2).
$\circ$	Wir ermitteln

$\|\lambda x\|_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^n(\lambda x_i)^2} =\sqrt{\lambda^2\sum_{i=1}^nx_i^2} =|\lambda|\,\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} =|\lambda|\|x\|_2\,,$

	und das ist (N3).
$\circ$	Wir ermitteln

$\begin{array}{lll} \|x+y\|_2^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^2 \,=\,\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{i=1}^nx_iy_i+\sum_{i=1}^ny_i^2 \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \|x\|_2^2+\|y\|_2^2+2\langle x,y\rangle\,. \end{array}$

Nun erinnern wir an die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung aus der Analysis 1, hier in der Form

$\langle x,y\rangle =\sum_{i=1}^nx_iy_i \le\left(\,\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^\frac{1}{2}\left(\,\sum_{i=1}^ny_i^2\right)^\frac{1}{2} =\|x\|_2\|y\|_2\,.$

Damit schätzen wir wie folgt weiter ab

$\begin{array}{lll} \|x+y\|_2^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \|x\|_2^2+\|y\|_2^2+2\langle x,y\rangle \,\le\,\|x\|_2^2+\|y\|_2^2+2\|x\|_2\|y\|_2 \\[0.6ex] & = & \negthickspace\displaystyle (\|x\|_2+\|y\|_2)^2\,. \end{array}$

Radizieren liefert die Dreiecksungleichung (N4).

Damit ist alles gezeigt. $\qquad\Box$