Präsenzblatt 2
Aufgabe PA 5
Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie, dass die folgenden Mengen offen sind in \( (X,d). \)
| (i) | die leere Menge \( \emptyset \) |
| (ii) | die Menge \( X \) selbst |
Aufgabe PA 6
Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie, dass die folgenden Mengen abgeschlossen sind in \( (X,d). \)
| (i) | die leere Menge \( \emptyset \) |
| (ii) | die Menge \( X \) selbst |
Aufgabe PA 7
Wir betrachten den metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der gewöhnlichen Betragsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) und hierin die Teilmenge \( U=(0,1]\subset\mathbb R. \) Geben Sie ohne weitere Begründung an: \[ \mathring U,\quad \partial U,\quad \overline U\,. \]
Aufgabe PA 8
Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und \[ B_r(a):=\{x\in X\,:\,d(x,a)\lt r\}\subseteq X \] der offene Ball mit Zentrum \( a\in X \) und Radius \( r\gt 0. \) Beweisen Sie, dass \( B_r(a) \) offen ist in \( (X,d). \)