Präsenzblatt 2
Aufgabe PA 5
Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie, dass die folgenden Mengen offen sind in \( (X,d). \)
| (i) | die leere Menge \( \emptyset \) |
| (ii) | die Menge \( X \) selbst |
| (i) | Es ist \( U\subseteq X \) genau dann offen, wenn für alle \( x\in X \) folgende Implikation richtig ist |
\[ x\in U\quad\longrightarrow\quad\text{es ex. ein}\ r\gt 0,\ \text{so dass}\ B_r(x)\subseteq U. \]
| Ist nun \( U=\emptyset, \) so ist die Voraussetzung \( x\in U \) stets falsch, d.h. die Implikation ist immer richtig, und \( \emptyset \) ist offen. | |
| (ii) | Wähle nämlich ein \( x\in U \) beliebig. Dann ist ohne weitere Rechnung |
\[ B_1(x)=\{z\in X\,:\,|x-z|\lt 1\}\subseteq X, \]
| und \( X \) ist in \( (X,d) \) offen. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 6
Es sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie, dass die folgenden Mengen abgeschlossen sind in \( (X,d). \)
| (i) | die leere Menge \( \emptyset \) |
| (ii) | die Menge \( X \) selbst |
| (i) | Es ist \( X\setminus X=\emptyset \) offen nach PA 5(i), d.h. \( X \) ist in \( (X,d) \) abgeschlossen. |
| (ii) | Es \( X\setminus\emptyset=X, \) und da \( X \) in \( (X,d) \) nach PA 5(ii) offen ist, ist \( \emptyset \) abgeschlossen. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 7
Wir betrachten den metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der gewöhnlichen Betragsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) und hierin die Teilmenge \( U=(0,1]\subset\mathbb R. \) Geben Sie ohne weitere Begründung an: \[ \mathring U,\quad \partial U,\quad \overline U\,. \]
| \( \circ \) | Es ist \( \mathring U=(0,1). \) |
| \( \circ \) | Es ist \( \partial U=\{0,1\}. \) |
| \( \circ \) | Es ist \( \overline U=[0,1]. \) |
Damit sind alle gefragten Größen bestimmt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 8
Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und \[ B_r(a):=\{x\in X\,:\,d(x,a)\lt r\}\subseteq X \] der offene Ball mit Zentrum \( a\in X \) und Radius \( r\gt 0. \) Beweisen Sie, dass \( B_r(a) \) offen ist in \( (X,d). \)
Wähle ein \( x\in B_r(a) \) beliebig. Im Fall \( x=a \) gilt \( B_r(x)\subseteq B_r(a), \) und es verbleibt nichts mehr zu zeigen. Sei also \( x\not=a. \) Setze \[ d:=\min\{d(a,x),r-d(a,x)\}\gt 0. \] Dann ist \( B_d(x)\subset B_r(a). \) Denn im Fall \( d=d(a,x) \) ermitteln wir für beliebiges \( y\in B_d(x) \) mit der Dreiecksungleichung \[ \begin{array}{lll} d(a,y)\negthickspace & \le & \negthickspace d(a,x)+d(x,y) \,=\,d+d(x,y) \,\lt\,d+d \\ & \le & \negthickspace d+r-d(a,x) \,=\,d+r-d \,=\,r. \end{array} \] Ist aber \( d=r-d(a,x) \) und damit auch \( d\ge d(a,x), \) so ist analog \[ d(a,y)\le d(a,x)+d(x,y)\lt d(a,x)+d=r-d+d=r. \] In jedem Fall gilt \( B_d(x)\subseteq B_r(a), \) und da \( x\in B_r(a) \) beliebig war, folgt die Behauptung.\( \qquad\Box \)