Präsenzblatt 3
Aufgabe PA 9
Wir betrachten die Menge \( X=\{1,2,3\} \) zusammen mit der diskreten Metrik \( d(x,y). \) Bestimmen Sie \( \mathring X \) in \( (X,d). \)
Es ist jeder Punkt \( 1,2,3\in X \) innerer Punkt von \( X \) in \( (X,d). \) Es ist nämlich beispielsweise \[ B_1(1)=\{z\in X\,:\,d(1,z)\lt 1\}=\{1\}\subset X, \] und entsprechend \( B_1(2)\subset X \) und \( B_1(3)\subset X. \) Also gilt \[ \mathring X=\{1,2,3\}\quad\text{bzw.}\quad\mathring X=X. \] Das war gesucht.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 10
Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen im metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der gewöhnlichen Betragsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) abgeschlossen sind. Benutzung Sie dabei Satz 2 auf Seite 108 des Vorlesungsskriptes.
| (i) | \( U_1:=(0,1) \) |
| (ii) | \( U_2:=(0,1] \) |
| (iii) | \( U_3:=[0,1] \) |
| (i) | \( U_1 \) ist in \( (\mathbb R,d) \) nicht abgeschlossen, da z.B. die Folge |
\[ \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset U\quad\text{mit}\quad x^{(k)}:=\frac{1}{k} \]
| nicht in \( U_1 \) konvergiert, sondern gegen \( 0\not\in U_1. \) | |
| (ii) | \( U_2 \) ist in \( (\mathbb R,d) \) nicht abgeschlossen - Begründung wie in (i). |
| (iii) | \( U_3 \) ist in \( (\mathbb R,d) \) abgeschlossen. Sei nämlich \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\subset U_3 \) eine in \( (\mathbb R,d) \) gegen ein \( x\in\mathbb R \) konvergente Folge. Angenommen, es gilt \( x\not\in U_3. \) Da |
\[ \mathbb R\setminus U_3=(-\infty,0)\cup(1,\infty) \]
| in \( (\mathbb R,d) \) offen ist, existiert ein \( \varepsilon\gt 0 \) mit |
\[ B_\varepsilon(x)=\{y\in\mathbb R\,:\,|x-y|\lt\varepsilon\}\subset\mathbb R\setminus U_3\,. \]
| Wegen der Konvergenz der Folge existiert zu diesem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |x^{(k)}-x|\lt\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{für alle}\ k\ge N(\varepsilon), \]
| d.h. es ist \( x^{(k)}\in B_\varepsilon(x) \) und damit \( x^{(k)}\not\in U_3 \) für \( k\ge N(\varepsilon). \) Das ist ein Widerspruch. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 11
Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) offener Mengen \( U_k\subset\mathbb R \) im metrischen Raum \( (\mathbb R,|\cdot|) \) mit \[ U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \text{diam}\,U_k\to 0\ \text{für}\to k\to\infty,\quad \bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset\,. \]
Die offenen Mengen \[ U_k=\left(0,\frac{1}{k}\right),\quad k=1,2,\ldots \] genügen den in der Aufgabe gestellten Forderungen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 12
Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) abgeschlossener Mengen \( U_k\subset\mathbb R \) im metrischen Raum \( (\mathbb R,|\cdot|) \) mit \[ U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \text{diam}\,U_k\not\to 0\ \text{für}\ k\to\infty,\quad \bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset\,. \]
Die abgeschlossenen Mengen \[ U_k=[k,\infty),\quad k=1,2,\ldots \] genügen den in der Aufgabe gestellten Forderungen.\( \qquad\Box \)