Präsenzblatt 4
Aufgabe PA 13
Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen \( f,g,h\colon\mathbb R^2\to\mathbb R \) zwischen den beiden metrischen Räumen \[ \begin{array}{lll} (\mathbb R^2,d) & \mbox{mit} & d(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\,, \\[1ex] (\mathbb R,\varrho) & \mbox{mit} & \varrho(u,v):=|u-v| \end{array} \] im Sinne der Definition stetig sind:
| (i) | \( f(x_1,x_2)=x_1 \) |
| (ii) | \( g(x_1,x_2)=x_1+x_2^2 \) |
| (iii) | \( h(x_1,x_2)=|x_1|+x_2^2 \) |
| (i) | Es ist \( f \) stetig in ganz \( \mathbb R^2. \) Sei nämlich \( \widetilde x\in\mathbb R^2 \) beliebig gewählt. Zu \( \varepsilon\gt 0 \) setzen wir \( \delta(\widetilde x,\varepsilon):=\varepsilon \) (beachte, dass \( \widetilde x \) in der Setzung nicht vorkommt) und ermitteln |
\[ \begin{array}{lll} \varrho(f(x),f(y))\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! |f(\widetilde x)-f(y)| \,=\,|\widetilde x_1-y_1| \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! \sqrt{(\widetilde x_1-y_1)^2+(\widetilde x_2-y_2)^2} \,=\,d(\widetilde x,y) \,\lt\,\varepsilon \end{array} \]
| für alle \( y\in\mathbb R^2 \) mit \( d(\widetilde x,y)\lt\delta(\widetilde x,\varepsilon). \) Es ist also \( f \) in jedem Punkt \( \widetilde x\in\mathbb R^2 \) stetig und damit in ganz \( \mathbb R^2. \) | |
| (ii) | Es ist \( g \) stetig in ganz \( \mathbb R^2. \) Sei nämlich \( \widetilde x\in\mathbb R^2 \) beliebig gewählt. Zu \( \varepsilon\gt 0 \) schätzen wir in \( \widetilde x\in\mathbb R^2 \) wie folgt ab |
\[ \begin{array}{lll} \varrho(g(\widetilde x),g(y))\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! |g(\widetilde x)-g(y)| \,=\,|\widetilde x_1+\widetilde x_2^2-y_1-y_2^2| \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! |\widetilde x_1-y_1|+|\widetilde x_2^2-y_2^2| \\[0.6ex] & = & \displaystyle\!\!\! |\widetilde x_1-y_1|+|\widetilde x_2+y_2||\widetilde x_2-y_2| \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! (1+|\widetilde x_2+y_2|)\,\big\{|\widetilde x_1-y_1|+|\widetilde x_2-y_2|\big\} \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+|\widetilde x_2+y_2|)\,\sqrt{(\widetilde x_1-y_1)^2+(\widetilde x_2-y_2)^2} \\[0.6ex] & = & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+|\widetilde x_2+y_2|)\,d(\widetilde x,y) \\[0.6ex] & = & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+|\widetilde x_2+\widetilde x_2-\widetilde x_2+y_2|)\,d(\widetilde x,y) \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+2|\widetilde x_2|+|\widetilde x_2-y_2|)\,d(\widetilde x,y) \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+2|\widetilde x_2|+|\widetilde x_1-y_1|+|\widetilde x_2-y_2|)\,d(\widetilde x,y) \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+2|\widetilde x_2|+\sqrt{2}\,\sqrt{(\widetilde x_1-y_1)^2+(\widetilde x_2-y_2)^2}\,)\,d(\widetilde x,y) \\[0.6ex] & = & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+2|\widetilde x_2|+\sqrt{2}\,d(\widetilde x,y))\,d(\widetilde x,y) \,\lt\,\varepsilon. \end{array} \]
| Auf der rechten Seite lösen wir die quadratische Gleichung |
\[ 2d(\widetilde x,y)^2+\sqrt{2}\,(1+2|\widetilde x_2|)\,d(\widetilde x,y)-\varepsilon=0 \]
| und setzen mit der hier zugehörigen positiven Lösung |
\[ \delta(\widetilde x,\varepsilon):=-\,\frac{1+2|\widetilde x_2|}{2\sqrt{2}}+\sqrt{\left(\frac{1+2|\widetilde x_2|}{2\sqrt{2}}\right)^2+\frac{\varepsilon}{2}}\,. \]
| Es ist also \( g \) in jedem Punkt \( \widetilde x\in\mathbb R^2 \) stetig und damit in ganz \( \mathbb R^2. \) | |
| (iii) | Es ist \( h \) stetig in ganz \( \mathbb R^2. \) Sei nämlich \( \widetilde x\in\mathbb R^2 \) beliebig gewählt. Unter Benutzung der inversen Dreiecksungleichung sowie der vorigen Teilaufgabe (ii) ermitteln wir |
\[ \begin{array}{lll} \varrho(h(\widetilde x),h(y))\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! |h(\widetilde x)-h(y)| \,=\,||\widetilde x_1|+\widetilde x_2^2-|y_1|-y_2^2| \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! ||\widetilde x_1|-|y_1||+|\widetilde x_2^2-y_2^2| \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! |\widetilde x_1-y_1|+|\widetilde x_2^2-y_2^2| \\[0.6ex] & \le & \displaystyle\!\!\! \sqrt{2}\,(1+2|\widetilde x_2|+\sqrt{2}\,d(\widetilde x,y))\,\,d(\widetilde x,y). \end{array} \]
| Die Stetigkeit von \( h \) folgt wie in (ii). |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 14
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
| (i) | Es sind nach voriger Aufgabe \( x, \) \( y \) und daher auch \( xy \) sowie \( x^2+y^2 \) stetig. Außerhalb von \( (0,0) \) ist auch der Quotient \( \frac{xy}{x^2+y^2} \) stetig. |
| (ii) | Um das Verhalten in \( (0,0) \) zu studieren, betrachten wir folgende Grenzwerte: |
| \( \circ\quad \) einmal \( (x,y)\to(0,0) \) entlang \( x=y, \) also |
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2x^2} =\frac{1}{2}\,, \]
| \( \circ\quad \) dann \( (x,y)\to(0,0) \) entlang \( x=-y, \) also |
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{x\to 0}\frac{-x^2}{2x^2} =-\,\frac{1}{2}\,. \]
| Beide Grenzwerte stimmen nicht überein, d.h. \( f \) ist in \( (0,0) \) nicht stetig, und ein solches in Frage stehendes \( a\in\mathbb R \) existiert nicht. |
Damit war gesucht.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 15
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\,xy & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
| (i) | Es sind \( x, \) \( y \) und daher auch \( x^2, \) \( y^2 \) sowie \( x^2+y^2 \) stetig. Außerhalb von \( (0,0) \) ist dann auch der Quotient \( \frac{xy}{x^2+y^2} \) stetig. |
| (ii) | Wir schätzen wie folgt ab |
\[ |f(x,y)| \le\frac{|x||y|}{x^2+y^2}\,|xy| \le\frac{1}{2}\,\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\,|xy| =\frac{1}{2}\,|xy|, \]
| und daher gilt |
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. \]
| Mit der Wahl \( a=0 \) wird \( f \) also in \( (0,0) \) und damit in ganz \( \mathbb R^2 \) stetig. |
Damit war gesucht.\( \qquad\Box \)