Präsenzblatt 5
Aufgabe PA 16
Betrachten Sie die durch \[ x(t):=t\cos t,\quad y(t):=t\sin t,\quad t\gt 0, \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Wir berechnen |
\[ c'(t)=(\cos t-t\sin t,\sin t+t\cos t) \]
| und damit für alle \( t\gt 0 \) |
\[ \begin{array}{lll} |c'(t)|^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle (\cos t-t\sin t)^2+(\sin t+t\cos t)^2 \\ & = & \negthickspace\displaystyle \cos^2t-2t\sin t\cos t+t^2\sin^2t+\sin^2t+2t\sin t\cos t+t^2\cos^2t \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1+t^2\,\gt\,0. \end{array} \]
| Also die angegebene Parametrisierung regulär. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 17
Betrachten Sie folgende Parametrisierung der Huygenschen Kreisinvolute \[ c(t)=(\cos t+t\sin t,\sin t-t\cos t),\quad t\gt 0. \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Mit \( c(t)=(x(t),y(t)) \) berechnen wir |
\[ \begin{array}{rcl} x'(t)\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! -\,\sin t+\sin t+t\cos t\,=\,t\cos t, \\[0.6ex] y'(t)\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! \cos t-\cos t+t\sin t\,=\,t\sin t \end{array} \]
| und damit für alle \( t\gt 0 \) |
\[ |c'(t)|=t^2\gt 0\quad\text{für alle}\ t\gt 0. \]
| Also die angegebene Parametrisierung regulär. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 18
Die Neilsche Parabel ist die Menge \[ \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^3-y^2=0\}\subset\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Skizzieren Sie die Neilsche Parabel. |
| (ii) | Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung |
\[ c(t)=(t^2,t^3),\quad t\in\mathbb R, \]
| der algebraischen Definition der Neilschen Parabel genügt. | |
| (iii) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (iv) | Beweisen Sie, dass es keine reguläre Parametrisierung der Form |
\[ c(t)=(x(t),y(t))\in C^2(\mathbb R,\mathbb R^2) \quad\mbox{mit}\quad x(0)=y(0)=0 \]
| der Neilschen Parabel gibt. Beachten Sie dabei die Bedingung \( C^2(\mathbb R,\mathbb R^2). \) |
| (i) | Siehe → hier. |
| (iii) | Es ist mit \( x(t)=t^2 \) und \( y(t)=t^3 \) |
\[ (t^2)^3-(t^3)^2=t^6-t^6=0. \]
| Die angegebene Parametrisierung genügt also der algebraischen Gleichung. | |
| (iii) | Es ist |
\[ c'(t)=(2t,3t^3),\quad t\in\mathbb R, \]
| und damit insbesondere \( c'(0)=0, \) d.h. die Parametrisierung ist in \( t=0 \) nicht regulär. | |
| (iv) | Angenommen, es stellt |
\[ c(t)=(x(t),y(t))\quad\text{mit}\quad x,y\in C^2(\mathbb R,\mathbb R) \]
| eine überall reguläre Parametrisierung der Neilschen Parabel dar. Zunächst gelten |
\[ x(t)^3-y(t)^2=0\quad\text{und}\quad x(0)=y(0)=0. \]
| Wegen \( x\ge 0 \) und \( x\in C^1(\mathbb R,\mathbb R) \) gilt |
\[ x'(0)=0. \]
| Wir differenzieren nun \( x(t)^3-y(t)^2=0 \) zweimal nach \( t \) und erhalten nach der Kettenregel |
\[ \begin{array}{l} 3x^2x'-2yy'=0, \\[0.6ex] 6xx'^2+3x^2x''-2y'^2-2yy''=0. \end{array} \]
| Mit \( x(0)=y(0)=0 \) folgt aus der zweiten Gleichung |
\[ -2y'(0)^2=0\quad\text{bzw.}\quad y'(0)=0. \]
| Zusammenfassend ist \( x'(0)=y'(0)=0 \) und damit ein Widerspruch. Eine solche reguläre Parametrisierung kann es also nicht geben. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 19
Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[f(u,v)=(u,v,u^2+v^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf. |
| (iii) | Ermitteln Sie die Tangentialebene |
\[ T_f(u,v):=\mbox{Span}\,\{f_u(u,v),f_v(u,v)\}\,,\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,, \]
| der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \) | |
| (iv) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie. |
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Wir berechnen |
\[ f_u(u,v)=(1,0,2u),\quad f_v(u,v)=(0,1,2v) \]
| und damit |
\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & 2v \end{pmatrix}. \]
| (iii) | Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten |
\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0), \]
| und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt |
\[ T_f(0,0)=\text{Span}\,\{(1,0,0),(0,1,0)\}\,. \]
| (iv) | Es ist |
\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]
| d.h. die Parametrisierung ist in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 20
Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung. |
| (ii) | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf. |
| (iii) | Ermitteln Sie die Tangentialebene im Punkt \( (u,v)=(0,0). \) |
| (iv) | Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? |
| (i) | Siehe → hier. |
| (ii) | Wir berechnen |
\[ f_u(u,v)=(1,0,2u),\quad f_v(u,v)=(0,1,-2v) \]
| und damit |
\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & -2v \end{pmatrix}. \]
| (iii) | Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten |
\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0), \]
| und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt |
\[ T_f(0,0)=\text{Span}\,\{(1,0,0),(0,1,0)\}\,. \]
| (iv) | Es ist |
\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]
| d.h. die Parametrisierung ist in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)