Präsenzblatt 6
Aufgabe PA 21
Berechnen Sie die Gradienten der folgenden Funktionen \( f,g,h\colon\mathbb R^3\to\mathbb R, \) und werten Sie die Gradienten jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus:
| (i) | \( \displaystyle f(x,y,z):=x^3y-\cosh(yz^2)+e^{xyz} \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1) \) |
| (ii) | \( \displaystyle g(x,y,z):=\sqrt{1+x^2+y^2}-\ln(1+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1) \) |
| (iii) | \( \displaystyle h(x,y,z):=x^2\sin(y^2+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3) \) |
| (i) | Wir berechnen |
\[ \mbox{grad}\,f(x,y,z)=(3x^2y+yze^{xyz},x^3-z^2\sinh(yz^2)+xze^{xyz},-2yz\sinh(yz^2)+xye^{xyz}) \]
| und damit |
\[ \mbox{grad}\,f(1,1,1)=(3+e,1-\sinh 1+e,-2\sinh 1+e). \]
| (ii) | Wir berechnen |
\[ \mbox{grad}\,g(x,y,z)=\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\,,\frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\,,-\,\frac{2z}{1+z^2}\right) \]
| und damit |
\[ \mbox{grad}\,g(0,0,1)=(0,0,-1). \]
| (iii) | Wir berechnen |
\[ \mbox{grad}\,h(x,y,z)=\big(2x\sin(y^2+z^2),2x^2y\cos(y^2+z^2),2x^2z\cos(y^2+z^2)\big) \]
| und damit |
\[ \mbox{grad}\,h(1,2,3)=(2\sin 13,4\cos 13,6\cos 13). \] Damit sind alle geforderten Größen ermittelt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 22
Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion \[ f\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R \quad\text{vermöge}\quad f(x,y):=xy+ye^x \] im Punkt \( (x_0,y_0)=(1,2) \) in Richtung \( v=\frac{1}{\sqrt{13}}\,(2,3). \)
Wir ermitteln \[ \nabla f(x,y)=(y+ye^x,x+e^x) \] und damit \[ \nabla f(1,2)=(2+2e,1+e). \] Es folgt für die Richtungsableitung \[ \frac{\partial f(1,2)}{\partial v} =\frac{1}{\sqrt{13}}\,\langle(2+2e,1+e),(2,3)\rangle =\frac{7+7e}{\sqrt{13}}\,. \] Damit ist alles berechnet.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 23
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=x^2y,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \] Zeigen Sie unter Zurückführung auf die Definition aus der Vorlesung, dass \( f(x,y) \) in jedem Punkt \( (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 \) vollständig differenzierbar ist.
Wir berechnen \[ \begin{array}{lll} f(x+h,y+k)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle (x+h)^2(y+k) \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle (x^2+2xh+h^2)(y+k) \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle x^2y+2xyh+x^2k+2xhk+yh^2+h^2k \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle f(x,y)+\langle(2xy,x^2),(h,k)\rangle+\langle(xk+yh,xh+h^2),(h,k)\rangle\,. \end{array} \] Mit den Setzungen \[ {\mathbf A}(x,y):=(2xy,x^2),\quad {\mathbf F}(x,y;h,k):=(xk+yh,xh+h^2) \] mit der Eigenschaft \[ {\mathbf F}(x,y;h,k)\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ |(h,k)|\to 0 \] folgt daher \[ f(x+h,y+k)=f(x,y)+{\mathbf A}(x,y)\circ(h,k)^t+{\mathbf F}(x,y;h,k)\circ(h,k)^t\,. \] Also ist \( f(x,y) \) in \( \mathbb R^2 \) vollständig differenzierbar.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 24
Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^2 \) offen und \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) eine Funktion. Mit einem \( \varepsilon\gt 0 \) sei ferner \[ c\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\longrightarrow\Omega \quad\mbox{vermöge}\quad c(t)=(x(t),y(t)),\ t\in(-\varepsilon,\varepsilon), \] eine reguläre Kurvenparametrisierung, deren Bild folgende Eigenschaften besitze \[ f\circ c(t)=C,\quad t\in(-\varepsilon,\varepsilon). \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \nabla f(x_0,y_0)\perp c'(0) \] mit \( (x_0,y_0):=c(0), \) d.h. der Gradient steht senkrecht auf der Niveaukurve.
Wir differenzieren die Funktion \[ F(t):=f\circ c(t)=f(x(t),y(t))=C,\quad t\in(-\varepsilon,\varepsilon), \] unter Verwendung der Kettenregel und erhalten in \( t_0=0 \) \[ 0=F'(0)=f_x(c(0))x'(0)+f_y(c(0))y'(0)=\langle\nabla f(x_0,y_0),c'(0)\rangle\,. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)