\[ \begin{array}{rcl} V_x\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -\,\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\,, \\[1.6ex] V_y\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -\,\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\,, \\[1.6ex] V_z\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -\,\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}} \end{array} \]

\[ \begin{array}{rcl} V_{xx}\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \frac{2x^2-y^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\,, \\[1.6ex] V_{xy}\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\,=\,V_{yx}\,, \\[1.6ex] V_{xz}\!\!\!\displaystyle & = & \!\!\!\displaystyle \frac{3xz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\,=\,V_{zx}\,, \\[1.6ex] V_{yy}\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \frac{2y^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\,, \\[1.6ex] V_{yz}\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \frac{3yz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\,=\,V_{zy}\,, \\[1.6ex] V_{zz}\!\!\!\displaystyle & = & \!\!\!\displaystyle \frac{2z^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\,. \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \langle(x,y,z),\nabla V(x,y,z)\rangle \,=\,-\,\frac{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}} \\[1.6ex] \qquad\displaystyle =\,-\,\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2}} \,=\,-V(x,y,z). \end{array} \]

\[ \triangle V =\frac{2x^2-y^2-z^2+2y^2-x^2-z^2+2z^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}} =0. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

Wir differenzieren die erste Gleichung des Cauchy-Riemann-Systems nach \(x \) und die zweite nach \( y. \) Unter Beachtung des Satzes von Schwarz, da ja \( u,v\in C^2(\mathbb R^2,\mathbb R), \) erhalten wir \[ u_{xx}=v_{yx}=v_{xy}\,,\quad u_{yy}=-v_{xy} \] bzw. nach Addition \[ \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=v_{xy}-v_{xy}=0. \] Jetzt differenzieren wir die erste Gleichung nach \( y \) und die zweite nach \( x \) und erhalten analog \[ u_{xy}=v_{yy}\,,\quad u_{yx}=u_{xy}=-v_{xx} \] bzw. nach Addition \[ \Delta v=v_{xx}+v_{yy}=-u_{xy}+u_{xy}=0. \] Also sind \( u \) und \( v \) harmonisch in \( \mathbb R^2.\qquad\Box \)

\[ \begin{array}{l} df=f_xh_1+f_yh_2\,, \\[0.6ex] d^2f\,=\,f_{xx}h_1^2+2f_{xy}h_1h_2+f_{yy}h_2^2\,. \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} dg\,=\,g_xh_1+g_yh_2+g_zh_3\,, \\[0.6ex] d^2g\,=\,g_{xx}h_1^2+g_{yy}h_2^2+g_{zz}h_3^2+2g_{xy}h_1h_2+2g_{xz}h_1h_3+g_{yz}h_2h_3\,. \end{array} \] Damit sind alle Differentiale berechnet.\( \qquad\Box \)

Wir ermitteln zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung \[ \begin{array}{rcl} f_x(x,y)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -y\sin(xy)+e^{y-1}\,, \\[0.6ex] f_y(x,y)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -x\sin(xy)+xe^{y-1} \end{array} \] und dann die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung \[ \begin{array}{rcl} f_{xx}(x,y)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle -y^2\cos(xy), \\[0.6ex] f_{xy}(x,y)\negthickspace & = & \!\!\!\displaystyle -\sin(xy)-xy\cos(xy)+e^{y-1}\,, \\ f_{yy}(x,y)\negthickspace & = & \!\!\!\displaystyle -x^2\cos(xy)+xe^{y-1}\,. \end{array} \] Im Entwicklungspunkt \( (x_0,y_0)=(\pi,1) \) bedeutet das \[ \begin{array}{l} f(\pi,1)=\pi-1, \\[0.6ex] f_x(\pi,1)=1,\quad f_y(\pi,1)=\pi, \\[0.6ex] f_{xx}(\pi,1)=1,\quad f_{xy}(\pi,1)=\pi+1,\quad f_{yy}(\pi,1)=\pi^2+\pi. \end{array} \] Damit erhalten wir für das Taylorpolynom zweiter Ordnung in \( (x_0,y_0)=(\pi,1) \) \[ \begin{array}{lll} T_2(\pi,1)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle f(\pi,1)+f_x(\pi,1)(x-\pi)+f_y(\pi,1)(y-1) \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{2}\,f_{xx}(\pi,1)(x-\pi)^2+f_{xy}(\pi,1)(x-\pi)(y-1)+\frac{1}{2}\,f_{yy}(\pi,1)(y-1)^2 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \pi-1+(x-\pi)+\pi(y-1) \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{2}\,(x-\pi)^2+(\pi+1)(x-\pi)(y-1)+\frac{\pi^2+\pi}{2}\,(y-1)^2 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \frac{1}{2}\,x^2+\frac{\pi(1+\pi)}{2}\,y^2+(1+\pi)xy-2\pi x-\pi(2\pi+1)y+2\pi^2+\frac{\pi}{2}-1. \end{array} \] Das ist das gesuchte Taylorpolynom.\( \qquad\Box \)

Wir berechnen zunächst \[ \begin{array}{l} f_x=3x^2+y^2\,,\quad f_y=2xy+3y^2\,, \\[0.6ex] f_{xx}=6x,\quad f_{xy}=f_{yx}=2y,\quad f_{yy}=2x+6y, \\[0.6ex] f_{xxx}=6,\quad f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}=0, \\[0.6ex] f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}=2,\quad f_{yyy}=6. \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} f(0,0)=0, \\[0.6ex] f_x(0,0)=f_y(0,0)=0, \\[0.6ex] f_{xx}(0,0)=f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)=f_{yy}(0,0)=0, \\[0.6ex] f_{xxx}(0,0)=6,\quad f_{xxy}(0,0)=f_{xyx}(0,0)=f_{yxx}(0,0)=0, \\[0.6ex] f_{xyy}(0,0)=f_{yxy}(0,0)=f_{yyx}(0,0)=2,\quad f_{yyy}(0,0)=6 \end{array} \]

\[ \begin{array}{lll} f(x,y)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{2}\,f_{xx}(0,0)x^2+f_{xy}(0,0)xy+\frac{1}{2}\,f_{yy}(0,0)y^2 \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{6}\,f_{xxx}(0,0)x^3+\frac{1}{2}\,f_{xxy}(0,0)x^2y+\frac{1}{2}\,f_{xyy}(0,0)xy^2+\frac{1}{6}\,f_{yyy}(0,0)y^3 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \frac{1}{6}\cdot 6\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot xy^2+\frac{1}{6}\cdot 6\cdot y^3 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle x^3+xy^2+y^3\,. \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} f(1,2)=13, \\[0.6ex] f_x(1,2)=7,\quad f_y(1,2)=16, \\[0.6ex] f_{xx}(1,2)=6,\quad f_{xy}(1,2)=f_{yx}(1,2)=4,\quad f_{yy}(1,2)=14, \\[0.6ex] f_{xxx}(0,0)=6,\quad f_{xxy}(0,0)=f_{xyx}(0,0)=f_{yxx}(0,0)=0, \\[0.6ex] f_{xyy}(0,0)=f_{yxy}(0,0)=f_{yyx}(0,0)=2,\quad f_{yyy}(0,0)=6 \end{array} \]

\[ \begin{array}{lll} f(x,y)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle f(1,2)+f_x(1,2)(x-1)+f_y(1,2)(y-2) \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{2}\,f_{xx}(1,2)(x-1)^2+f_{xy}(1,2)(x-1)(y-2)+\frac{1}{2}\,f_{yy}(1,1)(y-2)^2 \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{6}\,f_{xxx}(1,2)(x-1)^3+\frac{1}{2}\,f_{xxy}(1,2)(x-1)^2(y-2) \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{2}\,f_{xyy}(1,2)(x-1)(y-2)^2+\frac{1}{6}\,f_{yyy}(1,2)(y-2)^3 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle 13+7(x-1)+16(y-2)+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot(x-1)^2+4(x-1)(y-2) \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{2}\cdot 14(y-2)^2+\frac{1}{6}\cdot 6\cdot(x-1)^3+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(x-1)(y-2)^2 \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +\,\frac{1}{6}\cdot 6\cdot(y-2)^3 \\[0.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle 13+7(x-1)+16(y-2)+3(x-1)^2+4(x-1)(y-2)+7(y-2)^2 \\[0.6ex] & & \!\!\!\displaystyle +(x-1)^3+(x-1)(y-2)^2+(y-2)^3\,. \end{array} \] Damit sind die gesuchten Entwicklungen.\( \qquad\Box \)