Präsenzblatt 9
Aufgabe PA 34
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=x+\sin x,\quad x\in\mathbb R. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung. |
| (ii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iii) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=-2. \]
Lösung
| (i) | Integration liefert |
\[ y =\int\limits_\xi^x(t+\sin t)\,dt+\widetilde C =\frac{x^2}{2}-\cos x-\frac{\xi^2}{2}+\cos\xi+\widetilde C =\frac{x^2}{2}-\cos x+C \]
| mit \( C:=-\frac{\xi^2}{2}+\cos\xi+\widetilde C\in\mathbb R. \) Das sind alle Lösungen der Gleichung (siehe Nachweis in der Vorlesung). | |
| (ii) | Skizzen für die Fälle \( C=-1, \) \( C=0 \) und \( C=1 \) |
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| (iii) | Zum Anfangswert \( y(0)=-2 \) erhalten wir die Lösung |
\[ y(x)=\frac{x^2}{2}-\cos x-1. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 35
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=-2y. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung vermittels der Methode der Trennung der Variablen. (In HA 45, siehe auch PA 36, beweisen wir, dass damit tatsächlich alle Lösungen gefunden sind.) |
| (ii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iii) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=1. \]
Lösung
| (i) | Zunächst löst \( y\equiv 0 \) die Gleichung. Für \( y\not=0 \) erhalten wir vermittels Trennung der Variablen |
\[ \ln|y|=\int\frac{dy}{y}=\int(-2)\,dx=-2x+\widetilde C \]
| und damit nach Umstellen |
\[ |y|=e^{\widetilde C}e^{-2x}\quad\mbox{bzw.}\quad y=Ce^{-2x}\,,\ C\in\mathbb R. \]
| Das sind die gesuchten Lösungen. Beachte, dass für den Fall \( C=0 \) die Lösung \( y\equiv 0 \) hierin enthalten ist. | |
| (ii) | Skizzen für die Fälle \( C=-1, \) \( C=0.3 \) und \( C=1 \) (der Fall \( C=0 \) entspricht \( y\equiv 0 \)) |
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| (iii) | Zum Anfangswert \( y(0)=1 \) erhalten wir \( 1=Ce^0=C \) und damit die einzige Lösung |
\[ y=e^{-2x}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 36
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=-2xy. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass damit tatsächlich alle Lösungen der Gleichungen bestimmt sind. Werten Sie dazu das Produkt \( \Phi(x)e^{x^2} \) aus mit einer beliebigen Lösung \( \Phi(x). \) |
| (iii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iv) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=3. \]
Lösung
| (i) | Zunächst ist \( y\equiv 0 \) eine Lösung. Für \( y\not=0 \) erhalten wir vermittels Trennung der Variablen |
\[ \ln|y|=\int\frac{dy}{y}=\int(-2x)\,dx=-x^2+\widetilde C \]
| und damit nach Umstellen |
\[ |y|=e^{\widetilde C}e^{-x^2}\quad\mbox{bzw.}\quad y=Ce^{-x^2}\,,\ C\in\mathbb R. \]
| Beachte, dass die Lösung \( y\equiv 0 \) hierin enthalten ist. | |
| (ii) | Es sei \( \Phi(x) \) eine beliebige Löung der Gleichung. Wir berechnen |
\[ \frac{d}{dx}\,\Phi e^{x^2} =\Phi'e^{x^2}+2x\Phi e^{x^2} =-2x\Phi e^{x^2}+2x\Phi e^{x^2} =0, \]
| d.h. es ist |
\[ \Phi(x)e^{x^2}=\text{Const}\quad\mbox{und damit nach Umstellen}\quad\Phi(x)=\text{Const}\cdot e^{-x^2}\,. \]
| Eine Lösung der Gleichung hat also genau diese Form. | |
| (ii) | Skizzen für die Fälle \( C=3, \) \( C=1 \) und \( C=-0.5 \) (der Fall \( C=0 \) entspricht \( y\equiv 0 \)) |
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| (iii) | Zum Anfangswert \( y(0)=3 \) erhalten wir \( 3=Ce^0=C \) und damit die einzige Lösung |
\[ y=3e^{-x^2}\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)