Präsenzblatt 11
Aufgabe PA 41
Lösen Sie das folgende Differentialgleichungssystem y′1=y1,y′2=2y2.
Die Koeffizientenmatrix des Systems lautet M=(2002). Ihr charakteristisches Polynom P(λ)=(2−λ)2 besitzt die doppelte Nullstelle λ1=λ2=2. Der zu dieser Nulltstelle gehörige Eigenraum ist zweidimensional mit den Basisvektoren C1=(1,0),C2=(0,1). Damit erhalten wir die beiden Basislösungen Y1(x)=(1,0)e2x,Y2(x)=(0,1)e2x,x∈R, aus denen sich schließlich die Gesamtlösung des System ergibt Y(x)=αY1(x)+βY2(x),x∈R, α,β∈R. Das war zu zeigen.◻
Aufgabe PA 42
Lösen Sie das folgende Differentialgleichungssystem y′1=4y2−3y3,y′2=y1−3y2+3y3,y′3=y1−4y2+4y3.
Die Koeffizientenmatrix des Systems lautet M=(04−31−331−44). Ihr charakteristisches Polynom P(λ)=−λ3+λ2+λ−1 besitzt die Nullstellen λ1=1,λ2=λ3=1. Hieraus ergeben sich die Eigenräume Eλ=−1=Lin{(−1,1,1)},Eλ=1=Lin{(4,1,0),(−3,0,1)} und damit die Basislösungen Y1(x)=(−1,1,1)e−x,Y2(x)=(4,1,0)ex,Y3(x)=(−3,0,1)ex,x∈R. Wir haben also schließlich Y(x)=αY1(x)+βY2(x)+γY3(x),x∈R, α,β,γ∈R, als Gesamtlösung des Systems. Das war zu zeigen.◻
Aufgabe PA 43
Ermitteln Sie alle Lösungen der Differentialgleichung y″=(y′)23.
Wir setzen zunächst z=y′ und erhalten die Gleichung erster Ordnung z′=z23. Hiervon ist z≡0 eine Lösung. Sei nun z≠0. Trennung der Variablen bringt 3z13=∫z−23dz=∫1dx=x+c,c∈R, und damit die Lösungsschar z=(x+c3)3,c∈R. Mit z=y′ liefert eine weitere Integration mit y=∫(x+c3)3dx=34(x+c3)4+d,c,d∈R, die gesuchte Lösungsschar der Gleichung.◻
Aufgabe PA 44
Ermitteln Sie alle Lösungen der Differentialgleichung y‴−2y″−5y′+6y=0.
Das charakteristische Polynom zu dieser Gleichung lautet P(λ)=λ3−2λ2−5λ+6=(λ−1)(λ+2)(λ−3). Die erste Nullstelle λ=1 lässt sich dabei leicht erraten. Nach Vorlesung erhalten wir die drei Lösungen y1=ex,y2=e−2x,y3=e3x,x∈R, und somit als Gesamtlösung der Gleichung y(x)=αy1(x)+βy2(x)+γy3(x),x∈R, α,β,γ∈R.