Die Koeffizientenmatrix des Systems lautet \[ {\mathbf M}=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right). \] Ihr charakteristisches Polynom \[ P(\lambda)=(2-\lambda)^2 \] besitzt die doppelte Nullstelle \[ \lambda_1=\lambda_2=2. \] Der zu dieser Nulltstelle gehörige Eigenraum ist zweidimensional mit den Basisvektoren \[ C_1=(1,0),\quad C_2=(0,1). \] Damit erhalten wir die beiden Basislösungen \[ Y_1(x)=(1,0)e^{2x}\,,\quad Y_2(x)=(0,1)e^{2x}\,,\quad x\in\mathbb R, \] aus denen sich schließlich die Gesamtlösung des System ergibt \[ Y(x)=\alpha Y_1(x)+\beta Y_2(x),\quad x\in\mathbb R,\ \alpha,\beta\in\mathbb R. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Die Koeffizientenmatrix des Systems lautet \[ {\mathbf M}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 4 & -3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & -4 & 4 \end{array}\right). \] Ihr charakteristisches Polynom \[ P(\lambda)=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1 \] besitzt die Nullstellen \[ \lambda_1=1,\quad \lambda_2=\lambda_3=1. \] Hieraus ergeben sich die Eigenräume \[ E_{\lambda=-1}=\mbox{Lin}\,\{(-1,1,1)\}\,,\quad E_{\lambda=1}=\mbox{Lin}\,\{(4,1,0),(-3,0,1)\} \] und damit die Basislösungen \[ Y_1(x)=(-1,1,1)e^{-x}\,,\quad Y_2(x)=(4,1,0)e^x\,,\quad Y_3(x)=(-3,0,1)e^x\,,\quad x\in\mathbb R. \] Wir haben also schließlich \[ Y(x)=\alpha Y_1(x)+\beta Y_2(x)+\gamma Y_3(x),\quad x\in\mathbb R,\ \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R, \] als Gesamtlösung des Systems. Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Wir setzen zunächst \( z=y' \) und erhalten die Gleichung erster Ordnung \[ z'=z^\frac{2}{3}\,. \] Hiervon ist \( z\equiv 0 \) eine Lösung. Sei nun \( z\not=0. \) Trennung der Variablen bringt \[ 3z^\frac{1}{3}=\int z^{-\frac{2}{3}}\,dz=\int 1\,dx=x+c,\quad c\in\mathbb R, \] und damit die Lösungsschar \[ z=\left(\frac{x+c}{3}\right)^3\,,\quad c\in\mathbb R. \] Mit \( z=y' \) liefert eine weitere Integration mit \[ y=\int\left(\frac{x+c}{3}\right)^3\,dx=\frac{3}{4}\left(\frac{x+c}{3}\right)^4+d,\quad c,d\in\mathbb R, \] die gesuchte Lösungsschar der Gleichung.\( \qquad\Box \)

Das charakteristische Polynom zu dieser Gleichung lautet \[ P(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda+2)(\lambda-3). \] Die erste Nullstelle \( \lambda=1 \) lässt sich dabei leicht erraten. Nach Vorlesung erhalten wir die drei Lösungen \[ y_1=e^x\,,\quad y_2=e^{-2x}\,,\quad y_3=e^{3x}\,,\quad x\in\mathbb R, \] und somit als Gesamtlösung der Gleichung \[ y(x)=\alpha y_1(x)+\beta y_2(x)+\gamma y_3(x),\quad x\in\mathbb R,\ \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R. \]