Wiederholungsfragen
Teil III: Grundlagen der Topologie
Kapitel 8: Metrik, Norm und Topologie
8.1 Metrische Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Metrik? |
| 2. | Wie lautet die Dreiecksungleichung für eine Metrik? |
| 3. | Was versteht man unter einem metrischen Raum? |
| 4. | Wie lautet unser Standardbeispiel \( (\mathbb R,|\cdot|)? \) |
| 5. | Was versteht man unter der diskreten Metrik? |
| 6. | Was versteht man unter der Euklidischen Metrik? |
| 7. | Was versteht man unter der Betragssummenmetrik? |
| 8. | Was versteht man unter der Maximumsmetrik? |
8.2 Normierte Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Norm? |
| 2. | Was versteht man unter einem normierten Raum? |
| 3. | Wie ordnen sich normierte Räume den metrischen Räumen unter? |
| 4. | Wie lautet unser Standardbeispiel \( (\mathbb R,|\cdot|)? \) |
| 5. | Was versteht man unter der Euklidischen Norm? |
| 6. | Was versteht man unter der Supremumsnorm im \( \mathbb R^n? \) |
| 7. | Was versteht man unter der Betragssummennorm im \( \mathbb R^n? \) |
| 8. | Was versteht man unter der allgemeinen \( p \)-Norm im \( \mathbb R^n? \) |
| 9. | Wann heißen zwei Normen äquivalent? |
| 10. | Sind im \( \mathbb R^n \) alle Normen äquivalent? |
8.3 Offene Mengen
| 1. | Wie ist der metrische Ball \( B_\varepsilon(a) \) in einem metrischen Raum \( (X,d) \) definiert? |
| 2. | Was versteht man unter einer Umgebung \( U\subseteq X \) eines Punktes \( a\in X? \) |
| 3. | Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) offen in \( (X,d)? \) |
| 4. | Geben Sie einfache Beispiele offener Teilmengen. |
| 5. | Wie lautet das Hausdorffsche Trennungsaxiom? |
| 6. | Was wissen Sie über den Durchschnitt offener Mengen? Beweisen Sie. |
| 7. | Was wissen Sie über die Vereinigung offener Mengen? Beweisen Sie. |
| 8. | Was verstehen wir unter einem inneren Punkt? |
| 9. | Was verstehen wir unter dem Inneren einer Menge? |
| 10. | Welche Beispiele haben wir in diesem Zusammenhang diskutiert? |
8.4 Abgeschlossene Mengen
| 1. | Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) abgeschlossen? |
| 2. | Geben Sie einfache Beispiele abgeschlossener Mengen. |
| 3. | Was wissen Sie über den Durchschnitt abgeschlossener Mengen? |
| 4. | Was wissen Sie über die Vereinigung abgeschlossener Mengen? |
| 5. | Was versteht man unter einem Randpunkt einer Teilmenge \( U\subseteq X? \) |
| 6. | Was versteht man unter dem Rand einer Teilmenge \( U\subseteq X? \) |
| 7. | Was versteht man unter dem topologischen Abschluss einer Teilmenge \( U\subseteq X? \) |
8.5 Topologische Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Topologie? |
| 2. | Geben Sie einfache Beispiele topologischer Räume. |
| 3. | Wie ordnen sich metrische Räume den topologischen Räumen unter? |
| 4. | Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines topologischen Raumes \( (X,T) \) offen? |
Kapitel 9: Konvergenz in metrischen Räumen
9.1 Konvergente Folgen
| 1. | Wann heißt eine Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) gegen ein \( x\in X \) konvergent? |
| 2. | Ist ein solcher Punkt eindeutig? Können Sie einen Beweis geben? |
| 3. | Wie haben wir die Abgeschlossenheit in metrischen Räumen über die Konvergenz charakterisiert? |
9.2 Banachräume
| 1. | Was versteht man unter einer Cauchyfolge in einem metrischen Raum \( (X,d)? \) |
| 2. | Sind konvergente Folgen Cauchyfolgen? Können Sie einen Beweis geben? |
| 3. | Wann heißt ein metrischer Raum vollständig oder ein Banachraum? |
| 4. | Geben Sie ein einfaches Beispiel eines Banachraumes. |
| 5. | Was verstehen wir unter dem Durchmesser \( \text{diam}\,\Omega \) einer Menge \( \Omega\subseteq X? \) |
| 6. | Was besagt der Cantorsche Durchschnittssatz? |
9.3 Stetige Funktionen
| 1. | Wann heißt eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) stetig im Punkt \( x_0\in X? \) |
| 2. | Wann heißt eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) stetig auf \( X? \) |
| 3. | Wie lautet das Folgenkriterium der Stetigkeit? |
| 4. | Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium (Satz 6 im pdf-Manuskript)? |
Kapitel 10: Kompaktheit
10.1 Der Begriff der Kompaktheit
| 1. | Was versteht man unter einer offenen Überdeckung \( \{U_i\}_{i\in I} \) einer Teilmenge \( U\subseteq X? \) |
| 2. | Was versteht man unter einer endlichen Teilüberdeckung einer offenen Überdeckung? |
| 3. | Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) kompakt? |
| 4. | Ist \( (0,1)\subset\mathbb R \) kompakt in \( (\mathbb R,|\cdot|)? \) Begründen Sie. |
| 5. | Ist \( (0,1]\subset\mathbb R \) kompakt in \( (\mathbb R,|\cdot|)? \) Begründen Sie. |
| 6. | Ist \( [0,1]\subset\mathbb R \) kompakt in \( (\mathbb R,|\cdot|) \) (ohne Begründung)? |
10.2 Sätze über kompakte Mengen
| 1. | Wie lautet der Satz von Heine-Borel in allgemeinen metrischen Räumen? |
| 2. | Wie lautet der klassische Satz von Heine-Borel im \( \mathbb R^n? \) |
| 3. | Wie lautet der Weierstraßsche Häufungsstellensatz in metrischen Räumen (Weierstraßscher Auswahlsatz)? |
| 4. | Was können Sie über das Bild einer stetigen Abbildung einer kompakten Menge aussagen? |
| 5. | Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstraß in allgemeinen metrischen Räumen? |
| 6. | Wann heißt eine stetige Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen gleichmäßig stetig? |
| 7. | Sind stetige Abbildungen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig? |
Teil IV: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
Kapitel 11: Kurven und Flächen
11.1 Kurven im Euklidischen Raum
| 1. | Was versteht man unter einer stetigen Kurvenparametrisierung \( c\colon I\to\mathbb R^n? \) |
| 2. | Was versteht man unter einer stetig differenzierbaren Kurvenparametrisierung \( c\colon I\to\mathbb R^n? \) |
| 3. | Geben Sie eine Parametrisierung \( c\in C^1(\mathbb R,\mathbb R^2) \) der Geraden \( y=mx+n, \) \( x\in\mathbb R, \) an. |
| 4. | Geben Sie eine Parametrisierung \( c\in C^1([0,2\pi),\mathbb R^2) \) des Kreises vom Radius \( 1 \) mit Zentrum im Koordinatenursprung an. |
| 5. | Was versteht man unter der Neilschen Parabel? |
| 6. | Geben Sie eine Parametrisierung \( c\in C^1(\mathbb R,\mathbb R^2) \) der Neilschen Parabel an. |
| 6. | Wann heißt eine Kurvenparametrisierung \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) regulär? |
| 7. | Geben Sie ein Beispiel einer regulären Kurvenparametrisierung an. |
| 8. | Geben Sie ein Beispiel einer nicht regulären Kurvenparametrisierung an. |
| 9. | Was versteht man unter einer Bogenlängenparametrisierung? |
| 10. | Wie ermittelt man die Länge einer regulären Kurve? |
11.2 Flächen im Euklidischen Raum
| 1. | Was versteht man unter einer stetigen Flächenparametrisierung? |
| 2. | Was versteht man unter einer stetig differenzierbaren Flächenparametrisierung? |
| 3. | Wann heißt eine Abbildung |
\[ f(x)=(f_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_m))\colon\Omega\longrightarrow\mathbb R^n \]
| in einem Punkt \( \widetilde x\in\Omega \) bez. der \( j \)-ten Koordinatenrichtung partiell differenzierbar? | |
| 4. | Wann heißt eine Abbildung \( f\colon\Omega\longrightarrow\mathbb R^n \) auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m \) partiell differenzierbar? |
| 5. | Wie ist die Funktionalmatrix bzw. Jacobimatrix \( \partial f(x) \) definiert? |
| 6. | Was bedeuten |
\[ f\in C^0(\Omega,\mathbb R^n)\quad\text{und}\quad f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n)? \]
| 7. | Wann heißt eine Flächenparametrisierung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m, \) \( m\le n, \) im Punkt \( x_0\in\Omega \) regulär? |
| 8. | Und wann heißt eine solche Flächenparametrisierung auf \( \Omega \) regulär? |
| 9. | Was versteht man unter den Tangentialvektoren und dem Tangentialraum einer (nicht notwendig regulären) Flächenparametrisierung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n)? \) |
| 10. | Kennen Sie eine Zusammenhang zwischen der Regularität einer Flächenparametrisierung und der Dimension des Tangentialraumes in einem Flächenpunkt? Erläutern Sie. |
Kapitel 12: Partielle und vollständige Differentiation
12.1 Partielle Differenzierbarkeit
| 1. | Wie lautet die Kettenregel im \( \mathbb R^n? \) |
| 2. | Formulieren Sie die Kettenregel unter Benutzung der Funktionalmatrix \( \partial f(x). \) |
| 3. | Wie lautet der Mittelwertsatz im \( \mathbb R^n? \) |
| 4. | Was versteht man unter der konvexen Hülle zweier Punkte \( x',x''\in\mathbb R^n?) |
| 5. | Wie ist der Gradient \( \nabla f(x) \) einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) definiert? |
| 6. | Formulieren Sie den Mittelwertsatz unter Benutzung des Gradienten und des Euklidischen Skalarprodukts. |
| 7. | Wie ist die Richtungsableitung einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) im Punkt \( x\in\Omega \) in Richtung des Einheitsvektors \( v\in\mathbb R^m \) definiert? |
| 8. | Was bedeutet: Der Gradient zeigt in Richtung des größten Anstiegs? |
| 9. | Was bedeutet: Der Gradient steht senkrecht auf der Niveaufläche? |
| 10. | Sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^m \) offen. Ist \( C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) eine echte Teilmenge von \( C^0(\Omega,\mathbb R^n)? \) |
12.2 Vollständige Differenzierbarkeit
| 1. | Wann heißt eine Abbildung \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) in \( x_0\in\Omega \) vollständig differenzierbar? |
| 2. | Impliziert vollständige Differenzierbarkeit Stetigkeit? Beweisen Sie! |
| 3. | Impliziert vollständige Differenzierbarkeit partielle Differenzierbarkeit? |
| 4. | Ist eine Abbildung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) vollständig differenzierbar? |
| 5. | Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) ein Gebiet? |
| 6. | Welches Kriterium haben wir kennnengelernt, nach dem \( \nabla f\equiv 0 \) die Eigenschaft \( f\equiv\mbox{const} \) impliziert? |
12.3 Ableitungen höherer Ordnung
| 1. | Welche Schreibweisen für höhere partielle Ableitungen haben wir eingeführt? |
| 2. | Formulieren Sie den Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen. |
| 3. | Wie ist das vollständige Differential \( df(x_0,h) \) einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) definiert? |
| 4. | Wie sind die Räume \( C^k(\Omega,\mathbb R^n) \) und \( C^\infty(\Omega,\mathbb R^n) \) definiert? |
| 5. | Handelt es sich bei diesen Funktionenräumen und Vektorräume? |
| 6. | Wie ist das vollständige Differential \( d^kf(x_0,h) \) einer Funktion \( f\in C^k(\Omega,\mathbb R) \) definiert? |
Kapitel 13: Taylorformel und Extremwertaufgaben
13.1 Die Taylorsche Formel
| 1. | Es sei \( f\in C^\ell(\Omega,\mathbb R^n). \) Vervollständigen Sie nach der Taylorschen Formel (Satz 1, Abschnitt 13.1) |
\[ f(x+h)=f(x)+\ldots \]
| Formulieren Sie dabei auch sämtliche weiteren Voraussetzungen. | |
| 2. | Formulieren Sie die Taylorsche Formel in der Situation |
\[ f(x)=f(x_0)+\ldots \]
| 3. | Was versteht man unter dem Taylorpolynom \( \ell \)-ter Ordnung? |
| 4. | Wie lautet das Restglied \( (\ell+1) \)-ter Ordnung? |
13.2 Notwendige und hinreichende Bedingungen
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
13.3 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
13.4 Der Satz über implizite Funktionen
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
13.5 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
Teil V: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Kapitel 14: Elementare Lösungsmethoden
14.1 Erste Begriffe
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
14.2 Beispiele aus Natur und Technik
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
14.3 Elementare Lösungsmethoden I
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
14.4 Elementare Lösungsmethoden II
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
Kapitel 15: Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
15.1 Lineare Gleichungen erster Ordnung
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
15.2 Systeme von Differentialgleichungen
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
15.3 Gleichungen höherer Ordnung
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
Kapitel 16: Existenz und Eindeutigkeit
16.1 Operatoren und Funktionale
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
16.2 Der Satz von Picard-Lindelöf
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
16.3 Weiterführendes
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |
16.4 Das Gronwallsche Lemma
| 1. | .. |
| 2. | ... |
| 3. | ... |