Wiederholungsfragen

Teil III: Grundlagen der Topologie

Kapitel 8: Metrik, Norm und Topologie

8.1 Metrische Räume

1.	Was versteht man unter einer Metrik?
2.	Wie lautet die Dreiecksungleichung für eine Metrik?
3.	Was versteht man unter einem metrischen Raum?
4.	Wie lautet unser Standardbeispiel \( (\mathbb R,\|\cdot\|)? \)
5.	Was versteht man unter der diskreten Metrik?
6.	Was versteht man unter der Euklidischen Metrik?
7.	Was versteht man unter der Betragssummenmetrik?
8.	Was versteht man unter der Maximumsmetrik?

8.2 Normierte Räume

1.	Was versteht man unter einer Norm?
2.	Was versteht man unter einem normierten Raum?
3.	Wie ordnen sich normierte Räume den metrischen Räumen unter?
4.	Wie lautet unser Standardbeispiel \( (\mathbb R,\|\cdot\|)? \)
5.	Was versteht man unter der Euklidischen Norm?
6.	Was versteht man unter der Supremumsnorm im \( \mathbb R^n? \)
7.	Was versteht man unter der Betragssummennorm im \( \mathbb R^n? \)
8.	Was versteht man unter der allgemeinen \( p \)-Norm im \( \mathbb R^n? \)
9.	Wann heißen zwei Normen äquivalent?
10.	Sind im \( \mathbb R^n \) alle Normen äquivalent?

8.3 Offene Mengen

1.	Wie ist der metrische Ball \( B_\varepsilon(a) \) in einem metrischen Raum \( (X,d) \) definiert?
2.	Was versteht man unter einer Umgebung \( U\subseteq X \) eines Punktes \( a\in X? \)
3.	Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) offen in \( (X,d)? \)
4.	Geben Sie einfache Beispiele offener Teilmengen.
5.	Wie lautet das Hausdorffsche Trennungsaxiom?
6.	Was wissen Sie über den Durchschnitt offener Mengen? Beweisen Sie.
7.	Was wissen Sie über die Vereinigung offener Mengen? Beweisen Sie.
8.	Was verstehen wir unter einem inneren Punkt?
9.	Was verstehen wir unter dem Inneren einer Menge?
10.	Welche Beispiele haben wir in diesem Zusammenhang diskutiert?

8.4 Abgeschlossene Mengen

1.	Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) abgeschlossen?
2.	Geben Sie einfache Beispiele abgeschlossener Mengen.
3.	Was wissen Sie über den Durchschnitt abgeschlossener Mengen?
4.	Was wissen Sie über die Vereinigung abgeschlossener Mengen?
5.	Was versteht man unter einem Randpunkt einer Teilmenge \( U\subseteq X? \)
6.	Was versteht man unter dem Rand einer Teilmenge \( U\subseteq X? \)
7.	Was versteht man unter dem topologischen Abschluss einer Teilmenge \( U\subseteq X? \)

8.5 Topologische Räume

1.	Was versteht man unter einer Topologie?
2.	Geben Sie einfache Beispiele topologischer Räume.
3.	Wie ordnen sich metrische Räume den topologischen Räumen unter?
4.	Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines topologischen Raumes \( (X,T) \) offen?

Kapitel 9: Konvergenz in metrischen Räumen

9.1 Konvergente Folgen

1.	Wann heißt eine Folge \( \{x^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) gegen ein \( x\in X \) konvergent?
2.	Ist ein solcher Punkt eindeutig? Können Sie einen Beweis geben?
3.	Wie haben wir die Abgeschlossenheit in metrischen Räumen über die Konvergenz charakterisiert?

9.2 Banachräume

1.	Was versteht man unter einer Cauchyfolge in einem metrischen Raum \( (X,d)? \)
2.	Sind konvergente Folgen Cauchyfolgen? Können Sie einen Beweis geben?
3.	Wann heißt ein metrischer Raum vollständig oder ein Banachraum?
4.	Geben Sie ein einfaches Beispiel eines Banachraumes.
5.	Was verstehen wir unter dem Durchmesser \( \text{diam}\,\Omega \) einer Menge \( \Omega\subseteq X? \)
6.	Was besagt der Cantorsche Durchschnittssatz?

9.3 Stetige Funktionen

1.	Wann heißt eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) stetig im Punkt \( x_0\in X? \)
2.	Wann heißt eine Abbildung \( f\colon X\to Y \) zwischen den metrischen Räumen \( (X,d) \) und \( (Y,\varrho) \) stetig auf \( X? \)
3.	Wie lautet das Folgenkriterium der Stetigkeit?
4.	Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium (Satz 6 im pdf-Manuskript)?

Kapitel 10: Kompaktheit

10.1 Der Begriff der Kompaktheit

1.	Was versteht man unter einer offenen Überdeckung \( \{U_i\}_{i\in I} \) einer Teilmenge \( U\subseteq X? \)
2.	Was versteht man unter einer endlichen Teilüberdeckung einer offenen Überdeckung?
3.	Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) kompakt?
4.	Ist \( (0,1)\subset\mathbb R \) kompakt in \( (\mathbb R,\|\cdot\|)? \) Begründen Sie.
5.	Ist \( (0,1]\subset\mathbb R \) kompakt in \( (\mathbb R,\|\cdot\|)? \) Begründen Sie.
6.	Ist \( [0,1]\subset\mathbb R \) kompakt in \( (\mathbb R,\|\cdot\|) \) (ohne Begründung)?

10.2 Sätze über kompakte Mengen

1.	Wie lautet der Satz von Heine-Borel in allgemeinen metrischen Räumen?
2.	Wie lautet der klassische Satz von Heine-Borel im \( \mathbb R^n? \)
3.	Wie lautet der Weierstraßsche Häufungsstellensatz in metrischen Räumen (Weierstraßscher Auswahlsatz)?
4.	Was können Sie über das Bild einer stetigen Abbildung einer kompakten Menge aussagen?
5.	Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstraß in allgemeinen metrischen Räumen?
6.	Wann heißt eine stetige Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen gleichmäßig stetig?
7.	Sind stetige Abbildungen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig?

Teil IV: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Kapitel 11: Kurven und Flächen

11.1 Kurven im Euklidischen Raum

1.	Was versteht man unter einer stetigen Kurvenparametrisierung \( c\colon I\to\mathbb R^n? \)
2.	Was versteht man unter einer stetig differenzierbaren Kurvenparametrisierung \( c\colon I\to\mathbb R^n? \)
3.	Geben Sie eine Parametrisierung \( c\in C^1(\mathbb R,\mathbb R^2) \) der Geraden \( y=mx+n, \) \( x\in\mathbb R, \) an.
4.	Geben Sie eine Parametrisierung \( c\in C^1([0,2\pi),\mathbb R^2) \) des Kreises vom Radius \( 1 \) mit Zentrum im Koordinatenursprung an.
5.	Was versteht man unter der Neilschen Parabel?
6.	Geben Sie eine Parametrisierung \( c\in C^1(\mathbb R,\mathbb R^2) \) der Neilschen Parabel an.
6.	Wann heißt eine Kurvenparametrisierung \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) regulär?
7.	Geben Sie ein Beispiel einer regulären Kurvenparametrisierung an.
8.	Geben Sie ein Beispiel einer nicht regulären Kurvenparametrisierung an.
9.	Was versteht man unter einer Bogenlängenparametrisierung?
10.	Wie ermittelt man die Länge einer regulären Kurve?

11.2 Flächen im Euklidischen Raum

1.	Was versteht man unter einer stetigen Flächenparametrisierung?
2.	Was versteht man unter einer stetig differenzierbaren Flächenparametrisierung?
3.	Wann heißt eine Abbildung

\[ f(x)=(f_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_m))\colon\Omega\longrightarrow\mathbb R^n \]

	in einem Punkt \( \widetilde x\in\Omega \) bez. der \( j \)-ten Koordinatenrichtung partiell differenzierbar?
4.	Wann heißt eine Abbildung \( f\colon\Omega\longrightarrow\mathbb R^n \) auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m \) partiell differenzierbar?
5.	Wie ist die Funktionalmatrix bzw. Jacobimatrix \( \partial f(x) \) definiert?
6.	Was bedeuten

\[ f\in C^0(\Omega,\mathbb R^n)\quad\text{und}\quad f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n)? \]

7.	Wann heißt eine Flächenparametrisierung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m, \) \( m\le n, \) im Punkt \( x_0\in\Omega \) regulär?
8.	Und wann heißt eine solche Flächenparametrisierung auf \( \Omega \) regulär?
9.	Was versteht man unter den Tangentialvektoren und dem Tangentialraum einer (nicht notwendig regulären) Flächenparametrisierung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n)? \)
10.	Kennen Sie eine Zusammenhang zwischen der Regularität einer Flächenparametrisierung und der Dimension des Tangentialraumes in einem Flächenpunkt? Erläutern Sie.

Kapitel 12: Partielle und vollständige Differentiation

12.1 Partielle Differenzierbarkeit

1.	Wie lautet die Kettenregel im \( \mathbb R^n? \)
2.	Formulieren Sie die Kettenregel unter Benutzung der Funktionalmatrix \( \partial f(x). \)
3.	Wie lautet der Mittelwertsatz im \( \mathbb R^n? \)
4.	Was versteht man unter der konvexen Hülle zweier Punkte \( x',x''\in\mathbb R^n?)
5.	Wie ist der Gradient \( \nabla f(x) \) einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) definiert?
6.	Formulieren Sie den Mittelwertsatz unter Benutzung des Gradienten und des Euklidischen Skalarprodukts.
7.	Wie ist die Richtungsableitung einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) im Punkt \( x\in\Omega \) in Richtung des Einheitsvektors \( v\in\mathbb R^m \) definiert?
8.	Was bedeutet: Der Gradient zeigt in Richtung des größten Anstiegs?
9.	Was bedeutet: Der Gradient steht senkrecht auf der Niveaufläche?
10.	Sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^m \) offen. Ist \( C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) eine echte Teilmenge von \( C^0(\Omega,\mathbb R^n)? \)

12.2 Vollständige Differenzierbarkeit

1.	Wann heißt eine Abbildung \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) in \( x_0\in\Omega \) vollständig differenzierbar?
2.	Impliziert vollständige Differenzierbarkeit Stetigkeit? Beweisen Sie!
3.	Impliziert vollständige Differenzierbarkeit partielle Differenzierbarkeit?
4.	Ist eine Abbildung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) vollständig differenzierbar?
5.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) ein Gebiet?
6.	Welches Kriterium haben wir kennnengelernt, nach dem \( \nabla f\equiv 0 \) die Eigenschaft \( f\equiv\mbox{const} \) impliziert?

12.3 Ableitungen höherer Ordnung

1.	Welche Schreibweisen für höhere partielle Ableitungen haben wir eingeführt?
2.	Formulieren Sie den Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen.
3.	Wie ist das vollständige Differential \( df(x_0,h) \) einer Funktion \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) definiert?
4.	Wie sind die Räume \( C^k(\Omega,\mathbb R^n) \) und \( C^\infty(\Omega,\mathbb R^n) \) definiert?
5.	Handelt es sich bei diesen Funktionenräumen und Vektorräume?
6.	Wie ist das vollständige Differential \( d^kf(x_0,h) \) einer Funktion \( f\in C^k(\Omega,\mathbb R) \) definiert?

Kapitel 13: Taylorformel und Extremwertaufgaben

13.1 Die Taylorsche Formel

1.	Es sei \( f\in C^\ell(\Omega,\mathbb R^n). \) Vervollständigen Sie nach der Taylorschen Formel (Satz 1, Abschnitt 13.1)

\[ f(x+h)=f(x)+\ldots \]

	Formulieren Sie dabei auch sämtliche weiteren Voraussetzungen.
2.	Formulieren Sie die Taylorsche Formel in der Situation

\[ f(x)=f(x_0)+\ldots \]

3.	Was versteht man unter dem Taylorpolynom \( \ell \)-ter Ordnung?
4.	Wie lautet das Restglied \( (\ell+1) \)-ter Ordnung?

13.2 Notwendige und hinreichende Bedingungen

1.	Was versteht man unter einem lokalen/globalen Minimum/Maximum bzw. Extremum?
2.	Welche notwendige Bedingung erster Ordnung für ein lokales Extremum haben wir kennengelernt?
3.	Welche notwendige Bedingung zweiter Ordnung für ein lokales Extremum haben wir kennengelernt?
4.	Welche hinreichende Bedingung zweiter Ordnung für ein lokales Extremum haben wir kennengelernt?

13.3 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen

1.	Wie lautet der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen?
2.	Geben Sie ein Beispiel, wo dieser Satz eine Anwendung findet.

13.4 Der Satz über implizite Funktionen

1.	Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?
2.	Geben Sie ein Beispiel, wo dieser Satz eine Anwendung findet.

13.5 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

1.	Welches Kriterium haben wir hier kennengelernt?
2.	Was versteht man unter einem Lagrangeparameter?
3.	Was versteht man unter der Lagrangeform?
4.	Auf welche Art von Extrema wird die Lagrangeform untersucht?
5.	Welches Beispiel haben wir in der Vorlesung diskutiert? Erläutern Sie kurz.

Teil V: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kapitel 14: Elementare Lösungsmethoden

14.1 Erste Begriffe

1.	Was versteht man unter einem Anfangswertproblem erster Ordnung?
2.	Formulieren Sie auch ein Anfangswertproblem höherer Ordnung.
3.	Welche Lösung besitzt das Anfangswertproblem

\[ y'=2y\quad\mbox{in}\ [0,1],\quad y(0)=1? \]

14.2 Beispiele aus Natur und Technik

1.	Der Auslenkungswinkel \( f(x) \) eines mathematischen Pendels genügt der Gleichung

\[ f''(x)+\frac{g}{\ell}\,\sin f(x)=0. \]

Welche Gleichung erhalten Sie, wenn Sie hierin den Sinus linearisieren? Welche Lösungen besitzt diese neue Gleichung?

14.3 Elementare Lösungsmethoden I

1.	Wie löst man Gleichungen der Form \( y'=f(x)? \)
2.	Wie löst man Gleichungen der Form \( y'=g(y)? \)
3.	Was versteht man insbesondere unter der Methode der Trennung der Variablen?
4.	Wie löst man Gleichungen der Form \( y'=f(x)g(y)? \)

14.4 Elementare Lösungsmethoden II

1.	Wie löst man Gleichungen der Form \( y'=f(ax+by+c) \) mit \( b\not=0? \)
2.	Wie löst man Gleichungen der Form \( y'=f(x^{-1}y)? \)

Kapitel 15: Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

15.1 Lineare Gleichungen erster Ordnung

1.	Wie lauten sämtliche Lösungen der linearen und homogenen Gleichung

\[ L[y]=y'+g(x)y=0\quad\mbox{in}\ I? \]

2.	Was versteht man unter der Lagrangeschen Methode der Variation der Konstanten?
3.	Was versteht man unter dem Superpositionsprinzip?
4.	Wie lauten sämtliche Lösungen des linearen und inhomogenen Anfangswertproblems

\[ L[y]=h(x)\quad\mbox{in}\ I,\quad y(\xi)=\eta? \]

15.2 Systeme von Differentialgleichungen

1.	Was versteht man unter einem System erster Ordnung?
2.	Was versteht man unter einem homogenen und linearen System erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

15.3 Gleichungen höherer Ordnung

1.	Wie löst man das Anfangswertproblem

\[ y''=f(x,y)\quad\mbox{in}\ I,\quad y(\xi)=\eta_0\,,\ y'(\xi)=\eta_1\,? \]

2.	Mit welchem Trick haben wir Gleichungen der Form

\[ y''=f(y) \]

	gelöst?
3.	Was versteht man unter dem charakteristischen Polynom \( P(\lambda) \) der homogenen, linearen Gleichung mit konstanten Koeffizienten

\[ M[y]=0\quad\mbox{in}\ I\quad\text{mit}\ M[y]:=\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}\,? \]

4.	Welche Lösungsansätze in Abhängigkeit der Nullstellen von \( P(\lambda) \) haben wir kennengelernt?

Kapitel 16: Existenz und Eindeutigkeit

16.1 Operatoren und Funktionale

1.	Was verstehen wir unter der Maximumsnorm \( \\|\cdot\\|_0 \) bzw. der gewichteten Maximumsnorm \( \\|\cdot\\|_{0,g} \) stetiger Funktionen?
2.	Wann heißt eine Folge \( \{f_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset M \) stark bzw. in der Norm konvergent gegen ein \( f\in M? \)
3.	Was verstehen wir unter einem Operator bzw. einem Funktional \( T\colon E\to F \) zwischen zwei Vektorräumen \( E \) und \( F? \)
4.	Wann heißt ein Operator \( T\colon E\to F \) linear?
5.	Wann heißt ein Operator \( T\colon E\to F \) zwischen den normierten Vektorräumen \( (E,\\|\cdot\\|_E) \) und \( (F,\\|\cdot\\|_F) \) stetig im Punkt \( f_0\in E? \)
6.	Wann genügt ein Operator \( T\colon E\to F \) zwischen den normierten Vektorräumen \( (E,\\|\cdot\\|_E) \) und \( (F,\\|\cdot\\|_F) \) einer Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstanten \( q\ge 0? \)
7.	Verifizieren Sie, dass der Integraloperator

\[ T(f):=\int\limits_a^bf(t)\,dt,\quad f\in C^0([a,b],\mathbb R), \]

zwischen den normierten Vektorräumen \( (C^0([a,b],\mathbb R),\|\cdot\|_0) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|) \) linear ist und einer Lipschitzbedingung mit \( q=(b-a) \) genügt.

16.2 Der Satz von Picard-Lindelöf

1.	Wann heißt ein Operator \( T\colon E\to F \) selbstabbildend?
2.	Wann heißt ein Operator \( T\colon E\to F \) zwischen den normierten Vektorräumen \( (E,\\|\cdot\\|_E) \) und \( (F,\\|\cdot\\|_F) \) kontrahierend bzw. eine Kontraktion?
3.	Formulieren Sie den Banachschen Fixpunktsatz.
4.	Was versteht man hierin unter einer Folge der sukzessiven Approximation?
5.	Formulieren Sie den Satz von Picard-Lindelöf.
6.	Welches Integralgleichungsproblem wird in diesem Satz gelöst?

16.3 Weiterführendes

1.	Was besagt der Existenzsatz von Peano?