Abschnitt 1.2: Der Jordaninhalt

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Ist \( \Omega\subset\mathbb R^n \) beschränkt, so wissen wir aus der Vorlesung \[ \lambda_*(\Omega)=\lambda_*(\mathring\Omega),\quad \lambda^*(\Omega)=\lambda^*(\overline{\Omega}) \] mit dem Inneren \( \mathring\Omega \) der Menge \( \Omega \) und deren topologischem Abschluss \( \overline\Omega. \)

 

Aufgabe 1

 

Es sei \( \Omega\subset\mathbb R \) beschränkt und abzählbar endlich oder abzählbar unendlich. Schließen Sie \( \mathring\Omega=\emptyset, \) und beweisen Sie damit, dass \( \Omega \) entweder nicht Jordanmessbar ist, oder dass \( \Omega \) eine Jordansche Nullmenge darstellt, d.h. \( \Omega \) ist Jordanmessbar mit \( \lambda(\Omega)=0. \)

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 2

 

Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,3,\ldots}\subset\mathbb R \) eine gegen ein \( x\in\mathbb R \) konvergente Folge. Beweisen Sie, dass dann \[ \Omega:=\{x_1\}\cup\{x_2\}\cup\{x_3\}\cup\ldots \] eine Jordansche Nullmenge darstellt und damit Jordanmessbar ist.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 3

 

Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) sei die Lipschitzstetige Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) gegeben, d.h. mit einer Konstante \( L\ge 0 \) gelte \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b]. \] Sei ferner \( N\subset[a,b] \) eine Jordansche Nullmenge, d.h. es ist \( N \) Jordanmessbar mit \( \lambda(N)=0. \) Beweisen Sie, dass dann auch \( f(N)\subset\mathbb R \) eine Jordansche Nullmenge darstellt.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 4

 

Die beschränkte Menge \( \Omega\subset\mathbb R^n \) sei Jordanmessbar. Beweisen Sie, dass dann \( \mathring\Omega \) und \( \overline{\Omega} \) Jordanmessbar sind, und dass gilt \[ \lambda(\mathring\Omega)=\lambda(\overline{\Omega})=\lambda(\Omega). \]

 

→  Lösung