Abschnitt 1.4: Lebesguemessbare Mengen

Aufgabe 1

Es seien $\Omega\subseteq\mathbb R^n$ eine beliebige Menge und $\Theta\subset\mathbb R^n$ eine Lebesguesche Nullmenge mit der charakteristischen Eigenschaft $\ell_n^*(\Theta)=0.$ Beweisen Sie $$\ell_n^*(\Omega)=\ell_n^*(\Omega\cup\Theta).$$

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Aufgabe 2

Es sei $N\subset\mathbb R^n$ eine Lebesguesche Nullmenge. Beweisen Sie, dass dann $N$ Lebesguemessbar im Caratheodoryschen Sinn ist.

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Aufgabe 3

Beweisen Sie, dass die einpunktige Menge $$\Omega:=\{x_0\}\,,\quad x_0\in\mathbb R^n\,,$$ Lebesguemessbar ist, und bestimmen Sie ihr äußeres Lebesguemaß. Benutzen Sie dabei nur die Definition vermittels Überdeckung durch offene Quader.

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Aufgabe 4

Beweisen Sie, dass die abzählbare Menge $$\Omega:=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}\subset\mathbb R^n$$ Lebesguemessbar ist, und bestimmen Sie ihr äußeres Lebesguemaß. Benutzen Sie dabei nur die Definition vermittels Überdeckung durch offene Quader. Wenden Sie schließlich Ihr Resultat auf folgende Menge an $$\Omega=[0,1]\cap\mathbb Q.$$

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