Abschnitt 4.1: Konvergenzsätze
Aufgabe 1
Auf dem kompakten Intervall \( [0,1]\subset\mathbb R \) betrachten wir die Funktionenfolge \[ f^{(0)}(x):=1,\quad f^{(k)}(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} f^{(k-1)}(x), & \quad\displaystyle\frac{1}{2^k}\lt x\le 1 \\[1ex] \displaystyle\frac{1}{2^k}\,, & \quad\displaystyle 0\le x\le\frac{1}{2^k} \end{array} \right.,\quad k=1,2,\ldots \]
| (i) | Skizzieren Sie die \( f^{(k)} \) für \( k=1,2,3. \) |
| (ii) | Die \( f^{(k)} \) konvergieren in \( [0,1] \) punktweise gegen eine Funktion |
\[ f(x):=\sum_{k=1}^\infty c_k\chi_{\Omega_k}(x),\quad x\in[0,1]. \]
| Bestimmen Sie hierfür geeignete Koeffizienten \( c_k\in\mathbb R \) sowie zugehörige halboffene, paarweise disjunkte Intervalle \( \Omega_k\subset\mathbb R. \) | |
| (iii) | Berechnen Sie das Integral |
\[ \int\limits_{[0,1]}f(x)\,d\ell_1(x) \]
| mit Hilfe des Satzes über majorisierte Konvergenz. |
→ Lösung
Aufgabe 2
Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) Lebesguemessbar. Wir betrachten die Lebesguemessbaren Funktionen \( f^{(k)}\colon\Omega\to\mathbb R, \) \( k=1,2,\ldots, \) für welche eine Lebesgueintegrierbare Funktion \( g\colon\Omega\to\mathbb R \) existiere mit \[ \left|\,\sum_{k=1}^Nf^{(k)}(x)\right|\le g(x)\quad\mbox{für fast alle}\ x\in\Omega\ \mbox{und alle}\ k=1,2,\ldots \] Ferner sei \[ f(x):=\sum_{k=1}^\infty f^{(k)}(x),\quad x\in\Omega, \] Lebesguemessbar in \( \Omega. \) Zeigen Sie, dass dann \( f \) Lebesgueintegrierbar in \( \Omega \) ist, und dass gilt \[ \int\limits_\Omega f(x)\,d\ell_n(x)=\sum_{k=1}^\infty\int\limits_\Omega f^{(k)}(x)\,d\ell_n(x). \] Wenden Sie hierzu den Satz über majorisierte Konvergenz auf folgende Partialsummen an \[ p^{(N)}(x):=\sum_{k=1}^Nf^{(k)}(x),\quad N=1,2,\ldots \]
→ Lösung
Aufgabe 3
Auf dem kompakten Intervall \( [0,1]\subset\mathbb R \) betrachten wir die Funktionenfolge \[ f^{(k)}(x):=\frac{kx}{1+k^2x^2}\,,\quad k=1,2,\ldots \]
| (i) | Skizzieren Sie \( f^{(k)} \) für \( k=1,2,3. \) |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ 0\le f^{(k)}(x)\le\frac{1}{2}\quad\mbox{für alle}\ x\in[0,1]\ \mbox{und alle}\ k=1,2,\ldots \]
| (iii) | Verifizieren Sie |
\[ \lim_{k\to\infty}f^{(k)}(x)=0,\quad x\in[0,1]. \]
| (iv) | Folgern Sie mit Hilfe des Satzes über beschränkte Konvergenz |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_{[0,1]}f^{(k)}(x)\,d\ell_1(x)=0. \]
→ Lösung
Aufgabe 4
Auf dem kompakten Intervall \( [0,2]\subset\mathbb R \) betrachten wir noch einmal die Funktionenfolge \[ f^{(k)}(x):=\frac{kx}{1+k^2x^2}\,,\quad k=1,2,\ldots \]
| (i) | Skizzieren Sie \( f^{(k)} \) für \( k=1,2,3. \) |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ 0\le f^{(k)}(x) \le\left\{\begin{array}{cl} 1, & x\in[0,1] \\[0.6ex] \displaystyle\frac{1}{x}\,, & x\in[1,2] \end{array}\right. \]
| (iii) | Verifizieren Sie |
\[ \lim_{k\to\infty}f^{(k)}(x)=0,\quad x\in[0,2]. \]
| (iv) | Ermitteln Sie mit Hilfe des Satzes über majorisierte Konvergenz |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_{[0,2]}f^{(k)}(x)\,d\ell_1(x). \]
| Finden Sie dazu eine geeignete Majorante \( g, \) und wenden Sie ggf. den Satz über die Lebesgueintegrierbarkeit Riemannintegrierbarer Funktionen an. |
→ Lösung