Wiederholungsfragen

Kapitel 1: Das Lebesguesche Maß

1.1 Das Maßproblem

1.	Was versteht man unter der charakteristischen Funktion einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n? \)
2.	Wie lautet die Dirichletsche Sprungfunktion?
3.	Erläutern Sie mit eigenen Worten das Maßproblem.

1.2 Der Jordaninhalt

1.	Wie berechnet sich der elementargeometrische Inhalt eines kompakten Quaders im \( \mathbb R^n? \)
2.	Definieren Sie den inneren Jordaninhalt einer beschränkten Menge \( \Omega\subset\mathbb R^n. \)
3.	Definieren Sie den äußeren Jordaninhalt einer beschränkten Menge \( \Omega\subset\mathbb R^n. \)
4.	Wann heißt eine beschränkte Menge \( \Omega\subset\mathbb R^n \) Jordanmessbar?
5.	Ist die leere Menge \( \emptyset \) Jordanmessbar? Welchen Jordaninhalt besitzt sie nach Vereinbarung?
6.	Beweisen Sie: Ist \( \Omega\subset\mathbb R^n \) beschränkt und erfüllt \( \lambda^*(\Omega)=0, \) so ist \( \Omega \) Jordanmessbar.
7.	Beweisen Sie: Ein isolierter Punkt \( \{x\}\subset\mathbb R^n \) stellt eine Jordansche Nullmenge dar, d.h. er ist Jordanmessbar mit Jordaninhalt \( \lambda(\{x\})=0. \)
8.	Was versteht man unter der Subadditivität des Jordaninhalts?
9.	Verifizieren Sie die Subadditivität des Jordaninhalts anhand eines eigenen Beispiels.

1.3 Das Lebesguemaß

1.	Wie ist das äußere Lebesguemaß \( \ell_n^*(\Omega) \) einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) definiert?
2.	Wie hängen das äußere Lebesguemaß und der innere bzw. äußere Jordaninhalt einer beschränkten Menge \( \Omega\subset\mathbb R^n \) zusammen?
3.	Was versteht man unter der Subadditivität des äußeren Lebesguemaßes?

1.4 Lebesguemessbare Mengen

1.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) Lebesguemessbar nach Caratheodory?
2.	Welche alternative Charakterisierung des Lebesguemessbarkeit von Mengen nach C.A. Rogers kennen Sie?
3.	Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^n \) beschränkt und Jordanmessbar. Was können Sie über die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega \) aussagen? Wie berechnet sich \( \ell_n^*(\Omega)? \)

1.5 Sigma-Algebren

1.	Wann versteht man unter einer \( \sigma \)-Algebra?
2.	Was versteht man unter der kleinsten \( \sigma \)-Algebra auf \( \mathbb R^n? \) Begründen Sie, dass es sich tatsächlich um eine \( \sigma \)-Algebra handelt.
3.	Was versteht man unter der größten \( \sigma \)-Algebra auf \( \mathbb R^n? \) Begründen Sie, dass es sich tatsächlich um eine \( \sigma \)-Algebra handelt.
4.	Geben Sie ein weiteres Beispiel einer \( \sigma \)-Algebra an.
5.	Bildet das System aller nach Caratheodory Lebesguemessbaren Mengen \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine \( \sigma \)-Algebra?
6.	Welche wichtige Eigenschaft besitzt das äußere Lebesguemaß auf diesem System?
7.	Sind offene Mengen \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) Lebesguemessbar?
8.	Sind abgeschlossene Mengen \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) Lebesguemessbar?
9.	Was versteht man unter der Borelschen \( \sigma \)-Algebra?
10.	Wann heißt eine Menge eine Borelmenge?
11.	Sind Borelmengen Lebesguemessbar?

1.6 Approximation Lebesguemessbarer Mengen

1.	Wie lautet der Satz über die Approximation Lebesguemessbarer Mengen von innen bzw. von außen?

Kapitel 2: Lebesguemessbare Funktionen

2.1 Einführung Lebesguemessbarer Funktionen

1.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) Lebesguemessbar?
2.	Welche Formulierungen sind zu dieser Messbarkeitsdefinition äquivalent?
3.	Sind stetige Funktionen Lebesguemessbar? Geben Sie eine Beweisidee.
4.	Sind Riemannintegrierbare Funktionen Lebesguemessbar?
5.	Welche elementaren Rechenregeln im erweiterten Zahlenraum \( \overline{\mathbb R} \) haben wir kennengelernt?
6.	Es seien \( f \) und \( g \) Lebesguemessbar. Welche hieraus gebildeten Funktionen sind dann ebenfalls Lebesguemessbar?
7.	Ist der punktweise Grenzwert einer Folge Lebesguemessbarer Funktionen wieder Lebesguemessbar?
8.	Wie lässt sich mit der Eigenschaft aus der vorigen Frage die Lebesguemessbarkeit der Dirichletschen Sprungfunktion beweisen?

2.2 Approximation Lebesguemessbarer Funktionen

1.	Was versteht man unter einer einfachen Funktion?
2.	Geben Sie ein Beispiel einer einfachen Funktion.
3.	Ist die Dirichletsche Sprungfunktion eine einfache Funktion?
4.	Wie lautet der Satz über die Approximation einer Lebesguemessbaren Funktion durch einfache Funktionen?

Kapitel 3: Das Lebesguesche Integral

3.1 Historische Einführung

1.	Erläutern Sie mit eigenen Worten Lebesgues Zugang zum Integral vermittels Unterteilung der Ordinatenmenge.
2.	Erläutern Sie mit eigenen Worten Youngs Zugang zum Integral nach dem Vorbild von Riemann-Darboux.

3.2 Ein dritter Zugang zum Lebesgueintegral

1.	Erläutern Sie in eigenen Worten die drei Schritte unseres dritten Zugangs zum Lebesgueintegral.

3.3 Eigenschaften des Lebesgueintegrals

1.	Wie lautet der Satz von der monotonen Konvergenz?
2.	Was versteht man unter der Linearität des Lebesgueintegrals?
3.	Was versteht man unter der Nichtnegativität des Lebesgueintegrals?
4.	Was versteht man unter der Normiertheit des Lebesgueintegrals?
5.	Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lebesgueintegrierbarkeit von \( f \) und der von \( \|f\|? \)
6.	Wie lautet die Dreiecksungleichung für das Lebesgueintegral?

3.4 Die Tschebyschevsche Ungleichung

1.	Wie lautet die Tschebyschevsche Ungleichung?
2.	Wie lautet unser Satz über fast überall verschwindende Integranden?
3.	Wie lautet unser Satz über die Endlichkeit fast überall Lebesgueintegrierbarer Funktionen?

Kapitel 4: Sätze über Lebesgueintegrierbare Funktionen

4.1 Konvergenzsätze

1.	Wie lautet der Satz über majorisierte Konvergenz?
2.	Wie lautet der Satz über beschränkte Konvergenz?
3.	Leiten Sie den Satz über beschränkte Konvergenz aus dem Satz über majorisierte Konvergenz her.
4.	Wie lautet das Lebesguesche Kriterium zur Riemannintegrierbarkeit?
5.	Sind beschränkte und Riemannintegrierbare Funktionen \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) Lebesgueintegrierbar?

4.2 Die Sätze von Fubini und Cavalieri

1.	Was verstehen wir unter einer iteriert integrierbaren Funktion?
2.	Formulieren Sie das Prinzip des Cavalieri.
3.	Wie lautet der Satz von Fubini?
4.	Wie berechnet sich der von einer nichtnegativen, stetigen Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) und der \( x \)-Achse eingeschlossene Inhalt?
5.	Was versteht man unter einem Normalbereich bez. der \( y \)-Achse?
6.	Geben Sie ein Beispiel eines solchen Normalbereiches.
7.	Wie berechnet sich der Flächeninhalt eines Normalbereiches bez. der \( y \)-Achse?

4.3 Die Transformationsformel

1.	Wie berechnet sich die Länge der durch die bijektive Abbildung \( \Phi\in C^1([a,b],\mathbb R^m) \) erzeugten Kurve im \( \mathbb R^m? \)
2.	Wie berechnet sich der Flächeninhalt des von der bijektiven Abbildung \( \Phi(x,y)=(x,y,u(x,y))\in C^1(\Omega,\mathbb R^3 \) erzeugten zweidimensionalen Flächengraphen im \( \mathbb R^3? \)
3.	Wie lautet die Transformationsformel?
4.	Ermitteln Sie im Detail den Inhalt der Kreisscheibe \( B_R \) mit Radius \( R\gt 0. \)

Kapitel 5: Das Hausdorffsche Maß

5.1 Das Hausdorffmaß

1.	Was versteht man unter einer \( \delta \)-Überdeckung einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n? \)
2.	Wie ist das \( \delta \)-approximative, \( s \)-dimensionale Hausdorffmaß einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) definiert?
3.	Erläutern Sie mit eigenen Worten den Begriff der Hausdorffdimension.

5.2 Fraktale Mengen

1.	Erläutern Sie den Aufbau der Cantorschen Mittel-Drittel-Menge.
2.	Welche Dimension besitzt die Cantorsche Mittel-Drittel-Menge?

Kapitel 6: Potentialtheorie

6.1 Klassische Differentialoperatoren

1.	Was versteht man unter einem Vektorfeld?
2.	Nennen Sie zwei physikalisch wichtige Beispiele von Vektorfeldern.
3.	Wie ist die Divergenz einer Abbildung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) im Punkt \( x_0\in\Omega, \) \( \Omega\subseteq\mathbb R^n, \) definiert?
4.	Wann heißt ein Punkt \( x_0\in\Omega \) eine Senke, wann eine Quelle?
5.	Wie ist der Gradient einer Abbildung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) im Punkt \( x_0\in\Omega, \) \( \Omega\subseteq\mathbb R^n, \) definiert?
6.	Wie ist die Rotation einer Abbildung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^3) \) im Punkt \( x_0\in\Omega, \) \( \Omega\subseteq\mathbb R^3, \) definiert?
7.	Wann heißt ein Vektorfeld wirbelfrei?
8.	Wann heißt eine differenzierbare Abbildung \( \varphi\colon\Omega\subseteq\mathbb R\to\mathbb R \) ein Potential einer Abbildung \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n? \)
9.	Wann heißt eine Abbildung \( f\colon\Omega\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^n \) ein Gradientenfeld?
10.	Wie ist der Laplaceoperator einer Abbildung \( f\in C^2(\Omega,\mathbb R), \) \( \Omega\subseteq\mathbb R^n, \) definiert?
11.	Wann heißt eine Abbildung \( f\in C^2(\Omega,\mathbb R), \) \( \Omega\subseteq\mathbb R^n, \) harmonisch in \( \Omega? \)

6.2 Zusammenhang und Wegzusammenhang

1.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) zusammenhängend?
2.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) wegzusammenhängend?
3.	Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) offen und nichtleer. In welcher Beziehung stehen Zusammenhang und Wegzusammenhang für eine solche Menge?
4.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) ein Gebiet?
5.	Wann heißt ein Gebiet \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) sternförmig?
6.	Wie lauten die Integrierbarkeitsbedingungen als notwendige Bedingung für die Existenz eines stetig differenzierbaren Gradientenfeldes?
7.	Welches Kriterium als hinreichende Bedingung für die Existenz eines stetig differenzierbaren Gradientenfeldes haben wir kennengelernt?
8.	Wie sah in diesem Fall das Potential aus, und woran macht sich die geforderte Eigenschaft an das Gebiet \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) deutlich?

6.3 Kurvenintegrale

1.	Was verstehen wir unter einer (stückweise) regulären Kurvenparametrisierung bzw. Kurve?
2.	Was verstehen wir unter einem Kurvenintegral?
3.	Wie definiert man die Summe und das Inverse solcher Kurven bzw. Kurvenparametrisierungen?
4.	Wie integriert man über die Summe bzw. über das Inverse solcher Kurven?
5.	Beweisen Sie, dass das Kurvenintegral einer Abbildung, welche ein Potential besitzt, gleich der Potentialdifferenz an den Endpunkten ist.
6.	Wann heißt eine Abbildung wegunabhängig?
7.	Welchen Zusammenhang zwischen Wegunabhängigkeit einer Abbildung und der Existenz eines Potentials haben wir kennengelernt?

Kapitel 7: Integralsätze

7.1 Der Gaußsche Satz in der Ebene

1.	Was verstehen wir unter einem Normalbereich \( {\mathcal N}_x \) bez. der \( x \)-Achse? \)
2.	Geben Sie ein Beispiel eines solchen Normalbereiches.
3.	Was verstehen wir unter einem Normalbereich?
4.	Geben Sie ein Beispiel eines Normalbereiches.
5.	Wie lautet der Gaußsche Integralsatz in der Ebene (erster Satz in diesem Abschnitt; nur die Integralidentität)?
6.	Wie lautet der Gaußsche Divergenzsatz in der Ebene (zweiter Satz in diesem Abschnitt; nur die Integralidentität mit Bezeichnungen)?