2. Das Zahlensystem
Sie kennen die folgenden Zahlenbereiche:
| • | die natürlichen Zahlen | ||
| \( \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) bzw. \( \mathbb N_0=\{0,1,2,3,\ldots\} \) | |||
| • | die ganzen Zahlen | ||
| \( \mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} \) | |||
| • | die rationalen Zahlen | ||
| \( \mathbb Q \) als Vereinigung von \( \mathbb N, \) \( \mathbb Z \) und \( -\frac{3}{2}, \) \( \frac{1}{4}, \) \( \frac{171}{23} \) usw. | |||
| • | die reellen Zahlen | ||
| \( \mathbb R \) als Vereinigung von \( \mathbb Q \) und allen irrationalen Zahlen |
Kreiszahl \( \pi=3.14159\ldots, \) nach G.W. Leibniz gegeben durch die Reihe \[ \frac{\pi}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots \] Eulersche Zahl \( e=2.71828\ldots, \) von L. Euler definiert durch die Reihe \[ e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\ldots \] Mit der komplexen Einheit \( i \) gilt die von L. Euler gefundene Identität \[ e^{i\pi}=-1. \]
2.2.1 Regeln der Addition und Multiplikation
Reelle Zahlen können wir addieren und multiplizieren. Dazu dienen uns die folgenden Regeln.
Regeln der Addition
| (A1) | Kommutativgesetz der Addition | |
| \( x+y=y+x \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) | ||
| (A2) | Assoziativgesetz der Addition | |
| \( (x+y)+z=x+(y+z) \) für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) | ||
| (A3) | Neutrales Element der Addition | |
| Es gibt genau ein Element \( 0\in\mathbb R \) mit \( x+0=x \) für alle \( x\in\mathbb R \) | ||
| (A4) | Neutrales Element der Addition | |
| Zu jedem \( x\in\mathbb R \) gibt es genau ein \( -x\in\mathbb R \) mit \( x+(-x)=0 \) |
Regeln der Multiplikation
| (M1) | Kommutativgesetz der Multiplikation | |
| \( x\cdot y=y\cdot x \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) | ||
| (M2) | Assoziativgesetz der Multiplikation | |
| \( (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) \) für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) | ||
| (M3) | Neutrales Element der Multiplikation | |
| Es gibt genau ein Element \( 1\in\mathbb R\setminus\{0\} \) mit \( x\cdot 1=x \) für alle \( x\in\mathbb R \) | ||
| (M4) | Neutrales Element der Multiplikation | |
| Zu jedem \( x\in\mathbb R\setminus\{0\} \) gibt es genau ein \( x^{-1}\in\mathbb R \) mit \( x\cdot x^{-1}=1 \) |
Distributivgesetz
| (D) | \( x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) |
Auf \( \mathbb R \) existiert neben der Gleichheitsrelation \( = \) auch eine Anordnungsrelation \( \lt. \) Es gilt folgendes Trichotomiegesetz: \[ \mbox{entweder}\quad x=y\quad\mbox{oder}\quad x\lt y\quad\mbox{oder}\quad y\lt x. \]
Regeln der Anordnung
| (O1) | Transititvität der Anordnung | |
| \( x\lt y \) und \( y\lt z \) impliziert \( x\lt z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) | ||
| (A2) | Verträglichkeit mit der Addition | |
| \( x\lt y \) impliziert \( x+z\lt y+z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) | ||
| (A3) | Verträglichkeit mit der Multiplikation | |
| \( x\lt y \) und \( z\gt 0 \) implizieren \( x\cdot z\lt y\cdot z \) für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) |
Wir schreiben \( x\le y, \) falls \( x\lt y \) oder \( x=y. \) Entsprechend verstehen wir \( \gt \) und \( \ge. \)