Das Zahlensystem

2. Das Zahlensystem

2.1 Die reellen Zahlen

2.1.1 Überblick

Sie kennen die folgenden Zahlenbereiche:

	•		die natürlichen Zahlen
			$\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ bzw. $\mathbb N_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$
	•		die ganzen Zahlen
			$\mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$
	•		die rationalen Zahlen
			$\mathbb Q$ als Vereinigung von $\mathbb N,$ $\mathbb Z$ und $-\frac{3}{2},$ $\frac{1}{4},$ $\frac{171}{23}$ usw.
	•		die reellen Zahlen
			$\mathbb R$ als Vereinigung von $\mathbb Q$ und allen irrationalen Zahlen

2.1.2 Wichtige Zahlen

Kreiszahl $\pi=3.14159\ldots,$ nach G.W. Leibniz gegeben durch die Reihe $\frac{\pi}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots$ Eulersche Zahl $e=2.71828\ldots,$ von L. Euler definiert durch die Reihe $e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\ldots$ Mit der komplexen Einheit $i$ gilt die von L. Euler gefundene Identität $e^{i\pi}=-1.$

2.2 Allgemeine Rechenregeln

2.2.1 Regeln der Addition und Multiplikation

Reelle Zahlen können wir addieren und multiplizieren. Dazu dienen uns die folgenden Regeln.

Regeln der Addition

(A1)		Kommutativgesetz der Addition
		$x+y=y+x$ für alle $x,y\in\mathbb R$
(A2)		Assoziativgesetz der Addition
		$(x+y)+z=x+(y+z)$ für alle $x,y,z\in\mathbb R$
(A3)		Neutrales Element der Addition
		Es gibt genau ein Element $0\in\mathbb R$ mit $x+0=x$ für alle $x\in\mathbb R$
(A4)		Neutrales Element der Addition
		Zu jedem $x\in\mathbb R$ gibt es genau ein $-x\in\mathbb R$ mit $x+(-x)=0$

Regeln der Multiplikation

(M1)		Kommutativgesetz der Multiplikation
		$x\cdot y=y\cdot x$ für alle $x,y\in\mathbb R$
(M2)		Assoziativgesetz der Multiplikation
		$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ für alle $x,y,z\in\mathbb R$
(M3)		Neutrales Element der Multiplikation
		Es gibt genau ein Element $1\in\mathbb R\setminus\{0\}$ mit $x\cdot 1=x$ für alle $x\in\mathbb R$
(M4)		Neutrales Element der Multiplikation
		Zu jedem $x\in\mathbb R\setminus\{0\}$ gibt es genau ein $x^{-1}\in\mathbb R$ mit $x\cdot x^{-1}=1$

Distributivgesetz

(D)

$x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ für alle

$x,y,z\in\mathbb R$

2.2.2 Regeln der Anordnung

Auf $\mathbb R$ existiert neben der Gleichheitsrelation $=$ auch eine Anordnungsrelation $\lt.$ Es gilt folgendes Trichotomiegesetz: $\mbox{entweder}\quad x=y\quad\mbox{oder}\quad x\lt y\quad\mbox{oder}\quad y\lt x.$

Regeln der Anordnung

(O1)		Transititvität der Anordnung
		$x\lt y$ und $y\lt z$ impliziert $x\lt z$ für alle $x,y,z\in\mathbb R$
(A2)		Verträglichkeit mit der Addition
		$x\lt y$ impliziert $x+z\lt y+z$ für alle $x,y,z\in\mathbb R$
(A3)		Verträglichkeit mit der Multiplikation
		$x\lt y$ und $z\gt 0$ implizieren $x\cdot z\lt y\cdot z$ für alle $x,y,z\in\mathbb R$

Wir schreiben $x\le y,$ falls $x\lt y$ oder $x=y.$ Entsprechend verstehen wir $\gt$ und $\ge.$

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