5. Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

5.1 Lineare Gleichungen

5.2 Lineare Gleichungssysteme

5.3 Aufgaben

5.1 Lineare Gleichungen

5.1.1 Gleichungen mit einer Unbekannten

Hierbei handelt es sich um Gleichungen der Art \[ ax+b=0 \] mit gegebenen \( a,b\in\mathbb R, \) wobei \( a\not=0. \) Die Unbekannte \( x \) ergibt sich nach Umstellen zu \[ x_0=-\frac{b}{a}\,. \] Geometrisch lässt sich dieses \( x_0 \) deuten als die Abzisse des Punktes, in dem die Gerade \[ y=ax+b,\quad x\in\mathbb R, \] die \( x \)-Achse schneidet, für die zugehörige Ordinate also gilt \( y_0=0. \)

Bemerkung: Diese Gerade liegt parallel zur \( x \)-Achse und schneidet diese nicht, wenn \( a=0 \) und \( b\not=0, \) was wir aber ausgeschlossen haben. Im Fall \( a=b=0 \) stimmt diese Gerade mit der \( x \)-Achse überein.

Beispiel: Die Gleichung \( 4x+5=0 \) besitzt die eindeutige Lösung \[ x_0=-\frac{5}{4}\,. \]

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5.1.2 Gleichungen mit zwei Unbekannten

Jetzt betrachten wir Gleichungen der Form \[ ax+by+c=0 \] mit gegebenen \( a,b,c\in\mathbb R, \) wobei \( a\not=0 \) und \( b\not=0. \) Wir stellen nach \( y \) um und erhalten \[ y=-\frac{1}{b}\,(ax+c),\quad x\in\mathbb R. \] Es existieren also unendlich viele Lösungen \( (x,y)\in\mathbb R^2 \) der ursprünglichen Gleichung, nämlich \[ \left(x,-\,\frac{1}{b}\,(ax+bc)\right),\quad x\in\mathbb R. \] Geometrisch handelt es sich um eine Gerade in der \( [x,y] \)-Ebene, und zwar um diejenige Gerade, in welcher die im dreidimensionalen Raum \( \mathbb R^3 \) gelegene Ebene \[ z=ax+by+c,\quad x,y\in\mathbb R, \] die \( [x,y] \)-Ebene schneidet, so dass also gilt \( z=0. \)

Bemerkung: Diese Ebene liegt parallel zur \( [x,y] \)-Ebene und schneidet diese nicht, wenn \( a=0, \) \( b=0 \) und \( c\not=0, \) was wir aber ausgeschlossen haben. Im Fall \( a=b=c=0 \) stimmt diese Ebene mit der \( [x,y] \)-Ebene überein.

Beispiel: Die Menge aller Punkte \( (x,y)\in\mathbb R, \) die die Gleichung \( x-2y+5=0 \) lösen, stellen eine Gerade in der \( [x,y] \)-Ebene dar gemäß \[ y=\frac{1}{2}\,(x+5),\quad x\in\mathbb R. \]

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5.2 Lineare Gleichungssysteme

5.2.1 Systeme mit zwei Unbekannten

Solche Gleichungssysteme haben die Gestalt \[ \begin{array}{l} a_{11}x+a_{12}y=b_1\,, \\ a_{21}x+a_{22}y=b_2 \end{array} \] mit gegebenen \( a_{11},\ldots,a_{22},b_1,b_2\in\mathbb R, \) wobei \( a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0. \) Zur Lösung multiplizieren wir zunächst die erste Gleichung mit \( a_{22} \) und die zweite Gleichung mit \( a_{12} \) und erhalten \[ \begin{array}{l} a_{11}a_{22}x+a_{12}a_{22}y=a_{22}b_1\,, \\ a_{12}a_{21}x+a_{12}a_{22}y=a_{12}b_2\,. \end{array} \] Im zweiten Schritt subtrahieren wir die resultierenden Gleichungen voneinander \[ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x=a_{22}b_1-a_{12}b_2 \] und stellen nach \( x \) um \[ x_0=\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\,,\quad\mbox{falls}\ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0. \] Eine analoge Rechnung liefert \[ y_0=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\,,\quad\mbox{falls}\ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0. \]

Zusammenfassung: Im Fall \[ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0 \] besitzt das ursprüngliche lineare Gleichungssystem die angegebene eindeutige Lösung \( (x_0,y_0)\in\mathbb R^2. \) Deuten wir beide Gleichungen des Systems als Geradengleichungen, so bedeutet \( (x_0,y_0) \) der eindeutige Schnittpunkt der zugehörigen Geraden in der \( [x,y] \)-Ebene.

Bemerkung: Die Voraussetzung \( a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0 \) schließt die Fälle aus, wenn diese Geraden parallel und gleich bzw. parallel und verschieden sind, denn dann existieren unendlich viele Lösungen bzw. gar keine Lösung.

Beispiele: Das Gleichungssystem \[ x-y=1,\quad x+2y=3 \] besitzt die eindeutige Lösung \[ x_0=\frac{5}{3}\,,\quad y_0=\frac{2}{3}\,. \] Hingegen besitzt \[ x+2y=1,\quad x+2y=2 \] keine Lösung, denn die zu den beiden Gleichungen gehörigen Geraden sind verschieden und parallel.

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5.2.2 Parametrische Darstellung von Geraden

Diesen letzten Punkt kann man anschaulicher machen, wenn man die Geradengleichungen in parametrische Form überführt. Sei dazu \[ ax+by=c \] mit \( a,b,c\in\mathbb R \) und \( b\not=0 \) eine Geradengleichung. Die Gerade selbst ist eindeutig bestimmt durch zwei auf ihre liegende, verschiedene Punkte, z.B. \[ P=\left(0,\frac{c}{b}\right) \quad\mbox{und}\quad Q=\left(1,\frac{1}{b}\,(c-a)\right) \] für die Wahlen \( x=0 \) und \( x=1. \) Wir wählen \( P \) als Aufpunkt. Der in diesem Punkt aufsitzende Richtungsvektor der Geraden bestimmt sich dann zu \[ V:=Q-P=\left(1,\frac{1}{b}\,(c-a)\right)-\left(0,\frac{c}{b}\right)=\left(1,\frac{a}{b}\right). \] Jede andere Gerade mit demselben Richtungsvektor \( Q-P \) ist parallel zu der durch \( ax+by=0 \) bestimmten Ausgangsgeraden.

Beispiel: Die Geraden \( g\,:\,x+2y=1 \) und \( h\,:\,x+2y=2 \) besitzen die parametrischen Darstellungen \[ \begin{array}{l} \displaystyle g\,:\,(x,y)=\left(0,\frac{1}{2}\right)+t\left(1,-\,\frac{1}{2}\right), \\[1ex] \displaystyle h\,:\,(x,y)=\left(0,1\right)+t\left(1,-\,\frac{1}{2}\right), \end{array} \] jeweils für \( t\in\mathbb R. \) Die Richtungsvektoren beider Geraden stimmen überein, d.h. sie sind parallel. Da aber \( (0,1)\not\in g, \) denn \( x+2y=1 \) ist nicht erfüllt für \( x=0 \) und \( y=1, \) sind die Geraden nicht gleich.

Aufgaben zu diesem Abschnitt

5.3 Aufgaben

Aufgaben - Gleichungen mit einer Unbekannten

Aufgabe 5.1.1: (Bestimmen der Unbekannten)

Bestimmen Sie die Unbekannte \( x. \)

Aufgaben - Gleichungen mit zwei Unbekannten

Aufgabe 5.1.2: (Bestimmen der Lösungsmenge)

Bestimmen Sie die Menge aller Lösungen \( (x,y)\in\mathbb R^2 \) folgender Gleichungen.

Geben Sie dabei die Lösungen in Termen von \( x \) an.

Aufgaben - Systeme mit zwei Unbekannten

Aufgabe 5.2.1: (Lösen linearer Gleichungssysteme)

Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.

Deuten Sie Ihre Resultate geometrisch.

Aufgabe 5.2.2: (Lösen linearer Gleichungssysteme)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Parameter \( \alpha,\beta\in\mathbb R \) sämtliche Lösungen des linearen Gleichungssystems \[ x-y=\alpha,\quad \alpha x+y=\beta. \]

Aufgaben - Parametrische Darstellung von Geraden

Aufgabe 5.2.3: (Bestimmen der Parameterform)

Bestimmen Sie die parametrischen Darstellungen folgender Geradengleichungen.

Sind die beiden Geraden aus (i) und (ii) parallel? Begründen Sie.