3. Rechnen mit Zahlen
Aus den allgemeinen Rechenregeln lassen sich nun eine Vielzahl weiterer Regeln ableiten, beispielsweise die folgenden Auflösungsregeln:
| • | \( -(-x)=x,\quad (-x)+(-y)=-(x+y) \) | |
| • | \( x\cdot 0=0,\quad x\cdot(-y)=-(x\cdot y),\quad(-x)\cdot(-y)=x\cdot y \) | |
| • | \( x\cdot(y-z)=x\cdot y-x\cdot z \) |
für alle \( x,y,z\in\mathbb R \)
Nach obigen Regeln schließen wir
| • | \( -(-5)=5,\quad(-5)+(-3)=-(5+3)=-8 \) | |
| • | \( 3\cdot 0=0,\quad 3\cdot(-13)=-39,\quad (-4)\cdot(-8)=32 \) | |
| • | \( 3\cdot(4-7)=3\cdot 4-3\cdot 7=12-21=-9 \) |
oder auf (achten Sie auf die vorrangige Auswertung des Klammerausdrucks) \[ 2-3\cdot(3+5)=2-3\cdot 8=2-24=-22. \] Die Terme \( x, \) \( y \) und \( z \) in obigen Auflösungsregeln können auch für zusammengesetzte Terme stehen, z.B. im Fall der dritten Regel mit \( x=3+5, \) \( y=17 \) und \( z=3+4 \) \[ (3+5)\cdot(17-(3+4))=8\cdot(17-7)=8\cdot 10=80. \]
Rationale Zahlen können als Brüche dargestellt werden. Zum Rechnen mit Brüchen wiederholen wir:
| • | \( \displaystyle\frac{x}{y}+\frac{u}{v}=\frac{xv+uy}{yv},\quad \) falls \( y,v\not=0 \) | |
| • | \( \displaystyle\frac{x}{y}\cdot\frac{u}{v}=\frac{xu}{yv},\quad \) falls \( y,v\not=0 \) | |
| • | \( \displaystyle\frac{\frac{x}{y}}{\frac{u}{v}}=\frac{xv}{yu},\quad \) falls \( y,u,v\not=0 \) |
Es gilt auch die Kürzungsregel \[ \frac{x\cdot u}{y\cdot u}=\frac{x}{y}\,,\quad\mbox{falls}\ y,u\not=0. \]
3.2.2 Eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind
Wir beginnen mit \[ 1+\frac{1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2} \] und erweitern diese Summe zu \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}\,. \] Das multiplizieren wir im nächsten Schritt mit \[ \frac{1}{4}+\frac{1}{28}=\frac{7}{28}+\frac{1}{28}=\frac{8}{28}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7} \] und erhalten \[ \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{28}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) =\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{4} =\frac{14}{28} =\frac{7}{14}\,. \] Diese Aufgabe finden wir - in damaliger Notation - im Papyrus Rhind, etwa 1550 v.Chr.
Es seien abkürzend \( x^2:=x\cdot x, \) \( x^3:=x\cdot x\cdot x \) für \( x\in\mathbb R \) gesetzt. Für beliebige \( a,b\in\mathbb R \) folgen \[ \begin{array}{l} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,, \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,, \\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\,. \end{array} \] Das sind die klassischen binomischen Formeln. Mit etwas mehr Geduld ermitteln wir darüberhinaus \[ \begin{array}{l} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,, \\ (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\,, \\ (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\qquad\mbox{usw.} \end{array} \] Wie sehen aber die allgemeinen Potenzen \( (a+b)^n \) aus? Dazu benötigen wir den binomischen Lehrsatz, auf den wir später zu sprechen kommen.
Zur Formulierung des binomischen Lehrsatzes benötigen wir die Fakultät und den Binomialkoeffizienten. Wir beginnen mit der
Definition: Die Fakultät einer natürlichen Zahl \( n\in\mathbb N \) lautet \[ n!:=\prod_{k=1}^nk\quad\mbox{mit}\ \prod_{k=1}^nk:=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n. \] Für die Zahl \( n=0 \) setzen wir \( 0!:=1. \)
Es sind also \[ \begin{array}{l} 0!=1 \\ 1!=1 \\ 2!=1\cdot 2=2 \\ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 \\ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24 \\ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\qquad\mbox{usw.} \end{array} \] Offenbar lässt sich die Fakultät rekursiv berechnen \[ n!:=\left\{\begin{array}{cl} 1 & \mbox{für}\ n=0 \\ n\cdot(n-1)! & \mbox{für}\ n\gt 0 \end{array}\right. \]
Wir schließen an den vorigen Paragraphen an.
Definition: Es seien \( k,n\in\mathbb N_0 \) mit \( k\le n. \) Dann definieren wir den Binomialkoeffizienten \[ \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,. \]
Beispielsweise sind also \[ \begin{array}{l} \displaystyle \binom{0}{0}=\frac{0!}{0!(0-0)!}=\frac{1}{1\cdot 1}=1 \\[1ex] \displaystyle \binom{1}{0}=\frac{1!}{0!(1-0)!}=\frac{1}{1\cdot 1}=1 \\[1ex] \displaystyle \binom{3}{1}=\frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{6}{1\cdot 2}=3\qquad\mbox{usw.} \end{array} \]
Satz: Es gilt \[ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\quad\mbox{für alle}\ k,n\in\mathbb N_0\ \mbox{mit}\ k\le n. \]
Beweis: Es ist nämlich \[ \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n!}{(n-k)!k!} =\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} =\binom{n}{n-k}\,, \] was zu zeigen war.\( \qquad\Box \)
Als Übung belassen wir einen Beweis von
Satz: Es gilt \[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\quad\mbox{für alle}\ k,n\in\mathbb N\ \mbox{mit}\ 1\le k\le n-1,\ n\ge 2. \]
Wir können nun den binomischen Lehrsatz formulieren.
Satz: Sind \( a,b\in\mathbb R \) und \( n\in\mathbb N, \) so gilt \[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\,. \]
Einen Beweis dieses Satz werden Sie in Ihren Mathematikvorlesungen erarbeiten.
Aufgaben - Beispielaufgaben
Aufgabe 3.1.1: (Anwenden der Regeln)
Berechnen Sie:
| (i) | \( (17-2)\cdot[23+(-1)\cdot 2] \) |
| (ii) | \( (-1)\cdot[12+3\cdot(-7)]\cdot[3-(-1)\cdot23] \) |
...
Aufgaben - Bruchrechenregeln
Aufgabe 3.2.1: (Anwenden der Regeln)
Berechnen Sie:
| (i) | \( \displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{1}{7}+\frac{1}{42} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{3}{8}-\frac{7}{12} \) |
| (iv) | \( \displaystyle\frac{7}{12}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{17}\right) \) |
| (v) | \( \displaystyle\frac{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}} \) |
...
Aufgaben - Eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind
Aufgabe 3.2.3: (Multiplikationsaufgaben aus dem Papyrus Rhind)
Die Aufgaben 7 bis 20 des Papyrus Rhind beinhalten - in damaliger Schreibweise - u.a. folgende aufzulösende Multiplikationsaufgaben:
| (i) | \( \displaystyle\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (iii) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{112}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (iv) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{32}+\frac{1}{224}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
...
Aufgaben - Problemstellung
Aufgabe 3.3.1: (Quadratische und kubische binomische Formeln)
Ermitteln Sie:
| (i) | \( (a+b)^2 \) |
| (ii) | \( (a-b)^2 \) |
| (iii) | \( (a+b)^3 \) |
| (iv) | \( (a-b)^3 \) |
...
Aufgabe 3.3.2: (Differenzen vollständiger Quadrate)
Verifizieren Sie:
| (i) | \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) |
| (ii) | \( a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \) |
| (iii) | \( a^4-b^4=(a-b)(a^3+ab^3+a^2b+b^3) \) |
...
Aufgaben - Die Fakultät
Aufgabe 3.3.3: (Die ersten zehn Fakultäten)
Bestimmen Sie:
| (i) | \( 1! \) | (ii) | \( 2! \) |
| (iii) | \( 3! \) | (iv) | \( 4! \) |
| (v) | \( 5! \) | (vi) | \( 6! \) |
| (vii) | \( 7! \) | (viii) | \( 8! \) |
| (ix) | \( 9! \) | (x) | \( 10! \) |
...
Aufgabe 3.3.4: (Auswerten von Fakultäten)
Bestimmen Sie:
| (i) | \( \displaystyle\frac{4!}{2!} \) | (ii) | \( \displaystyle\frac{4!\cdot 7!}{2!} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{173!}{171!} \) | (iv) | \( \displaystyle\frac{1002!}{998!} \) |
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Aufgaben - Binomialkoeffizienten
Aufgabe 3.3.5: (Berechnen von Binomialkoeffizienten)
Berechnen Sie:
| (i) | \( \displaystyle\binom{2}{0} \) | (ii) | \( \displaystyle\binom{2}{1} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\binom{3}{2} \) | (iv) | \( \displaystyle\binom{5}{2} \) |
| (v) | \( \displaystyle\binom{7}{3} \) | (vi) | \( \displaystyle\binom{8}{4} \) |
...
Aufgabe 3.3.6: (Eigenschaften von Binomialkoeffizienten I)
Beweisen Sie die folgenden Identitäten:
| (i) | \( \displaystyle\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1} \) für alle \( n\in\mathbb N \) |
| (ii) | \( \displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \) für alle \( k,n\in\mathbb N_0 \) mit \( n\ge k \) |
| (iii) | \( \displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\cdot\binom{n}{k} \) für alle \( k,n\in\mathbb N_0 \) mit \( n\ge k+1 \) |
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Aufgabe 3.3.7: (Eigenschaften von Binomialkoeffizienten II)
Beweisen Sie die folgende Identität \[ \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \] für alle \( k,n\in\mathbb N_0 \) mit \( n\ge k+1. \)
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Aufgaben - Der binomische Lehrsatz
Aufgabe 3.3.8: (Summe über Binomialkoeffizienten)
Beweisen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgende Identitäten.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \) für alle \( n\in\mathbb N_0 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0 \) für alle \( n\in\mathbb N \) |
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