7. Trigonometrische Funktionen
Es sei \( S_R\subset\mathbb R^2 \) der Kreis vom Radius \( R\gt 0 \) um den Koordinatenursprung \( O=(0,0), \) d.h. \[ S_R:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=R^2\}\,. \] Wähle einen Punkt \( P=(x_P,y_P)\in S_R \) mit nichtnegativen Koordinaten \( x_P\ge 0 \) und \( y_P\ge 0, \) also im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Das Geradensegmet \( \overline{OP} \) schließt dann mit der positiven \( x \)-Achse einen Winkel \( 0\le\alpha\le\frac{\pi}{2} \) ein.
Definition: Es bedeuten \[ \sin\alpha:=\frac{y_P}{R}\,,\quad \cos\alpha:=\frac{x_P}{R} \] der Sinus und der Kosinus des Winkels \( \alpha. \)
Oft werden Sinus und Kosinus auf ganz \( \mathbb R \) auch als Reihen eingeführt \[ \begin{array}{rcl} \sin x & := & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\,, \\[1ex] \cos x & := & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots \end{array} \]
Es sei \( 0\le\alpha\le\frac{\pi}{2} \) ein Winkel aus dem ersten Quadranten. Dann setzen wir den Sinus und den Kosinus in die drei verbleibenden Quadranten wie folgt fort:
| \( \circ \) | Fortsetzung in den 2. Quadranten \( \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x\le 0,\ y\ge 0\} \) |
\[ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right):=\cos\alpha,\quad \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right):=-\sin\alpha \]
| \( \circ \) | Fortsetzung in den 3. Quadranten \( \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x\le 0,\ y\le 0\} \) |
\[ \sin\big(\alpha+\pi\big):=-\sin\alpha,\quad\cos\big(\alpha+\pi\big):=-\cos\alpha \]
| \( \circ \) | Fortsetzung in den 4. Quadranten \( \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x\ge 0,\ y\le 0\} \) |
\[ \sin\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right):=-\cos\alpha,\quad\cos\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right):=\sin\alpha \]
Damit sind Sinus und Kosinus für alle Argumente \( 0\le\alpha\le 2\pi \) definiert. Um schließlich ihre Definitionsbereiche auf ganz \( \mathbb R \) zu erweitern, setzen wir sie wie folgt periodisch fort \[ \sin\alpha=\sin(\alpha+2k\pi),\quad \cos\alpha=\cos(\alpha+2k\pi),\quad k\in\mathbb Z. \]
7.1.3 Werte für spezielle Winkel
Für spezielle Winkel \( \alpha \) aus dem ersten Quadranten können wir die Werte für \( \sin\alpha \) und \( \cos\alpha \) leicht aus unserer konstruktiven Definition ablesen.
| \( \circ \) | \( \sin 0=0, \) \( \cos 0=1 \) |
| \( \circ \) | \( \displaystyle\sin\frac{\pi}{2}=1, \) \( \displaystyle\cos\frac{\pi}{2}=0 \) |
Um die Werte für den Winkel \( \alpha=\frac{\pi}{4} \) zu ermitteln, beachten wir, dass das Segment \( \overline{OP} \) und die Abschnitte für \( \sin\frac{\pi}{4} \) und \( \cos\frac{\pi}{4} \) ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck bilden mit \( 1 \) als Länge der Hypothenuse. Da aber gilt \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\quad\mbox{für alle}\ \alpha\in\mathbb R \] nach Anwenden des Satzes von Pythagoras erhalten wir mit \( \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}\gt 0 \) \[ 1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=2\sin^2\alpha \quad\mbox{bzw.}\quad \sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,. \] Damit haben wir
| \( \circ \) | \( \displaystyle\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \) \( \displaystyle\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) |
Und um schließlich die Werte für \( \alpha=\frac{\pi}{6} \) zu gewinnen, denken wir uns das aus \( \overline{OP} \) und den Abschnitten für \( \sin\frac{\pi}{6} \) und \( \cos\frac{\pi}{6} \) bestehende Dreieck spiegelsymmetrisch in den 4. Quadranten fortgesetzt und erhalten so ein gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen \( 1. \) Es ergibt sich also wegen \( \cos\frac{\pi}{6}\gt 0 \)
| \( \circ \) | \( \displaystyle\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\,, \) \( \displaystyle\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \) |
Eine goniometrische Gleichung ist eine Gleichung zwischen Winkeln, zum Beispiel \[ \sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,,\quad 0\le\frac{x}{2}\lt 2\pi. \] Welche \( x\in\mathbb R \) erfüllen diese Gleichung? Wegen \[ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\mbox{und}\quad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \] existieren zwei Winkel \( x_1 \) und \( x_2 \) mit \[ \begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{x_1}{2}=\frac{\pi}{3} & \quad\mbox{bzw.} & \quad\displaystyle x_1=\frac{2\pi}{3}\,, \\[1ex] \displaystyle \frac{x_2}{2}=\frac{2\pi}{3} & \quad\mbox{bzw.} & \quad\displaystyle x_2=\frac{4\pi}{3}\,. \end{array} \] Damit sind alle Lösungen der Gleichung in dem angegebenen Bereich \( 0\le x\lt 2\pi \) gefunden. Ohne diese Bedingung hätte die Gleichung auf Grund der Periodizität der Sinusfunktion die Lösungen \[ \begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{x_1}{2}=\frac{\pi}{3}+2k\pi & \quad\mbox{bzw.} & \quad\displaystyle x_1=\frac{2\pi}{3}+4\pi k, \\[1ex] \displaystyle \frac{x_2}{2}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi & \quad\mbox{bzw.} & \quad\displaystyle x_2=\frac{4\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \end{array} \]
7.2.2 Trigonometrische Formeln
Zur Auflösung trigonometrischer Formeln müssen oft verschiedene trigonometrische Formeln herangezogen werden. Neben der bereits oben verwendeten Identität \[ \sin^2x+\cos^2x=1\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R \] stehen uns hierzu die folgenden Additionstheoreme zur Verfügungn.
Satz: Für alle \( x,y\in\mathbb R \) gelten \[ \begin{array}{ll} \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y, \\ \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y. \end{array} \]
Setzen wir hierin \( x=y, \) gelangen wir zu \[ \begin{array}{l} \sin 2x=2\sin x\cos x, \\ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x, \\ \sin 3x=3\sin x-4\sin^3x, \\ \cos 3x=4\cos^3x-3\cos x\quad\mbox{usw.} \end{array} \] Analog überzeugt man sich von \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x-y}{2}\,, \\[1ex] \displaystyle \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}\,, \\[1ex] \displaystyle \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x-y}{2}\,, \\[1ex] \displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}\,. \end{array} \] Es ist nämlich beispielsweise \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \sin\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x+y}{2}\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left(\sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{y}{2}+\cos\frac{x}{2}\,\sin\frac{y}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2}\,\cos\frac{y}{2}+\sin\frac{x}{2}\,\sin\frac{y}{2}\right) \\[2ex] & = & \negthickspace\displaystyle \sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}\,\cos^2\frac{y}{2}+\sin\frac{y}{2}\,\cos\frac{y}{2}\,\cos^2\frac{x}{2} \\[2ex] & & \negthickspace\displaystyle +\sin\frac{y}{2}\,\cos\frac{y}{2}\,\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}\,\sin^2\frac{y}{2} \\[2ex] & = & \negthickspace\displaystyle \sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{y}{2}\,\cos\frac{y}{2} \\[2ex] & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{2}\,\sin x+\frac{1}{2}\,\sin y \end{array} \] unter Verwendung der Additionstheoreme und Winkelverdopplungsformeln.
Aufgaben - Definition am Einheitskreis
Aufgabe 7.1.1: (Veranschaulichung am Einheitskreis I)
Skizzieren Sie die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion am Einheitskreis.
...
Aufgabe 7.1.2: (Approximation der Winkelfunktionen I)
Begründen Sie, dass für Argumente \( x\in\mathbb R \) mit \( |x|\ll 1, \) so dass genauer für alle höheren Potenzen \( x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots\approx 0 \) angenommen werden kann, gelten \[ \sin x\approx x,\quad \cos x\approx 1. \]
...
Aufgabe 7.1.3: (Approximation der Winkelfunktionen II)
Begründen Sie, dass für Argumente \( x\in\mathbb R \) mit \( |x|\ll 1, \) so dass genauer für alle höheren Potenzen \( x^4,x^5,x^6,x^7\ldots\approx 0 \) angenommen werden kann, gelten \[ \sin x\approx x-\frac{x^3}{6}\,,\quad \cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}\,. \]
...
Aufgaben - Periodische Fortsetzung
Aufgabe 7.1.4: (Veranschaulichung am Einheitskreis II)
Veranschaulichen Sie sich die periodischen Fortsetzungen der Winkelfunktionen am Einheitskreis.
...
Aufgabe 7.1.5: (Skizze der Winkelfunktionen)
Skizzieren Sie die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in einem gemeinsamen \( [x,y] \)-Koordinatensystem.
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Aufgaben - Werte für spezielle Winkel
Aufgabe 7.1.6: (Spezielle Werte der Winkelfunktionen)
Welche Werte nehmen die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion für folgende Argumente an?
| (i) | \( \displaystyle\alpha=\frac{\pi}{3} \) | (ii) | \( \displaystyle\alpha=\frac{3\pi}{4} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\alpha=\frac{5\pi}{6} \) | (iv) | \( \displaystyle\alpha=\frac{7\pi}{6} \) |
| (v) | \( \displaystyle\alpha=\frac{11\pi}{3} \) | (vi) | \( \displaystyle\alpha=\frac{37\pi}{6} \) |
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Aufgaben - Ein Beispiel
Aufgabe 7.2.1: (Lösen einer goniometrischen Gleichung I)
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung \[ \sin x+\cos x=1. \]
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Aufgaben - Trigonometrische Formeln
Aufgabe 7.2.2: (Nachweis der Winkelverdopplungsformeln)
Unter Verwendung der Additionstheoreme ist zu zeigen, dass für alle \( x\in\mathbb R \) gelten
| (i) | \( \sin 2x=2\sin x\cos x \) |
| (ii) | \( \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x \) |
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Aufgabe 7.2.3: (Dreifache Winkelargumente)
Beweisen Sie, dass für alle \( x\in\mathbb R \) gelten
| (i) | \( \sin 3x=3\sin x-4\sin^3x \) |
| (ii) | \( \cos 3x=4\cos^3x-3\cos x \) |
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Aufgabe 7.2.4: (Summe und Differenz der Winkelfunktionen)
Beweisen Sie, dass für alle \( x\in\mathbb R \) gelten
| (i) | \( \displaystyle\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x-y}{2} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2} \) |
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Aufgabe 7.2.5: (Lösen einer goniometrischen Gleichung II)
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung \[ \cos x+\cos 2x=0. \]
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