6. Ungleichungen und der Absolutbetrag
6.1.1 Ungleichungen ohne Brüche
Gemeint sind Ungleichungen der Form \[ ax\le b \] mit gegebenen \( a,b\in\mathbb R, \) \( a\not=0. \) Wir stellen nach der gesuchten Variable \( x \) um und erhalten \[ \begin{array}{l} \displaystyle x\le\frac{b}{a}\,,\quad\mbox{falls}\ a\gt 0, \\[1ex] \displaystyle x\ge\frac{b}{a}\,,\quad\mbox{falls}\ a\lt 0. \end{array} \]
Beispiel: Die Ungleichungen \( 2x\le 3 \) und \( -3x\le 5 \) bedeuten für sich betrachtet \[ x\le\frac{3}{2} \quad\mbox{bzw.}\quad x\ge-\,\frac{5}{3}\,. \] Beide Ungleichungen gleichzeitig sind hingegen nur für alle \( x\in\mathbb R \) erfüllt mit \[ -\,\frac{5}{3}\le x\le\frac{3}{2}\,. \]
6.1.2 Ungleichungen mit Brüchen
Hierbei soll es um Ungleichungen der folgenden oder ähnlicher Gestalt gehen \[ \frac{ax+b}{cx+d}\le e,\quad cx+d\not=0. \] Wir machen uns die Vorgehensweise an einem Beispiel klar.
Beispiel: Zu bestimmen sind alle \( x\in\mathbb R, \) welche der Ungleichung genügen \[ \frac{3x+1}{x-2}\lt 1,\quad x\not=2. \] Zur Lösung multiplizieren wir mit \( x-2 \) und erhalten
| \( \circ \) | \( 3x+1\lt x-2, \) falls \( x\gt 2, \) |
| \( \circ \) | \( 3x+1\gt x-2, \) falls \( x\lt 2. \) |
Im Fall \( x\gt 2 \) fahren wir wie folgt fort \[ 3x+1\lt x-2 \quad\mbox{bzw.}\quad 2x\lt -3 \quad\mbox{bzw.}\quad x\lt-\,\frac{3}{2}\,, \] also ein Widerspruch zu \( x\gt 2, \) d.h. es gibt kein \( x\gt 2, \) welches der ursprünglichen Ungleichung genügt. Im zweiten Fall \( x\lt 2 \) haben wir andererseits \[ 3x+1\gt x-2 \quad\mbox{bzw.}\quad 2x\gt -3 \quad\mbox{bzw.}\quad x\gt-\,\frac{3}{2}\,, \] und zusammen mit \( x\lt 2 \) erhalten wir \[ -\,\frac{3}{2}\lt x\lt 2 \quad\mbox{bzw.}\quad x\in\left(-\,\frac{3}{2}\,,2\right). \] Das ist die gesuchte Menge aller \( x\in\mathbb R, \) welche der ursprünglichen Ungleichen genügen.
Definition: Unter dem Absolutbetrag verstehen wir die Funktion \[ |x|:=\left\{\begin{array}{cl} x, & \mbox{falls}\ x\gt 0 \\ 0, & \mbox{falls}\ x=0 \\ -x, & \mbox{falls}\ x\lt 0 \end{array}\right.. \]
Beispielsweise haben wir also \[ |4|=4,\quad |-17|=17. \] Wir wollen wichtige Eigenschaften dieser Betragsfunktion ohne Beweis auflisten.
Satz: Die folgenden Aussagen sind richtig.
| (i) | Es gilt |
\[ |x|\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
| (ii) | Ist \( a\in\mathbb R \) mit \( a\ge 0, \) gilt |
\[ |x|\le a\quad\mbox{genau dann, wenn}\ -a\le x\le a. \]
| (iii) | Es gilt |
\[ |x\cdot y|=|x|\cdot|y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \]
| (iv) | Es gilt die Dreiecksungleichung |
\[ |x+y|\le|x|+|y|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
| (v) | Es gilt |
\[ \left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\}\,. \]
6.2.2 Auflösen von Betragsungleichungen
Auch hier wollen wir ein Beispiel betrachten: Für welche \( x\in\mathbb R \) ist folgende Ungleichung erfüllt \[ |2x-1|\lt 3\,? \] Es sind zwei Fälle zu unterscheiden.
1. Fall: Es sei \( x\ge\frac{1}{2} \) und damit \( 2x-1\ge 0. \) Dann haben wir \[ |2x-1|=2x-1\lt 3 \quad\mbox{bzw.}\quad x\lt 2. \] Die Ungleichung ist also zunächst erfüllt für alle \[ \frac{1}{2}\le x\lt 2. \] 2. Fall: Es sei \( x\lt\frac{1}{2} \) und damit \( 2x-1\lt 0. \) Dann haben wir \[ |2x-1|=-2x+1\lt 3 \quad\mbox{bzw.}\quad x\gt -1. \] Die Ungleichung ist daher ebenso erfüllt für alle \[ -1\lt x\lt\frac{1}{2}\,. \] Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass die ursprüngliche Ungleichung erfüllt ist für alle \[ -1\le x\lt 2, \] was die Aufgabe löst.
Aufgaben - Ungleichungen ohne Brüche
Aufgabe 6.1.1: (Auflösen erster Ungleichungen)
Für welche \( x\in\mathbb R \) sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | \( x+2\lt 3x-4 \) |
| (ii) | \( 3x-1\le 2x-3 \) |
| (iii) | \( x+4\gt 7x-4 \) |
| (iv) | \( 3x-43\ge 32 x+14 \) |
...
Aufgabe 6.1.2: (Auflösen von zwei Ungleichungen)
Für welche \( x\in\mathbb R \) sind jeweils beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt?
| (i) | \( 3x+1\lt x+3 \) und \( x-1\le 5x+3 \) |
| (ii) | \( -7x+2\ge 2x+3 \) und \( x+1\le 7x-4 \) |
...
Aufgaben - Ungleichungen mit Brüchen
Aufgabe 6.1.3: (Auflösen von Bruchungleichungen)
Für welche \( x\in\mathbb R \) sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | \( \displaystyle\frac{1}{x-5}\le 3 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{x-1}{x+1}\lt 1 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{2x}{x-2}+\frac{24}{x-2}\ge 2 \) |
| (iv) | \( \displaystyle\frac{3x+1}{x-3}+\frac{x+1}{x-2}\le 1 \) |
...
Aufgaben - Der Absolutbetrag
Aufgabe 6.2.1: (Zwei einfache Beispiele)
Ermitteln Sie \[ |3|,\quad |-21|. \]
...
Aufgabe 6.2.2: (Umschreiben von Beträgen)
Schreiben Sie die folgenden Funktionen ohne Beträge.
| (i) | \( f(x):=|x+1| \) |
| (ii) | \( f(x):=|2x-3| \) |
| (iii) | \( f(x):=|x+1|+|2x-3| \) |
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Aufgabe 6.2.3: (Nichtnegativität des Absolutbetrags)
Beweisen Sie: Es gilt \[ |x|\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Wann gilt Gleichheit?
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Aufgabe 6.2.4: (Betrag des Produktes)
Beweisen Sie: Es gilt \[ |x\cdot y|=|x|\cdot|y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \]
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Aufgabe 6.2.5: (Beweis der Dreiecksungleichung)
Beweisen Sie: Es gilt \[ |x+y|\le|x|+|y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \] Wann gilt Gleichheit?
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Aufgaben - Auflösen von Betragsungleichungen
Aufgabe 6.2.6: (Beispiele-von-betragsungleichungen)
Für welche \( x\in\mathbb R \) sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | \( |x-2|\lt 3 \) |
| (ii) | \( |3-2x|\ge 4 \) |
| (iii) | \( |2x-3|\lt x+3 \) |
| (iv) | \( |5x+7|\lt 8x-13 \) |
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Aufgabe 6.2.7: (Betragsungleichungen mit Brüchen)
Für welche \( x\in\mathbb R \) sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
| (i) | \( \displaystyle\frac{x+3}{|2x+1|}\le 4 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{|2x-3|}{x+2}\gt 1 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{|x-1|}{|x+1|}\lt 4 \) |
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