Hausaufgabenblatt 1

Aufgabe HA 1 (Zur Produktmetrik)

Beweisen Sie: Es seien \( (X,d_X) \) und \( (Y,d_Y) \) zwei metrische Räume. Dann ist auch \( (X\times Y,d_{X\times Y}) \) mit \[ d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2) \] ein metrischer Raum.

Aufgabe HA 2 (Kompakte diskrete Räume)

Beweisen Sie: Es sei \( (X,d) \) ein diskreter metrischer Raum, d.h. die nichtleere Menge \( X \) sei ausgestattet mit der diskreten Metrik \[ d(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & \text{falls}\ x=y \\[0.4ex] 1, & \text{falls}\ x\not=y \end{array} \right.. \] Dann ist \( X \) kompakt genau dann, wenn \( X \) endlich ist.

Aufgabe HA 3 (Teilmengen präkompakter Mengen)

Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und \( K\subseteq X \) eine präkompakte Teilmenge. Beweisen Sie, dass dann auch jede Teilmenge \( M\subseteq K \) präkompakt ist.

Aufgabe HA 4 (Kompaktheit impliziert Separabilität)

Es seien \( (X,d) \) ein metrischer Raum und \( K\subseteq X \) eine kompakte Teilmenge. Beweisen Sie, dass \( K \) dann separabel ist. Konstruieren Sie dazu eine Menge \( P\subseteq K, \) die dicht in \( K \) liegt, d.h. für welche gilt \( \overline P=K. \)