Hausaufgabenblatt 2
Aufgabe HA 5 (Stetigkeit der Norm)
Es sei \( (V,\|\cdot\|) \) ein normierter Vektorraum. Beweisen Sie unter Verwendung der aus der Analysis 2 bekannten inversen Dreiecksungleichung, dass dann die Abbildung \[ f\colon V\to\mathbb R\quad\text{vermöge}\quad x\mapsto\|x\|,\ x\in V, \] stetig auf \( V \) ist.
Aufgabe HA 6 (Ein Beispiel äquivalenter Normen)
Es bezeichnen \[ \|x\|_1:=\sum_{i=1}^n|x_i|,\quad \|x\|_\infty:=\max_{1\le i\le n}|x_i| \] die Betragssummennorm \( \|\cdot\|_1 \) bzw. die Supremumsnorm \( \|\cdot\|_\infty \) im \( \mathbb R^n. \) Finden Sie zwei nur von \( n\in\mathbb N \) abhängige Konstanten \( C_1(n),C_2(n)\in(0,\infty) \) mit \[ C_1(n)\|x\|_1\le\|x\|_\infty\le C_2(n)\|x\|_1\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb R^n\,, \] d.h. \( \|\cdot\|_1 \) und \( \|\cdot\|_\infty \) sind auf \( \mathbb R^n \) äquivalent.
Aufgabe HA 7 (\( L^1 \)-Norm für stetige Funktionen)
Wir betrachten die Menge \[ C^0([0,1],\mathbb R):=\{f\colon[0,1]\to\mathbb R\,:\,f\ \text{ist stetig auf}\ [0,1]\} \] zusammen mit der Abbildung \[ \|f\|_1:=\int\limits_0^1|f(x)|\,dx. \] Beweisen Sie, dass \( (C^0([0,1],\mathbb R),\|\cdot\|_1) \) ein normierter Raum ist.
Aufgabe HA 8 (Ein Beispiel nicht äquivalenter Normen)
Beweisen Sie, dass die \( L^1 \)-Norm \( \|\cdot\|_1 \) aus voriger Aufgabe und die Supremumsnorm \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)| \] auf dem Raum \( C^0([0,1],\mathbb R) \) nicht äquivalent sind.
Aufgabe HA 9 (Von Metriken induzierte Normen)
Es sei \( d \) eine Metrik auf dem \( \mathbb R \)-Vektorraum \( V. \) Beweisen Sie: Es induziert \( d \) eine Norm \( \|\cdot\| \) auf \( V, \) wenn \( d \) - zusätzlich zur ihren Eigenschaften als Metrik - die folgende weiteren beiden Eigenschaften besitzt:
| (\( \alpha \)) | Translationsinvarianz |
| \( d(x+z,y+z)=d(x,y) \) für alle \( x,y,z\in V \) | |
| (\( \beta \)) | Skalierungsinvarianz |
| \( d(cx,cy)=|c|d(x,y) \) für alle \( x,y\in V \) und alle \( c\in\mathbb R \) |