Hausaufgabenblatt 3
Aufgabe HA 10 (Einbettung von \( \ell_1 \) in \( \ell_2 \))
Es sei \( x=\{x_1,x_2,\ldots\} \) eine komplex- oder reellwertige Folge.
| (i) | Beweisen Sie: Ist \( x\in\ell_1, \) so folgt notwendig |
\[ \|x\|_2\le\|x\|_1\,. \]
| Verifizieren Sie dazu |
\[ \left(\,\sum_{i=1}^N|x_i|\right)^2\ge\sum_{i=1}^N|x_i|^2\quad\text{für alle}\ N\in\mathbb N \]
| und schließen Sie damit auf die behauptete Normungleichung. | |
| (ii) | Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass \( x\in\ell_2 \) nicht notwendig \( x\in\ell_1 \) impliziert. |
Es gilt also \( \ell_1\subset\ell_2. \)
Aufgabe HA 11 (Die Räume \( \ell_p \) sind normiert)
Beweisen Sie unter Verwendung der Minkowskischen Ungleichung, dass die Räume \( (\ell_p,\|\cdot\|_p) \) für \( 1\le p\le\infty \) normierte Räume sind.
Aufgabe HA 12 (Einbettung von \( \ell_p \) in \( \ell_q \))
Es sei \( x=\{x_1,x_2,\ldots\}\subset\ell_p \) für ein \( 1\le p\lt\infty. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \|x\|_q\le\|x\|_p\quad\text{für alle}\ q\ge p, \] d.h. es gilt \( \ell_p\subseteq\ell_q. \)
Aufgabe HA 13 (Zur Kompaktheit von \( \ell_2 \) - erstes Beispiel)
Beweisen Sie, dass die folgende Menge \[ E:=\left\{x=(x_1,x_2,\ldots)\in\ell_2\,:\,\sum_{i=1}^\infty|x_i|^2\le 1\right\} \] nicht folgenkompakt in \( (\ell_2,\|\cdot\|_2) \) ist.
Aufgabe HA 14 (Zur Kompaktheit von \( \ell^2 \) - zweites Beispiel)
Beweisen Sie, dass die folgende Menge \[ F:=\left\{x=(x_1,x_2,\ldots)\in\ell^2\,:\,|x_k|\le\frac{1}{\sqrt{k}}\ \text{für alle}\ k=1,2,\ldots\right\} \] in \( (\ell_2,\|\cdot\|_2) \) nicht beschränkt und damit nicht kompakt ist.